Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 7
Текст из файла (страница 7)
И наоборот, каждый непрерывный гомоморфизм H этих двух алгебр порождённекоторым голоморфным отображением H = (h1 , . . . , h ), h = Hz , где z ∈∈ O (U 0 ) — координатные функции (в ограничении на U 0 ). Отображение H биголоморфно тогда и только тогда, когда H является изоморфизмом C-алгебр.В этих терминах голоморфная эквивалентность векторных полей определяется просто как сопряжение соответствующих дифференциальных операторов: говорят, что биголоморфное отображение H : U → U 0 сопрягает оператордифференцирования F алгебры O (U) с оператором дифференцирования F0алгебры O (U 0 ), еслиF ◦ H = H ◦ F0(1.28)(левая и правая часть совпадают как C-линейные операторы из O (U 0 ) в O (U)).Ещё одно преимущество такого инвариантного определения заключаетсяв том, что в этих терминах коммутатор векторных полей можно определитьестественным образом, как коммутатор соответствующих дифференциальных операторов.
Легко проверить, что правило Лейбница для коммутатора[F, F0 ]=FF0 −F0 F сразу следует из правила Лейбница для F и F0, значит, коммутатор операторов соответствует некоторому векторному полю. В координатнойзаписи коммутатор векторных полей имеет вид 0 ∂F∂F[F, F 0 ] =F−F 0.(1.29)∂z∂zПример 1.19. Для любых двух линейных векторных полей F = Az, F0 = A0 zих коммутатор [F, F0 ] также будет линейным векторным полем, заданнымматрицей A0 A − AA0. Эта матрица совпадает (с точностью до знака) с обычнымматричным коммутатором [A, A0 ].§ 1.9. Однопараметрические группы голоморфных отображений29§ 1.8.
Выпрямление векторного поляТочный аналог теоремы о выпрямлении 1.17 для голоморфных векторныхполей верен только в случае, если поле не обращается в 0.Определение 1.20. Точка z называется особой точкой голоморфноговекторного поля F, если F(z0 ) = 0. В противном случае точка называетсянеособой.Теорема 1.21 (теорема о выпрямлении векторного поля). Голоморфноевекторное поле F в достаточно малой окрестности любой неособой точкиголоморфно эквивалентно постоянному векторному полю F 0 (z0 ) = (1, 0, .
. . , 0).Доказательство. Отображение потока Φ0 постоянного векторного поля F 0 можно легко вычислить: (Φ0 ) (z 0 ) = z0 + t · (1, 0, . . . , 0). Рассмотримпроизвольную аффинную гиперплоскость Π ⊂ U, проходящую через точкуz0 и трансверсальную к вектору F(z0 ), рассмотрим также гиперплоскостьΠ0 = {z10 = 0}. Пусть t(z 0 ): C → C — отображение проекции на плоскость0первой координаты в C , t(z 0 ) = z10 .
Тогда (Φ0 )−( ) (z0 ) ∈ Π0 . Пусть h0 : Π0 → Π —произвольный биголоморфизм (например, линейное обратимое отображение). Тогда композицияH 0 = Φ ◦ h0 ◦ (Φ0 )− ,t = t(z0 ),переводит любую (параметризованную) траекторию F 0, проходящую черезточку z0 ∈ Π0, в параметризованную траекторию F, проходящую через точкуz = h0 (z0 ). Отображение H 0 является композицией голоморфных отображений, поэтому оно тоже голоморфно. В ограничении на Π0 отображение H 0совпадает с h0. Остаётся заметить, что дифференциал dH 0 (z0 ) отображаетвектор (1, 0, . . . , 0), трансверсальный к Π0, в вектор F(z0 ), трансверсальныйк Π. Отсюда следует, что отображение H 0 обратимо в некоторой достаточномалой окрестности U точки z0 и обратное отображение H = (H 0 )−1 сопрягаетполе F в области U с полем F 0 в области H(U).§ 1.9.
Однопараметрические группыголоморфных отображенийВ терминах ростков теорему о выпрямлении векторных полей из предыдущего параграфа можно переформулировать следующим образом: Два росткаголоморфных векторных полей в неособых точках всегда голоморфно эквивалентны. Точнее, каждый росток голоморфного векторного поля в неособой точке голоморфно эквивалентен ростку ненулевого постоянного векторного поля.Итак, локальное описание векторных полей в окрестности неособой точкитривиально, и мы в основном будем изучать ростки векторных полей в особыхточках. Первый результат, относящийся к этим росткам — существованиеростков отображений потока Φ в особой точке для всех значений t ∈ C.Пусть Diff(C , 0) — группа ростков обратимых голоморфных отображений H : (C , 0) → (C , 0), снабжённая операцией композиции.30Глава 1.
Базовые сведения об аналитических ОДУ в комплексной областиПредложение 1.22. Если F ∈ D(C , 0) — росток голоморфного векторногополя, имеющий особую точку в 0 (F(0) = 0), то ростки отображений потокаΦ (·) определены для всех t ∈ C и образуют однопараметрическую подгруппугруппы Diff(C , 0): Φ ◦ Φ = Φ + для всех t, s ∈ C и Φ0 = id.Доказательство. Существование отображений потока Φ для достаточномалых t ∈ (C, 0), существование их композиций и справедливость групповогосвойства для малых t следуют из теоремы 1.1 и равенства Φ (z0 ) = z0 .Для сколь угодно большого значения t ∈ C определим Φ как композицию ростков отображений потока Φ , i = 1, .
. . , N, взятых в произвольномпорядке, где комплексные числа t в сумме дают t и настолько малы, чтодля них верна теорема 1.1. Из локального группового свойства следует, чтотакое определение не зависит от выбора t и что групповое свойство для Φ выполняется при произвольных t.Наконец, ростки отображений потока обратимы, так какΦ ◦ Φ − = Φ0 = id.Замечание 1.23. Каждый росток отображения H ∈ Diff(C , 0) однозначноопределяет автоморфизм H ∈ Aut O (C , 0) коммутативной алгебры голоморфных ростков, а именно, действует на ростках композицией: H f = f ◦ H.Предложение 1.22 в алгебраических терминах переформулируется так:для любого оператора дифференцирования F ∈ Der O (C , 0) алгебры голоморфных ростков существует однопараметрическая подгруппа {H : t ∈ C} ⊂⊂ Aut O (C , 0) группы автоморфизмов этой алгебры, такая чтоd H = F.dt=0По причинам, о которых можно прочитать в § 3.3, подгруппу H группыавтоморфизмов часто называют экспонентой, H = exp(tF), дифференциального оператора F.
Поэтому поток векторного поля (или ростки отображенияпотока для всех t) мы будем иногда называть экспонентой Φ = exp(tF)соответствующего векторного поля F.Упражнения и задачиУпражнение 1.1. Пусть a ∈ U — неособая точка голоморфного векторного поля F ∈ D(U). Напомним, что траекторией (фазовой кривой) векторного поля называется проекция графика решения соответствующегодифференциального уравнения на область определения векторного полявдоль координаты t.Докажите, что траектория векторного поля на плоскости C2 , проходящаячерез точку a = (a1 , a2 ), либо совпадает с прямой x = a1 , либо имеет видграфика функции y = ϕ (x), имеющей алгебраическую точку ветвления некоторого конечного порядка ν.
Выразите ν в терминах компонент векторногополя в точке a.Упражнения и задачи31Упражнение 1.2. Пусть P : (C , 0) → (C−1 , 0) — голоморфный эпиморфизм (т. е. отображение ранга n − 1), постоянный вдоль траекторий аналитического векторного поля F ∈ D(C , 0). Постройте в явном виде выпрямляющую карту для поля F.Упражнение 1.3. Проверьте, что пространство M функций, удовлетворяющих неравенству (1.7), полно.Упражнение 1.4. Два линейных векторных поля в C голоморфно эквивалентны в некоторых областях, содержащих 0. Докажите, что эти векторныеполя линейно эквивалентны, т.
е. что существует сопрягающее их линейноеотображение H ∈ GL(n, C).Упражнение 1.5. Докажите, что если два ростка векторных полей в особой точке голоморфно эквивалентны, то собственные значения их линейныхчастей в этой особой точке равны.∂Упражнение 1.6. Докажите, что векторное поле F(z) = z2 голоморфно∂zна сфере Римана P1 = C∪{∞}.
Вычислите отображение потока для этого поля.Задача 1.7. Дайте полную аналитическую классификацию голоморфныхпотоков (однопараметрических групп голоморфных отображений) на сфереРимана P1 : предъявите конечный или бесконечный список потоков, такойчто каждый голоморфный поток голоморфно эквивалентен какому-нибудьпотоку из списка, а разные потоки из списка не голоморфно эквивалентны.∂Упражнение 1.8. Докажите, что постоянные векторные поляна торах∂zT1 = C/(Z + iZ) и T2 = C/(Z + 2iZ) не являются голоморфно эквивалентными.Глава 2Голоморфные слоения и их особые точкиПо теореме существования и единственности решения задачи Коши(см. теорему 1.1), каждое открытое связное множество U ⊆ C , на которомзадано голоморфное векторное поле F, можно представить в виде дизъюнктного объединения связных фазовых кривых, проходящих через все точки U.Теорема 1.21 о выпрямлении векторного поля описывает локальную структуруэтого геометрического объекта, который называется слоением (или расслоенным пространством).
Систематическое изложение теории слоений можнонайти, например, в [68, 10].§ 2.1. Основные определенияГрубо говоря, слоение — это разбиение фазового пространства на континуальный набор связных множеств — слоёв (листов), которое локальновыглядит как семейство параллельных аффинных подпространств.Определение 2.1. Стандартное голоморфное слоение размерности n(и, соответственно, коразмерности m) областиB = (x, y) ∈ C × C : |x| < 1, | y| < 1— это представление B в виде дизъюнктного объединения n-мерных «горизонтальных» дисков:GB=L , L = {|x| < 1} × { y} ⊆ B,(2.1)| |<1которые называются (стандартными) площадками.Определение 2.2. Голоморфным слоением F области U ⊂ C+ (или,в более общем случае, комплексного многообразия U размерности n + m)называетсяпредставление этой области в виде дизъюнктного объединенияF(U = α Lα ) связных подмножеств Lα — слоёв, или листов, которое локальнобиголоморфно эквивалентно стандартному голоморфному слоению.Это означает, что для каждой точки a ∈ U существует её открытая окрестность B0 3 a и биголоморфизм H : B0 → B этой окрестности на стандартнуюобласть B, который переводит локальные слои — связные компоненты пересечений Lα ∩ B0 — в площадки стандартного слоения:G∀ α ∃ Y = Y (α): H(Lα ∩ B0 ) =L .(2.2) ∈ (α)§ 2.1.
Основные определения33Локальные слои мы иногда будем называть площадками слоения околоточки a. Они являются биголоморфными образами n-мерных дисков, параметризованных точками маленького m-мерного диска. Заметим, что разныеплощадки могут принадлежать одному и тому же листу глобального слоения.Замечание 2.3. Понятие слоения можно определять разными способами.В наименее ограничительном определении стандартным слоением называютсемейство параллельных шаров — сечений вещественного цилиндра в R+(формулы в этом случае получаются такими же, как в (2.1)), а в качествелокальной эквивалентности H берётся гомеоморфизм или отображение фиксированной гладкости (вплоть до C ∞ , или даже вещественно-аналитическое).Топологическим слоением мы будем называть разбиение области U на дизъюнктные подмножества Lα , локально гомеоморфное стандартному слоению(удовлетворяющее условию (2.2), где H — гомеоморфизм).Более того, на H можно накладывать разные условия регулярности вдольслоёв и в трансверсальном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
