Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Последовательность { f }∞=1 ⊂ C[[x]] называется сходящейся, если все её струи j f сходятся в соответствующих конечномерныхпространствах k-струй J (C , 0) для любого конечного k ¾ 0.Замечание 3.5 (важное замечание). Все описанные формальные алгебраические конструкции можно ввести не только над полем C, но и над полем R.Более того, в дальнейшем мы будем работать с более общим понятиемалгебры A[[x]] формальных степенных рядов от переменных x = (x1 , .
. . , x ),коэффициенты которых принадлежат C- или R-алгебре A. Особенно важнымиоказываются случаи алгебры A = C[λ1 , . . . , λ ] многочленов от дополнительных переменных λ1 , . . . , λ и алгебры A = O (U) голоморфных функций отдополнительных переменных λ1 , . . . , λ .После того как мы ввели понятие алгебры «формальных функций», формальные векторные поля и формальные отображения можно определитьчерез их алгебраические (функториальные) свойства, как это делалось в § 1.7.С каждым многомерным формальным рядом F = (F1 , . .
. , F ) (набором изn элементов C[[x]]) можно связать оператор дифференцированияF=XF1∂∈ Der C[[x]]∂xалгебры C[[x]] — C-линейное отображение, для которого выполнено правилоЛейбница (ср. с (1.27)),F: C[[x]] → C[[x]],F(gh) = g (Fh) + h (Fg).И наоборот, любой оператор дифференцирования F ∈ Der C[[x]] имеет видF=X1F∂,∂xгде F = Fx . Под формальным векторным полем F мы будем понимать обереализации: F ∈ C[[x]] и F ∈ Der C[[x]]. Говорят, что поле F имеет особуюточку (в нуле), если ряды F не содержат свободных членов: F (0) = 0,j = 1, .
. . , n.Множество формальных векторных полей мы будем обозначать D[[C , 0]].Это C-линейное (бесконечномерное) пространство, обладающее дополнительной структурой модуля над кольцом C[[x]]. Коммутатором (скобкой Ли)формальных полей называется, как и обычно, [F, G] = FG − GF.С другой стороны, пусть многомерный степенной рядH = (h1 , . . . , h ) ∈ C[[x]]§ 3.1. Формальные векторные поля и формальные отображения51удовлетворяет условию H(0) = 0, т. е.
h ∈ m. Тогда ряду H соответствуетгомоморфизм H ∈ Hom C[[x]] алгебры C[[x]]. Действительно, в этом случаедля каждого формального рядаXf=cα x α ∈ C[[x]]αкорректно определена подстановкаXXαH f (x) = f (H(x)) =cα hα =cα h1 1 (x) . . . hα (x),α¾0(3.2)α¾0ведь каждая k-струя ряда f (H(x)) однозначно определяется по k-струям fи H. Мы будем говорить, что H касается тождественного отображения, еслиj 1 H = id.Оператор H, заданный равенством (3.2), является гомоморфизмом алгебры C[[x]], т. е. C-линейным отображением, сохраняющим умножение:H: C[[x]] → C[[x]],H( fg) = H f · Hg.И наоборот, каждый гомоморфизм, сохраняющий сходимость в C[[x]],имеет вид f 7→ f ◦ H, где H ∈ C[[x]] — многомерный ряд, компоненты которого равныh = Hx ∈ C[[x]].При этом так как H — гомоморфизм, он должен отображать максимальныйидеал m ⊂ C[[x]] внутрь себя, и, следовательно, h (0) = 0, j = 1, .
. . , n, чтоможно сокращённо записать как H(0) = 0.Под формальным отображением мы понимаем H или H в зависимостиот контекста.Если отображение H обратимо (т. е. является автоморфизмом алгебрыC[[x]]), мы будем называть его формальным автоморфизмом C в нуле.Такие автоморфизмы образуют группу относительно оператора композиции,которую мы будем обозначать Aut C[[x]]. Соответствующую группу формальных отображений мы будем обозначать Diff[[C , 0]].
Оператор композицииможно определять как подстановку одного ряда в другой или как композициюоператоров, действующих на C[[x]].Так как максимальный идеал m сохраняется под действием любогоформального автоморфизма H ∈ Aut C[[x]] и любого особого формальноговекторного поля F ∈ D[[C , 0]], F(0) = 0,H(m) = m,F(m) ⊆ m,то операция укорочения рядов до k-струй коммутирует с действием H и F;значит, автоморфизм j H: J (C , 0) → J (C , 0) и дифференциальный оператор j F: J (C , 0) → J (C , 0) корректно определены. Их можно отождествитьс k-струями формального отображения H и формального векторного поля F.Подчеркнём, что отображение j F определено как отображение пространстваконечномерных струй только в случае F(0) = 0.52Глава 3. Формальные потоки и теорема о включении в поток§ 3.2.
Теорема об обратной функцииВ дальнейшем нам понадобится формальный вариант теоремы об обратной функции.Теорема 3.6. Пусть H — формальное отображение, матрица линейной∂Hчасти которого A =(0) невырожденна. Тогда отображение H принадле∂xжит Diff[[C , 0]] и имеет обратный в Diff[[C , 0]].Если A = E — единичная матрица иH = (h1 , . . . , h ),h (x) ≡ x + v (x) (mod m+1 ),где v — однородные многочлены степени k ¾ 2, то компоненты обратногоотображения H −1 = (h01 , . . . , h0 ) имеют видh0 (x) ≡ x − v (x) (mod m+1 ).Первое утверждение теоремы очевидным образом следует из второго,применённого к формальному отображению A−1 H.Напомним, что линейный оператор на конечномерном пространствеA : C → C называется унипотентным, если A − E — нильпотентный оператор, (A − E) = 0.Лемма 3.7. Пусть H ∈ Hom— формальное отображение, матрица C[[x]]∂Hлинейной части которого(0) единична.
Тогда для любого конечного∂xпорядка k начальный отрезок соответствующего ряда j H является унипотентным отображением (как гомоморфизм алгебры конечномерных струйJ (C , 0)).Доказательство. Для каждого одночлена x α из канонического базисаимеем Hx α = x α + (члены более высокого порядка) = x α + (линейные комбинации мономов более высокого deglex-порядка).Поэтому отображение j H − E повышает deglex-порядок, а значит, нильпотентно.Доказательство теоремы 3.6. Рассмотрим гомоморфизм H ∈ Hom C[[x]].Пусть N = H − E — формальный оператор «конечной разности», т.
е.Nf = f ◦ H − f(здесь E = id — тождественный оператор, а композиции понимаются какподстановки формальных рядов). По лемме 3.7, все конечные отрезки j Nряда N нильпотентны.Зададим оператор H−1 как сумму рядаH−1 = E − N + N2 − N3 ± . . .(3.3)Укорочения этого ряда до любого конечного порядка сходятся (на самомделе, стабилизируются), — это следует из нильпотентности операторов j N.Значит, по определению, ряд сходится к некоторому оператору H−1 на C[[x]].Для этого оператора выполнено равенство H ◦ H−1 = H−1 ◦ H = E. В частности,§ 3.3.
Интегрирование и формальные потоки формальных векторных полей53отображение H — биекция. Оператор H−1 является автоморфизмом алгебр,так как для любых a, b ∈ C[[x]] и их образов a0 = Ha, b0 = Hb выполненоравенство H(ab) = a0 b0, следовательно,H−1 (a0 b0 ) = H−1 H(ab) = ab = (H−1 a0 )(H−1 b0 ).При этом a0 , b0 могут принимать произвольные значения из C[[x]], так какотображение H — биекция.При непосредственном вычислении компонент обратного отображениямы получаемh0 = H−1 x = x − Nx + . . . = x − (h (x) − x ) + . . . = x − v (x) + . . .
,что и требовалось.Приведенная формальная конструкция — это рекурсивный подсчёт коэффициентов Тейлора формального обратного отображения H −1 (x), переведенный на язык алгебры. Заметим, что стабилизация начальных отрезков ряда(3.3) означает, что у компонент h0 обратного отображения члены любого конечного порядка k можно вычислить за конечное (зависящее от k) число шагов.§ 3.3. Интегрирование и формальные потокиформальных векторных полейРассмотрим формальное (автономное) обыкновенное дифференциальноеуравнениеẋ = F(x), F = (F1 , . . .
, F ) ∈ D[[C , 0]] ' C[[x]](3.4)с формальной правой частью F. Вычисление формального ряда в точке, отличной от нуля, лишено смысла; поэтому «стандартное» определение решенияуравнения применимо только в тривиальном случае x ≡ 0.Другой вариант определения, предложенный в замечании 1.23, — рассмотреть однопараметрическую подгруппу формальных отображений {H : t ∈ C} ⊂⊂ Diff[[C , 0]], удовлетворяющую условиюH ◦ H = H +H 0 = E.∀ t, s ∈ C,(3.5)Вместе с группой {H } формальных отображений мы всегда рассматриваемсоответствующую однопараметрическую группу автоморфизмов{H } ⊂ Aut C[[x]].Эта подгруппа называется голоморфной, если все её конечные струи j H голоморфно зависят от t. Производная голоморфной подгруппыdH (3.6)F= = lim t −1 (H − E): C[[x]] → C[[x]]dt=0→0является формальным векторным полем:d d(H f )(H g) =F( fg) = H ( fg) = dt =0dt =0 dd= (H f ) (H0 g) + (H0 f ) (H g) = g F f + f Fg.dt=0dt=054Глава 3.
Формальные потоки и теорема о включении в потокОпределение 3.8. Голоморфная однопараметрическая подгруппа формальных отображений {H } ⊆ Diff[[C , 0]] называется формальным потокомформального векторного поля F, если соответствующая ей группа автоморфизмов {H } удовлетворяет равенствуdH F=(3.7) ∈ Der C[[x]],dt=0где F ∈ Der C[[x]] — дифференциальный оператор, соответствующий полю F.Говорят, что формальное векторное поле F порождает подгруппу {H }.Так как производная аналитической однопараметрической подгруппывсегда является векторым полем, то любая аналитическая однопараметрическая подгруппа формальных отображений является формальным потокомкакого-то формального поля.
Следующая теорема является формальным аналогом предложения 1.22; она утверждает, что, наоборот, каждое формальноевекторное поле F порождает голоморфную однопараметрическую подгруппугруппы формальных отображений {H } ⊂ Diff[[C, 0]].Через F обозначим итеративную степень F ◦ . . . ◦ F: C[[x]] → C[[x]](m сомножителей). Рассмотрим ряд, напоминающий ряд для экспоненты:H = exp tF = E + tF +t2 2t F + ... +F + ...2!m!(3.8)Теорема 3.9. Для каждого особого формального векторного поля F существует формальный поток {H }.
Этот поток задаётся рядом (3.8), которыйсходится для всех значений t ∈ C и аналитически зависит от t.Доказательство. Достаточно показать, что этот ряд сходится и что егосумма является автоморфизмом алгебры C[[x]] для любого t ∈ C. Тогдаравенство (3.7) можно будет немедленно получить, продифференцировавряд (3.8) почленно.Сходимость ряда (3.8) следует из такого рассуждения. Пусть k — любойконечный порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
