Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 19.3. Факторизация дифференциальных операторов . . . . . . . . . . . . .§ 19.4. Фуксовы особенности уравнений высших порядков . . . . . . . . .§ 19.5. Струйные расслоения и инвариантные конструкции . . . . . . . .
.§ 19.6. Проблема Римана — Гильберта для уравнений высших порядковУпражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 362..................3643673713733783828ОглавлениеГлава 20. Иррегулярные особенности и явление Стокса . . . . . . . . . . . . . . 384§ 20.1.§ 20.2.§ 20.3.§ 20.4.§ 20.5.§ 20.6.§ 20.7.§ 20.8.§ 20.9.Иррегулярные особые точки в размерности 1 . . . . . . .
. .Стандартная форма Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Резонансы и формальная диагонализация . . . . . . . . . . .Формальное упрощение резонансного случая . . . . . . . . .Срезающее преобразование и разветвлённая формальнаянормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Голоморфная секториальная нормализация .
. . . . . . . . .Секториальные автоморфизмы и матрицы Стокса . . . . .Явление Стокса. Голоморфная классификацияиррегулярных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Теорема реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .................................384385388389. . . . . . . . 390. . . . . . . . 392. . . . . . . . 393. . . . . . . . 394. . . . . . . . 397Дополнение: доказательство теоремы Сибуи§ 20.10.§ 20.11.§ 20.12.§ 20.13.Нормализация в «узких» секторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ключевой пример . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интегральное уравнение и доказательство теоремы 20.23 . . .Расширение секторов и доказательство теоремы Сибуи 20.16 .Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................398400403405405Приложение А. Элементы многомерного комплексного анализа .
. . . . . . . 406§ А.1.§ А.2.§ А.3.§ А.4.§ А.5.§ А.6.§ А.7.§ А.8.§ А.9.§ А.10.§ А.11.§ А.12.§ А.13.§ А.14.Голоморфные функции нескольких переменных . .Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . .Мультииндексные обозначения . . . . . . . . . . .
. . .Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . .Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Принцип компактности Вейерштрасса . . . . . . . . .Устранение особенностей ограниченных функцийУстранение компактных особенностей . . . . . . . . .Ростки голоморфных функций . . . . . . . . . . . .
. . .Мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Аналитические множества . . . . . . . . . . . . . . . . .Голоморфные функции нескольких переменных . .Локальная униформизация . . . . . . . . . . . . . . . . .Аналитичность и алгебраичность . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................................................................................................406406407407407408408408409409410410410411Приложение Б. Элементы теории римановых поверхностей . . . . . . . . . . . 412§ Б.1.§ Б.2.§ Б.3.§ Б.4.§ Б.5.Римановы поверхности и алгебраические кривые . . . .
. . . . . . . . .Род и степень алгебраической кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Мероморфные функции на римановых поверхностях . . . . . . . . . .Голоморфные и мероморфные формы на римановых поверхностях .Униформизация . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......412412413413414Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 417Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422Елене и Анне,за их бесконечное терпениеи неистощимую поддержкув течение этих долгих летПредисловиеТеорию обыкновенных дифференциальных уравнений можно грубо разделить на две большие части: качественную теорию дифференциальныхуравнений и теорию динамических систем. Первая часть в основном изучаетсистемы дифференциальных уравнений на плоскости, а вторая — многомерные системы (диффеоморфизмы на многообразиях размерности два и вышеи потоки на многообразиях размерности три и выше).
В то время как перваячасть может быть названа миром порядка, вторая часть — область хаоса.Ключевая проблема, в некотором смысле парадигма, влияющая на развитие теории динамических систем от момента её основания — это проблематурбулентности: как детерминистская природа динамической системы можетбыть совместима с наблюдаемым хаотическим поведением? Этой проблемойзанимались предтечи и отцы-основатели теории динамических систем: Л. Ландау, Х. Хопф, А. Н.
Колмогоров, Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, С. Смейл, Д. Рюэль,Я. Г. Синай, Ф. Такенс. Это — одна из самых интригующих проблем на стыкематематики, физики и кибернетики. Теория динамических систем существенно использует методы и средства топологии, дифференциальной геометрии,теории вероятностей, функционального анализа и других ветвей математики.К качественной теории дифференциальных уравнений обычно относятвопросы об автономных системах на плоскости. Эта теория тесно связана с аналитической теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.Основной темой является исследование локальных и глобальных топологических свойств фазовых портретов векторных полей на плоскости.
Однаиз главных задач в этой области — вторая часть шестнадцатой проблемыГильберта, в которой спрашивается о числе и расположении предельныхциклов полиномиального векторного поля на плоскости. В очень широкомсмысле эта проблема сводится к вопросу: в какой степени свойства многочленов, задающих дифференциальное уравнение, наследуются его абсолютнотрансцендентными (и временами очень сложными) решениями?Другой большой раздел аналитической теории дифференциальных уравнений — это теория линейных систем. В этой области ключевая задача — 21-япроблема Гильберта, также известная как проблема Римана — Гильберта.
Этазадача имеет длинную драматическую историю, и она была решена «тольковчера». Её обсуждение занимает существенное место в этой книге.Качественная теория дифференциальных уравнений возникла в работахА. Пуанкаре, который заметил, что дифференциальные уравнения суть предмет изучения не только анализа, но и геометрии. Ключевая идея Пуанкаре —выводить геометрические свойства решений напрямую из свойств задающихих дифференциальных уравнений. Этот подход применялся в обеих частяхтеории дифференциальных уравнений, но он привёл к созданию совершеннонепохожих областей.12ПредисловиеБлагодаря дифференциальным уравнениям возникли такие области математики, как топология и теория групп Ли. В свою очередь, аналитическаятеория дифференциальных уравнений — не замкнутая в себе дисциплина,а источник новых идей и задач в смежных областях математики.
В этой книгемы подчёркиваем роль комплексного анализа, алгебраической геометриии топологии векторных расслоений, кратко указывая связь аналитическойтеории с другими областями.Книга выходит в двух томах. В первый том войдут первые три части(главы 1–20), а во второй — части IV и V (главы 21–28).На границе между дифференциальными уравнениями и теорией особенностей лежит понятие нормальной формы — одно из центральных понятийэтой книги.
Первая часть содержит основы формальной и аналитическойтеории нормальных форм. Методы, развитые в этой части, систематическииспользуются на протяжении всей книги. Исследование фазовых портретовсложных особых точек вызвало к жизни развитую технику разрешения особенностей — приёма, открытого примерно 150 лет назад. Известная теоремаБендиксона о разрешении особенностей доказана в нашей книге с помощьюпрозрачных геометрических методов.Новый подход к локальным задачам анализа, основанный на понятияхалгебраической и аналитической разрешимости, был предложен Арнольдоми Томом в конце шестидесятых годов XX века. С точки зрения этого подхода мы изучаем во второй части теорию особых точек полиномиальныхвекторных полей.
Доказано, что проблема устойчивости и топологическойклассификации особых точек векторных полей на плоскости алгебраическиразрешима во всех случаях, за исключением проблемы различения центраи фокуса. Эта проблема алгебраически неразрешима, что и доказано в той жечасти. Там же содержится локальная теория голоморфных слоений комплексной плоскости: доказательство теоремы Камачо — Сада о существованиикомплексных сепаратрис особых точек, теорема Маттеи и Муссю о связиинтегрируемости со свойствами группы голономий и доказательство теоремы Баутина о предельных циклах малой амплитуды для квадратичныхвекторных полей.Третья часть посвящена линейной теории.
Неожиданно оказалось, чтоприменение нелинейной теории сильно упрощает изложение многих классических фактов из теории линейных систем. В третьей части также содержитсясовременное изложение положительных и отрицательных результатов о проблеме Римана — Гильберта.Скажем несколько слов о содержании второго тома.Часть IV посвящена новому направлению теории нормальных форм —функциональным модулям аналитической классификации резонансных особенностей. Главный инструмент, используемый при этом исследовании —теория почти комплексных структур и квазиконформных отображений.
Этотинструмент недавно сыграл революционизирующую роль в голоморфнойдинамике. Часть IV содержит сводку основных результатов теории квазиконформных отображений. Эта часть заканчивается доказательством «простоговарианта» теоремы конечности для предельных циклов аналитических век-Предисловие13торных полей, с дополнительным предположением, что все особые точкивекторного поля — гиперболические сёдла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
