Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказательство основано на следующем известном наблюдении: если L — линейный эндоморфизм комплексного эрмитова иливещественного евклидового пространства H в себя, то образ оператора Lи ядро его эрмитово (евклидово) сопряжённого оператора L∗ ортогональнодополнительны друг к другу:(img L)⊥ = ker L∗ .Это следует из того, что подпространства ker L∗ и img L в H ортогональнодополнительные.Действительно, ξ ∈ (img L)⊥ тогда и только тогда, когда (ξ, Lv) = 0 длявсех v ∈ H; значит, любой вектор v ортогонален вектору L∗ ξ.
Это возможнотогда и только тогда, когда L∗ ξ = 0.Применяя это наблюдение к оператору L = ad |D и используя утверждение леммы 4.11, мы получаем, что подпространство N = ker ad∗ |D —ортогональное дополнение к образу оператора L , следовательно, удовлетворяет условию (4.4) теоремы 4.7. Поэтому все нелинейные члены V2 , V3 , . . .можно выбрать так, чтобы они коммутировали с A∗ (x) = A∗ x. А в такомслучае и их формальная разность F − A будет коммутировать с A∗ .В вещественном случае вместо эрмитовых пространств H , C и D == H ⊗C C нужно рассматривать их вещественные (евклидовы) аналогиRH , R и R D = R H ⊗R R .
Тогда для всякой вещественной матрицы Aобраз коммутатора ad и ядро ad∗ (где A∗ — транспонированная матрица A)ортогонально дополнительны. Значит, для любого V ∈ R D мы можем выбрать V0 ∈ ker ad∗ ∩ R D , чтобы гомологическое уравнение ad P = V0 − Vбыло разрешимо относительно P ∈ R D .
Ссылка на парадигму Пуанкаре —Дюлака завершает доказательство.70Глава 4. Формальные нормальные формыИз этого общего утверждения немедленно получается множество следствий.Пример 4.13. Если A — диагональная матрица со спектром {λ1 , . . . , λ },то матрица A∗ также диагональна, и её собственные значения {λ1 , .
. . , λ }отличаются от собственных значений A сопряжением. Как уже говорилось,ограничение оператора ad∗ на D диагонально, и его собственные значенияравны 〈λ, α〉 − λ = 〈λ, α〉 − λ . Ядро этого оператора состоит из резонансныхмономов, которые мы определили ранее, поэтому в этом случае из теоремы 4.12 получается обычная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака.Иногда приводить линейную часть векторного поля к диагональномувиду бывает неудобно (особенно для случая вещественных полей). В такомслучае из теоремы 4.12 можно получить простую вещественную нормальнуюформу.0 1 = −I ∗ — матрица поворота на вещественПример 4.14.
Если I = −10ной плоскости R2 с координатами (x, y), то ker ad∗ = ker ad и полная формальная нормальная форма, включая линейную часть, коммутирует с векторнымполем вращения∂∂−y .I=x∂y∂xНо любое вещественное векторное поле, инвариантное относительно вращения, должно иметь вид∂∂∂∂+ g(x 2 + y 2 ) x−y,(4.8)f (x 2 + y 2 ) x + y∂x∂y∂y∂xгде f (r), g(r) ∈ R[[r]] — вещественные формальные ряды от одной переменной.
Действительно, I коммутирует с собой и с радиальным (эйлеровым)векторным полем∂∂E=x + y .∂x∂yЗаметим, что эти два поля образуют базис в любой неособой точке. Их линейная комбинация f E + gI с числовыми коэффициентами f, g коммутируетс I тогда и только тогда, когда I f = Ig = 0, т. е. когда f и g постоянны на всехокружностях x 2 + y 2 = r 2 .Линейная часть поля (4.8) имеет нужный вид (равна I), когда f (0) = 0,g(0) = 1. А тогда ряд g формально обратим.
Поэтому нормальная форма (4.8)формально орбитально эквивалентна формальному векторному полюF 0 = I + f (x 2 + y 2 )E,f ∈ R[[u]],f (0) = 0,I=x∂∂−y ,∂y∂xE=x∂∂+y ,∂x∂y(4.9)где f (u) — формальный ряд от резонансного монома u = x 2 + y 2 .Заметим, что в «стандартном» доказательстве этого результата нужнопредварительно диагонализировать матрицу линейной части. Поэтому (чтобы сопряжение получилось вещественным) приходится требовать, чтобы все§ 4.6. Параметрический случай71последующие замены координат из теоремы Пуанкаре — Дюлака сохраняликомплексное сопряжение, а это — дополнительное независимое условие.Похожее наблюдение объясняет, почему нормальные формы так частобывают интегрируемы в явном виде.Следствие 4.15.
Пусть матрица линейной части векторного поля A 6= 0нормальна, т. е. коммутирует с сопряжённой матрицей A∗ . Тогда векторноеполе после некоторой формальной замены координат будет коммутироватьс (нетривиальным) линейным векторным полем A∗ .Действительно, в этом случае из равенств (4.7) и [A, A∗ ] = 0 следует, что[F , A∗ ] = 0.
Это наблюдение позволяет нам уменьшить размерность системы;ср. с § 4.10.0Замечание 4.16. Мы хотим подчеркнуть, что на C нет выделенной эрмитовой структуры. Эту структуру можно выбирать произвольно, и толькопосле этого на H и D появляется стандартная эрмитова структура.
Поэтомупредположение этого следствия не ограничительно. В частности, оно всегдавыполняется, когда матрица A диагонализируема.§ 4.6. Параметрический случайКогда мы применяем метод Пуанкаре — Дюлака, для нормализации любой конечной струи или всего ряда Тейлора мы выполняем только кольцевыеоперации (сложение, вычитание и умножение) над коэффициентами рядаТейлора исходного поля, если не считать обращения оператора ad . Этонаблюдение позволяет строить формальные нормальные формы, зависящиеот параметров.PОпределение 4.17. Формальный ряд f = α cα x α , cα ∈ C[λ], коэффициенты которого суть многочлены от λ = (λ1 , .
. . , λ ) ∈ C , называется полиномиально зависящим от λ. Никаких ограничений на степени коэффициентовcα мы не накладываем. PФормальный ряд f = cα x α (сильно) аналитически зависит от параметров в области λ ∈ U, если каждый коэффициент cα этого ряда аналитическизависит от параметров в общейобласти U ⊆ C , cα ∈ O (U).PαФормальный ряд f = cα x слабо аналитически зависит от параметровλ ∈ (C , 0), если каждый коэффициент cα является ростком аналитическойфункции: cα ∈ O (C , 0).
В отличие от сильной аналитической зависимости,здесь пересечение областей определения представителей ростков cα можетсостоять из одной точки λ = 0.Мы будем использовать общее название полуформальный ряд для элементов алгебр A[[x]] в этих трёх случаях: когда A = C[λ], A = O (U) и A = O (C , 0).Теорема 4.18 (параметрическая формальная нормальная форма). 1. Если(голоморфное или формальное) векторное полеF = F(·, λ) = A(λ) + F2 (λ) + .
. .72Глава 4. Формальные нормальные формыслабо аналитически зависит от параметров λ ∈ (C , 0), то его можноформальной заменой привести к формальной нормальной форме F 0, удовлетворяющей условию[F 0 − A, A∗ (0)] = 0,(4.10)где A(0) — линейное векторное поле, соответствующее λ = 0, а A∗ (0) — сопряжённое к нему линейное векторное поле.
Как формальную нормальную формуF 0, так и замену координат H, приводящую F к F 0, можно выбрать слабо аналитически зависящими от параметров λ ∈ (C , 0) в смысле определения 4.17.Если F вещественно, то F 0 и H также можно выбрать вещественными.2. Если линейная часть A(λ) ≡ A(0) ≡ A постоянна (не зависит от λ),а само поле полиномиально или сильно аналитически зависит от параметровλ ∈ U, то нормальную форму (4.10) и соответствующую нормализующуюзамену координат можно выбрать полиномиально (соответственно сильноаналитически) зависящей от параметров в той же области.Доказательство. Мы начнём с очень общего наблюдения, которое на самом деле является геометрической переформулировкой теоремы о неявнойфункции.Пусть L : X → Y — линейное отображение линейных пространств, трансверсальное к подпространству Z ⊆ Y.
Тогда для любого аналитического (или полиномиального) отображения y : λ 7→ y(λ) ∈ Y, где λ ∈ U или λ ∈ C , можно найти два аналитических (или полиномиальных) отображения x : λ 7→ x(λ) ∈ Xи z : λ 7→ z(λ) ∈ Z, для которых Lx(λ) + z(λ) = y(λ). Кроме того, если отображение L также (аналитически или полиномиально) зависит от λ и трансверсально к Z для λ = 0, то такие отображения по-прежнему можно найти, но тольколокально — для значений параметра λ ∈ (C , 0), достаточно близких к нулю.В этом случае отображения x(λ) и z(λ) в большей области U, вообще говоря,не аналитичны (не полиномиальны).Это наблюдение можно применить к оператору L = ad , который действует на пространстве X = D , и к подпространству Y = N однородныхвекторных полей, коммутирующих с A∗ (0).
Голоморфная (полиномиальная)разрешимость гомологического уравнения на каждом шаге обеспечиваетсуществование замены координат и нормальной формы, которые обладаюттребуемыми свойствами.Замечание 4.19 (предостережение). Когда речь идёт об общей области аналитичности коэффициентов Тейлора нормальной формы и/или нормализующей заменыкоординат, разница между постоянной и непостоянной матрицей линейной частидовольно существенна.Предположим, что все коэффициенты аналитического семейства F(λ) формальных векторных полей определены и голоморфны в некоторой общей области U(например, поле аналитично в D × U, где D — маленький полидиск).Если матрица линейной части F(λ) не зависит от параметров, то по второмуутверждению теоремы 4.18 можно убрать из разложения F в ряд все нерезонансныечлены (т. е. все члены, не коммутирующие с линейным векторным полем A∗ , котороене зависит от параметров). Все коэффициенты нормальной формы и сопряжениябудут голоморфны в наибольшей возможной области — в области U.§ 4.7.
Формальная классификация формальных отображений73Совершенно противоположная ситуация возникает, если линейная часть векторного поля A(λ) зависит от параметров. Сделав формальную замену, по-прежнемуможно избавиться от членов, резонансных относительно A(0), и коэффициентынормальной формы и сопряжения снова будут аналитически зависеть от λ. Но областьих голоморфности, скорее всего, будет убывать с ростом степени членов.Действительно, предположим, что линейное векторное поле A(0) нерезонансное.Тогда из первого утверждения теоремы 4.18 следует существование линейной нормальной формы F 0 = A(λ). Но для некоторых значений параметра λ, сколь угодно близкихк λ = 0, спектр матрицы A(λ) может стать резонансным, значит, полностью убрать всечлены соответствующей степени будет невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
