Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. существуетнеособая точка b ∈ U\Σ слоения F, в которой F обращается в 0. Так какслоение F биголоморфно эквивалентно стандартному слоению в окрестности b, в некоторых координатах поле F параллельно первой координатнойоси, и его особые точки являются нулями его первой компоненты. С другойстороны, по построению, коразмерность Σ0 не меньше 2, значит, Σ0 не можетбыть множеством нулей никакой голоморфной функции. Это противоречиепоказывает, что Σ должно содержать Σ0.Пример 2.23. Векторное поле∂∂+ e1/голоморфно вне прямой Σ =∂x∂y= {x = 0} коразмерности 1 на плоскости C2 и определяет голоморфноеслоение многообразия C2 \Σ. Это слоение нельзя задать никаким векторнымполем, голоморфно продолжающимся в Σ, поэтому условие на коразмерностьв теореме 2.22 нельзя ослабить.Теоремы 2.20 и 2.22 приводят к следующему важному определению.
Таккак в этой книге мы будем рассматривать только голоморфные слоенияразмерности 1, определение дано только для таких слоений.Определение 2.24. Голоморфным (одномерным) слоением с особенностями области U (или комплексного многообразия) называется голоморфное слоение F с комплексно-одномерными листами, которое определенов дополнении U\Σ к некоторому аналитическому подмножеству Σ, причём42Глава 2. Голоморфные слоения и их особые точкикоразмерность Σ не меньше 2. Множество Σ называется множеством особыхточек слоения F.Обычно мы будем предполагать, что множество особых точек Σ минимально, т.
е. что слоение нельзя аналитически продолжить ни в какое множество, большее чем U\Σ.Вторая часть предложения 2.7 подсказывает следующее важное определение.Определение 2.25. Два голоморфных векторных поля F ∈D(U), F 0 ∈D(U 0 ),множества особых точек которых Σ, Σ0 имеют коразмерности, не меньшие 2,называются орбитально голоморфно эквивалентными, если порождённыеими слоения с особенностями F и F 0 голоморфно эквивалентны. Это означает, что существует биголоморфное отображение H : U → U 0, которое переводитΣ в Σ0, а вне этих множеств задаёт биголоморфизм слоений.Предложение 2.7 справедливо и для голоморфных слоений с особенностями: если два слоения голоморфно эквивалентны, то соответствующиевекторные поля отличаются на голоморфный множитель, т. е. для них выполнено равенство (2.3), где голоморфная функция ρ не обращается в 0в области U.Действительно, из предложения 2.7 следует, что для орбитально голоморфно эквивалентных полей существует голоморфная функция ρ, удовлетворяющая равенству (2.3) и не обращающаяся в 0 вне Σ = Sing F.
Но таккак коразмерность Σ не меньше 2, ρ не обращается в 0 нигде в U.Если в определении 2.25 вместо голоморфности отображения H требовать,чтобы H было гомеоморфизмом, получится определение орбитально топологически эквивалентных полей. Это более слабое отношение эквивалентностинельзя записать формулой вида (2.3), так как гомеоморфизмы, вообще говоря,не порождают действия на векторных полях.§ 2.5. Комплексные сепаратрисыЭтот параграф посвящён изучению комплексных сепаратрис — неодносвязных листов слоений с особенностями, которые вблизи особой точкиустроены как проколотые ростки аналитических кривых.Напомним сначала, что (сингулярная) аналитическая кривая S ⊂ U —это комплексно-аналитическое множество, которое в точках гладкости имеет комплексную размерность 1. Неприводимые компоненты аналитическихкривых устроены сравнительно просто.
Доказательство следующей теоремыможно найти, например, в [121, § 6].Теорема 2.26. Росток неприводимой аналитической кривой S ⊂ (C , 0)допускает голоморфное инъективное отображениеγ: (C1 , 0) → (C , 0),t 7→ γ(t) ∈ S.(2.8)Отображение γ называется локальной униформизацией, или локальнойпараметризацией аналитических кривых. Оно очевидным образом непо-43§ 2.5. Комплексные сепаратрисыстоянно, и поэтому без потери общности можно считать, что производнаяdγ(t) не обращается в 0 нигде, кроме начала координат t = 0. Локальнаяdtпараметризация определена однозначно с точностью до биголоморфизма:для любой другой инъективной параметризации γ0 существует отображениеh ∈ Diff(C1 , 0) такое, что γ0 = γ ◦ h (ср.
с упражнением 2.1).Пусть F — голоморфное слоение с особенностями, определённое в открытой области U, Σ — множество особых точек слоения F.Определение 2.27. Комплексной сепаратрисой голоморфного слоенияс особенностями F в особой точке a ∈ Sing F называется локальный слойL ⊂ (U, a)\Σ, замыкание которого L ∪ {a} является ростком аналитическойкривой в точке a.Так как локальные листы, по определению, связны, такое замыканиенеприводимо (как росток) в каждой своей точке.
Поэтому в силу свойствуниформизации, приведённых выше, комплексная сепаратриса в окрестностиособой точки топологически эквивалентна проколотому диску. Фундаментальная группа сепаратрисы нетривиальна (это бесконечная циклическая группа),и голоморфное отображение, порождающее локальную группу голономии,является инвариантом слоения с особенностями. Заметим, что ориентацияна слоях задана их комплексной структурой, поэтому петля, порождающаялокальную фундаментальную группу, определена однозначно с точностьюдо свободной гомотопии.Другими словами, каждая особая точка, в которой есть комплекснаясепаратриса, порождает хотя бы один голоморфный росток, который являетсяаналитическим инвариантом слоения. Позже, в главе 14, мы покажем, чтоу каждого одномерного слоения комплексного двумерного многообразияв каждой изолированной особой точке есть хотя бы одна сепаратриса.В остальной части этого параграфа мы рассмотрим несколько примеров,которые понадобятся нам позже.Пример 2.28.
Рассмотрим слоение с особенностями, порождённое диагональной линейной системойẋ = Ax,A = diag{λ1 , . . . , λ },λ 6= 0.(2.9)Это слоение имеет изолированную особую точку нуль, и все координатныеоси являются комплексными сепаратрисами.Рассмотрим первую координатную ось S1 ={x2 =. . .= x =0} и сепаратрисуL1 = S1 \{0}. Петля γ = {|x1 | = 1}, которая проходится против часовой стрелки, — каноническая образующая фундаментальной группы L1 . В качестветрансверсали к S1 в точке (1, 0, .
. . , 0) ∈ S1 возьмём аффинную гиперплоскость τ = {x1 = 1} ⊂ C . Решением системы (т. е. параметризованным листомслоения), проходящим через точку (1, b) = (1, b2 , . . . , b ) ∈ τ, будет:C 3 t 7→ x(t) = (exp λ1 t, b2 exp λ2 t, . . . , b exp λ t) ∈ C .Образ отрезка прямой [0, 2πi/λ1 ] ⊂ C в плоскости координаты t совпадаетс петлёй γ, когда b = (b2 , .
. . , b ) = 0 (т. е. на сепаратрисе S1 ), а на всех44Глава 2. Голоморфные слоения и их особые точкилистах, близких к S1 , равномерно близок к этой петле. Концевые точки x(0),x(2πi/λ1 ) принадлежат τ, значит, отображение голономии M1 : C−1 → C−1 —линейное диагональное отображение:§ª2πiλ b 7→ M1 b, M1 = diag.(2.10)λ1=2Чтобы получить формулу для отображения голономии M вдоль стандартнойпетли на сепаратрисе S , параллельной k-й оси координат, в этой формуленужно изменить нумерацию собственных значений.Частные случаи этого результата представляют самостоятельный интерес.Напомним, что если ω является 1-формой, то уравнение ω = 0 задаёт полегиперплоскостей; это уравнение называется пфаффовым.
Поэтому 1-формаω тоже часто называется пфаффовой.Пример 2.29. Рассмотрим интегрируемое одномерное распределение, заданное пфаффовым уравнением ω=0, где форма ω точна: ω= du, u ∈O (C2 , 0).Если u имеет морсовскую особую точку, то в подходящих аналитическихкоординатах (x, y) росток u имеет вид u = xy, и слоение задаётся линейнойформой x dy + y dx = 0, соответствующей векторному полю ẏ = y, ẋ = −x.Оба отображения голономии, соответствующие двум осям координат, тождественны.Более вырожденные особые точки интегрируемых слоений будут подробнорассмотрены в главе 11.Пример 2.30. Пусть n = 2.
Рассмотрим векторное полеF = (x + y)∂∂+y ,∂x∂y— линейное векторное поле с нетривиальной жордановой нормальной формой. У соответствующего слоения с особенностями есть только одна комплексная сепаратриса — ось S = { y = 0} с выколотой точкой 0.Рассмотрим стандартную трансверсаль τ = {x = 1}. Решение дифференциального уравнения с начальным условием (x0 , y0 ) можно выписать в явномвиде: x(t) = (x0 + ty0 ) exp t, y = y0 exp t. Пусть t( y0 ) — тот момент (комплексного) времени, когда продолжение решения, близкого к сепаратрисе, вдольпути, близкого к стандартной петле на сепаратрисе, вновь пересечёт τ.
Тогдадля начальной точки (x0 , y0 ) этого решения выполнены равенства x0 = 1и x(t( y0 )) ≡ 1, т. е.1 + t( y0 ) y0 =1.exp t( y0 )Если бы отображение голономии было линейно, то было бы выполненоy(t( y0 )) = λ y0 при всех y0 , откуда exp t( y0 ) = λ постоянно.Подставляя это тождество в предыдущее равенство, получим 1 + t( y0 ) y0 == 1/λ. Устремив y0 к 0, получаем, что такое возможно, только если λ = 1.С другой стороны, случай λ = 1 также невозможен, так как t( y0 ) 6≡ 0.Значит, отображение голономии не может быть линейным. Главный членэтого отображения в более общем случае посчитан в главе 27.§ 2.6.
Надстройка над отображением в себя45Этот пример показывает, что у линейного слоения отображение голономии может быть нелинейным. Как мы увидим позже, отображение голономиив этом случае даже не линеаризуемо.§ 2.6. Надстройка над отображением в себяКонструкция голономии позволяет по каждой петле γ на листе голоморфного слоения F построить голоморфное отображение ∆γ . Во многихслучаях возникает обратная задача: по данному обратимому голоморфномуотображению f построить слоение, для которого это отображение будетотображением голономии вдоль петли в слое.Мы покажем, что при отсутствии дополнительных условий на фазовоепространство M и лист L эта задача всегда решается тривиальным образом.Соответствующая конструкция хорошо известна в действительном анализеи называется включением отображения в поток.Теорема 2.31. Любой биголоморфный росток f ∈ Diff(C , 0) реализуетсякак отображение голономии вдоль петли на листе голоморфного слоения(n + 1)-мерного комплексного многообразия M +1 .Построение слоения.
Для простоты мы проведём рассуждение тольков случае n = 1: в общем случае это рассуждение надо повторить с незначительными изменениями.Рассмотрим отрезок [0, 1] ⊂ C, и обозначим его "-окрестность через U,e = U × (C, 0) с координатами (z, w) рас" < 1/2. В декартовом произведении Mсмотрим тривиальное слоение F0 на «горизонтальные прямые» {w = const}.Каждое отображение, принадлежащее f ∈ Diff(C1 , 0), можно рассматривать как отображение f : (τ1 , 0) → (τ0 , 0), w 7→ f (w) трансверсалей τ1 = {z = 1}и τ0 = {z = 0}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
