Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Докажем по индукции, что если последовательность§ 1.4. Линейные дифференциальные уравнения. Экспонента линейного оператора23приближений Пикара для решения (1.10) начинается с функции f0 (t, v) = v,то члены этой последовательности будут иметь видtt2(1.11)f (t, v) = E + tA + A2 + . . . + A v.k!2!Действительно,P f (t, v) = v +ZsA · E + sA + .
. . + A v ds =k!0= Ev + tA + . . . +t +1A+1 v = f+1 (t, v).(k + 1)!Эти формулы подсказывают следующее важное определение.Определение 1.10 (экспонента линейного оператора). Для произвольнойпостоянной матрицы A ∈ Mat(n, C) её экспонентой exp A называется суммабесконечного (матричного) рядаexp A = E + A +1 21A + .
. . + A + . . .2!k!(1.12)PrТак как |A | ¶ |A| , а степенной ряд ¾0абсолютно сходится для всехk!значений r ∈ R, то матричный ряд (1.12) абсолютно сходится в комплексном2векторном пространстве Mat(n, C) ' C для любого конечного n.Заметим, что для любых двух коммутирующих матриц A, B их экспонентыудовлетворяют групповому свойствуexp(A + B) = exp A · exp B = exp B · exp A.(1.13)Это можно доказать, формально перемножив матричные ряды для экспонентexp A и exp B.
Впрочем, можно заметить, что если матрицы A и B в этихрядах заменить на числа a и b, правила перемножения рядов не изменятся,а мы получим верное равенство e e = e+ . Значит, равенство для экспонентлинейных операторов тоже верно.Из явной формулы (1.11) для приближений Пикара линейной системы(1.10) сразу получаем следующую теорему.Теорема 1.11. Решение линейной системы дифференциальных уравненийż = Az, A ∈ Mat(n, C), с начальным условием z(0) = v выражается через экспоненту линейного оператора:z(t) = (exp tA) v,t ∈ C, v ∈ C .(1.14)Замечание 1.12. Вычисление экспоненты линейного оператора можно свести к вычислению многочлена от матрицы степени не выше n − 1 и вычислению экспонент собственных значений оператора A.
Действительно, предположим, что оператор A приведён к жордановой нормальной форме A = Λ + N, гдеΛ = diag{λ1 , . . . , λ } — диагональная составляющая, а N — верхнетреугольная24Глава 1. Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной области(нильпотентная) составляющая, коммутирующая с Λ. Тогда exp Λ — диагональная матрица, на диагонали которой стоят экспоненты собственныхзначений Λ.
Так как N = 0 в силу нильпотентности матрицы N, тоexp[t(Λ + N)] = exp tΛ · exp tN =!exp tλ1t2 2..=·E+tN+N + ... +.2!exp tλt −1N −1 .(n − 1)!(1.15)Из этого равенства можно получить метод решения линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: координатылюбого решения в любом базисе являются линейными комбинациями квазимногочленов t exp tλ , 0 ¶ k ¶ n − 1, с комплексными коэффициентами.Замечание 1.13 (формула Лиувилля — Остроградского).
Из формулы (1.15)непосредственно получаем, что∀ A ∈ Mat(n, C)det exp A = exp tr A.(1.16)Действительно,det exp A = det exp Λ · det exp N =Yexp λ · 1 = exp tr Λ = exp tr A.=1Мы пользуемся тем, что exp N — многочлен от матрицы N — является верхнетреугольной матрицей с единицами на диагонали.§ 1.5. Теорема о выпрямленииОпределение 1.14. Пусть f (t, z) — решение задачи Коши для дифференциального уравнения (1.1) с начальным условием (t0 , z).
Отображениемпотока этого дифференциального уравнения называется вектор-функцияn + 2 комплексных переменных (t0 , t1 , z), которая для (t0 , z) ∈ U и достаточномалых |t0 − t1 | задаётся формулой(t0 , t1 , z) 7→ Φ10 (z) = f (t1 , z).(1.17)Другими словами, Φ10 (z) — это значение решения задачи Коши ϕ(t)с начальными условиями ϕ(t0 ) = z в точке t1 , достаточно близкой к t0 .Пример 1.15. Для линейной системы дифференциальных уравненийс постоянными коэффициентами (1.10) отображение потока линейно:Φ10 (z) = [exp((t1 − t0 )A)] z.Это отображение определено для всех значений t0 , t1 , z.Приведём несколько свойств отображения потока, которые понадобятсянам в дальнейшем.§ 1.5. Теорема о выпрямлении25• По теореме 1.1 отображение Φ голоморфно.• Решение задачи Коши единственно, значит, отображение Φ должно удовлетворять функциональному уравнениюΦ21 Φ10 (z) = Φ20 (z)(1.18)для всех t1 , t2 , достаточно близких к t0 .• Так как для любого z вектор-функция t 7→ ϕ (t) = Φ0 (z) удовлетворяетуравнению (1.1), мы получаем∂∂ Φ0 (z) = F(t0 , z0 ).Φ0 (z) = − ∂t∂t0=0 , =0=0 , =0• Из интегрального уравнения (1.8) следует, чтоΦ0 (z0 ) = z0 + (t − t0 )F(t0 , z0 ) + o(|t − t0 |)(1.19)и, значит, производная отображения потока Φ по переменной z в точке(t0 , z0 ) имеет вид: ∂Φ (z) 0= E.(1.20)∂z=0 , =0На множестве дифференциальных уравнений можно ввести несколькоестественных отношений эквивалентности, самым важным из которых является (би)голоморфная эквивалентность.Определение 1.16.
Говорят, что биголоморфное отображение H : U →U 0сопрягает дифференциальное уравнение (1.1) с уравнениемẇ = F 0 (t 0 , w),(t 0 , w) ∈ U 0 ,(1.21)если H переводит любую интегральную кривую уравнения (1.1) в интегральную кривую уравнения (1.21). В этом случае отображение H называетсясопряжением уравнения (1.1) с уравнением (1.21).Два дифференциальных уравнения называются голоморфно эквивалентными в фиксированных областях, если для них существует биголоморфноесопряжение.Понятно, что голоморфно эквивалентные уравнения неразличимы, покаречь идёт о свойствах, инвариантных относительно выбора координат. Значит, большое значение имеет приведение уравнения к более простому видус помощью биголоморфного сопряжения.Теорема 1.17 (теорема о выпрямлении). Для любого голоморфного дифференциального уравнения (1.1) в достаточно малой окрестности любой точкисуществует биголоморфное отображение H : (t, z) 7→ (t, h(t, z)), которое сопрягает его с простейшим уравнениемẇ = 0и сохраняет независимую переменную t.(1.22)26Глава 1.
Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной областиДоказательство. Построим отображение H 0 : C+1 → C+1 , определённое в окрестности точки (t0 , z0 ), используя отображение потока (1.17) дляуравнения (1.1):H 0 : (t, w) 7→ t, Φ0 (w) , (t, z0 ) ∈ (C+1 , (t0 , z0 )).По построению, H 0 переводит комплексные прямые w = const, параллельныеоси t, в интегральные кривые уравнения (1.1) и сохраняет значение t.∂H 0 (t, w)По формуле (1.20), матрица Якобиотображения H 0 в точке∂(t, w)(t0 , z0 ) имеет вид 1∗ E0 , следовательно, обратима.Значит, ограничение отображения H 0 на достаточно маленькую окрестность точки (t0 , z0 ) биголоморфно сопрягает простейшее уравнение (1.21),решениями которого являются комплексные прямые w = const, с даннымуравнением (1.1).
Обратное отображение также сохраняет t и сопрягает уравнение (1.1) с уравнением (1.21).§ 1.6. Векторные поля. Эквивалентностьвекторных полейЕсли приведённые построения повторить (с небольшими изменениями)в автономном случае, они становятся более наглядными. В этом случаевектор-функция z 7→ F(z) не зависит от t, и её можно рассматривать какголоморфное векторное поле на её области определения U ⊆ C .
Пространствовекторных полей, голоморфных в области U ⊆ C , мы будем обозначать D(U).Обозначение D(C , z0 ) мы будем использовать для пространства ростковголоморфных векторных полей в фиксированной точке z0 ∈ C ; обычно мыбудем полагать z0 = 0.В автономном случае сдвиг независимой переменной t сохраняет решенияуравненияż = F(z), F : U → C ,(1.23)следовательно, отображение потока Φ10 на самом деле зависит только от разности t = t1 − t0 , и его можно обозначать просто Φ (·) = Φ0 (·). Функциональноетождество (1.18) принимает видΦ (Φ (z)) = Φ + (z),t, s ∈ (C, 0), z ∈ (C , z0 ),(1.24)а это означает, что отображения {Φ } образуют однопараметрическую псевдогруппу биголоморфных отображений. (Приставка «псевдо» означает, чтокомпозиция в (1.24) не всюду определена. Псевдогруппа оказывается настоящей группой, Φ ◦ Φ = Φ + , если отображения Φ всюду определены для всехt ∈ C.
Более подробно о псевдогруппах можно прочитать в § 6.4.)В случае автономных уравнений естественно рассматривать биголоморфные сопряжения, не зависящие от времени.Определение 1.18. Два голоморфных векторных поля F ∈ D(U) и F 0 ∈∈ D(U 0 ), определённые в областях U, U 0 ⊆ C соответственно, называются§ 1.7. Векторное поле как оператор дифференцирования27биголоморфно эквивалентными, если существует биголоморфное отображение H : U → U 0, сопрягающее их потоки:H ◦ Φ = Φ0 ◦ H(1.25)для любого t; равенство должно выполняться во всех точках, в которых обечасти равенства определены. Биголоморфное отображение H называетсясопряжением полей F и F 0.Сопряжение H отображает фазовые кривые первого поля в фазовыекривые второго поля, а отображениеid ×H : (C, 0) × U → (C, 0) × U 0 ,(t, z) 7→ (t, H(z)),переводит интегральные кривые одного векторного поля в интегральныекривые другого.
Дифференцируя тождество (1.25) по t при t = 0, мы получаем,что дифференциал dH(z) голоморфного сопряжения H переводит векторv = F(z) первого поля, приложенный в точке z ∈ U, в вектор v 0 = F 0 (z 0 )второго поля в соответствующей точке z0 = H(z). В координатной записиэто утверждение принимает вид ∂h ∂HH∗ (z) · F(z) = F 0 (H(z)), H∗ (z) ==.(1.26)∂z∂zВ этой формуле участвует матрица Якоби ∂HH∗ (z) =.∂zФормулу (1.26) иногда считают определением голоморфной эквивалентностивекторных полей.Третье определение понятия голоморфной эквивалентности — алгебраическое, и в некотором смысле именно оно является наиболее естественным.Это определение описано в следующем параграфе.§ 1.7. Векторное поле как оператор дифференцированияИногда бывает удобно определять векторные поля бескоординатным образом.
Каждое векторное поле F = (F1 , . . . , F ) в области U ⊂ C задаёт оператордифференцирования F ∈ Der O (U) C-алгебры функций O (U), имеющий видF f (z) =XF (z)=1∂f.∂z(1.27)Голоморфное векторное поле F часто отождествляют с набором компонент Fсоответствующего оператора дифференцированияX∂F=F .∂zОпределение оператора дифференцирования можно дать в чисто алгебраических терминах: оператором дифференцирования называется C-линейноеотображение алгебры O (U) в себя, удовлетворяющее правилу ЛейбницаF( fg) = f · (Fg) + (F f ) · g.28Глава 1. Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной областиДействительно, каждый C-линейный оператор, удовлетворяющий правилу Лейбница, в любых координатах (z1 , . .
. , z ) задаёт n функций F = Fzи, очевидно, отображает все константы в 0. Произвольную аналитическуюфункцию f можно представить в видеf (z) = f (a) +Xh (z) (z − a ),где h (a) =1∂f(a).∂zПрименяя правило Лейбница, мы получаем, чтоXX ∂f(F f )(a) =F h (a) + 0 · F h =F (a),∂zчто и требовалось.Точно так же можно алгебраически описать голоморфные отображения.Каждое голоморфное отображение H : U → U 0 областей U, U 0 ⊆ C естественным образом задаёт оператор H: O (U 0 ) → O (U), действующий на функцияхf 0 ∈ O (U 0 ) композицией с H: (H f 0 )(z) = f 0 (H(z)). Этот оператор являетсягомоморфизмом коммутативных C-алгебр, т. е. C-линейным отображением,сохраняющим умножение: H( f 0 g 0 ) = H f 0 · Hg 0 для всех f 0, g 0 ∈ O (U 0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
