Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Наоборот, если разность f − f 0 делится на y +1 , то частноеf0 − f+ ay 2+1y +1можно представить в виде логарифмической производной подходящего ряда h ∈ C[[ y]].Значит, от всех членов степени k + 1 и выше в разложении f можно избавитьсяс помощью формальной замены.Аналогичные результаты можно сформулировать для резонансных сёдел и эллиптических особых точек.82Глава 4. Формальные нормальные формыУпражнения и задачиНабор комплексных чисел λ = (λ1 , .
. . , λ ) ∈ C называется однорезонансным, если все резонансы между компонентами этого набора следуют изодного равенства в целых числах〈α, λ〉 = 0,α ∈ Z+ , α 6= 0.(4.24)Задача 4.1. Опишите формальную нормальную форму векторного поля,у которого матрица линейной части имеет однорезонансный спектр. Покажите, что эта нормальная форма интегрируема в квадратурах.Задача 4.2. Опишите все линейные отображения, сохраняющие формальную нормальную форму из задачи 4.1.Задача 4.3. Опишите вещественную формальную нормальную формувекторных полей в R3 со спектром {0, ±iω}.Задача 4.4. Тот же вопрос — для полей в R4 со спектром {±iω1 , ±iω2 },где отношение ω1 /ω2 иррационально.Задача 4.5.
Опишите симметрии формальных нормальных форм из задач 4.3 и 4.4.Упражнение 4.6. Докажите, что если F — резонансное формальное векторное поле, то exp tF — мультипликативно резонансное формальное отображение для любого t 6= 0.
Верно ли обратное утверждение?Задача 4.7. Постройте формальную нормальную форму для векторных∂∂полей в C3 с нильпотентной жордановой линейной частью J = y + z .∂x∂y∂∂∂Ответ: J + a(x, u)E + b(x, u)F + c(x, u)F , где E = x+ y+z —∂x∂y∂z∂∂∂эйлерово векторное поле в трёхмерном пространстве, F = x+ y , F0 =∂y∂z∂z20и u = u(x, y, z) = 2xz − y .Упражнение 4.8. Найдите формальную нормальную форму для седлоузлового формального отображения со спектром {1, µ}, |µ| =6 1, на плоскости.Задача 4.9. Дайте полное доказательство теоремы Пуанкаре — Дюлакадля формальных отображений (теорема 4.21).Задача 4.10. Докажите, что формальная нормальная форма любого векторного поля из области Пуанкаре (см.
определение 5.1) интегрируемав квадратурах.Глава 5Голоморфные нормальные формы§ 5.1. Области Пуанкаре и ЗигеляДля линеаризации данного (допустим, нерезонансного) векторного поляна каждом шаге процедуры Пуанкаре — Дюлака нужно вычислять обратныйк оператору ad = [A, · ] на пространстве однородных векторных полей заданной степени. При этом коэффициенты ряда Тейлора приходится делить на знаменатели — выражения вида λ − 〈α, λ〉 ∈ C, где α ∈ Z+ , |α| ¾ 2, которые априори могут быть малыми, даже в нерезонансном случае, когда все операторы adобратимы.
В зависимости от спектра λ матрицы линеаризации имеет местоодин из двух возможных вариантов поведения этих знаменателей при |α| → ∞.Определение 5.1. Областью Пуанкаре P ⊂ C называется множество всехнаборов λ = (λ1 , . . . , λ ), для которых начало координат лежит вне выпуклойоболочки множества {λ1 , . . . , λ } ⊂ C.Дополнение к области Пуанкаре называется областью Зигеля S.Внутренностью области Зигеля называется множество наборов λ, длякоторых начало координат лежит строго внутри выпуклой оболочки точекλ1 , . . . , λ .Ниже иногда мы будем говорить о наборах, спектрах или даже росткахвекторных полей типа Пуанкаре (типа Зигеля).Предложение 5.2.
Если λ лежит в области Пуанкаре, то лишь конечноечисло знаменателей λ − 〈α, λ〉, α ∈ Z+ , |α| ¾ 2, может обратиться в нуль.Более того, ненулевые знаменатели отделены от нуля, т. е. 0 не являетсяпредельной точкой для множества {λ − 〈α, λ〉: j = 1, . . . , n, |α| ¾ 2}.Напротив, если λ лежит в области Зигеля, то выполнено хотя бы одно издвух следующих утверждений: в нуль обращается бесконечно много знаменателей или 0 является предельной точкой для множества всех знаменателей.Доказательство.
Пусть выпуклая оболочка множества {λ1 , . . . , λ } ⊂ Cне содержит нуля. Тогда по теореме об отделимости выпуклых множеств существует такой вещественно-линейный функционал `: C → R, что `(λ ) ¶ −r < 0для всех j = 1, . . . , n. Следовательно, `(〈α, λ〉) ¶ −r|α|, и для любого знаменателя имеем:` λ − 〈α, λ〉 ¾ `(λ ) + |α| r → +∞ при |α| → ∞.Тогда из ограниченности ` в окрестности нуля следует, что лишь конечноечисло знаменателей может принадлежать этой окрестности.84Глава 5. Голоморфные нормальные формыПусть теперь набор λ принадлежит области Зигеля. Тогда можно выбратьне более трёх его элементов так, что 0 является их линейной комбинациейс (вещественными) положительными коэффициентами.Мы проведём доказательство для случая, когда нуль является линейнойкомбинацией с положительными коэфициентами трёх точек из набора λ.(В случаях одной и двух точек доказательство аналогичное, но более простое.)Перенумерацией элементов набора и вещественно-линейным (вообще говоря,неконформным) преобразованием рассмотрение сводится к случаю λ1 = 1,λ2 = +i, −λ3 ∈ R2+ = R+ + iR+ .
В этом случае «дробные части» −Nλ3 mod Z + iZцелых положительных кратных для −λ3 образуют на двумерном торе R2 /Z2 либо конечное множество (причём все его точки, включая нуль, соответствуютбесконечно многим знаменателям), либо их замыкание есть одномерный илидвумерный тор, в этом случае точка (0, 0) ∈ R2 /Z2 будет предельной точкойдля множества «дробных частей», которые являются вещественно-линейнымиобразами знаменателей.Следствие 5.3. Если спектр матрицы линеаризации формального векторного поля лежит в области Пуанкаре, то резонансная формальная нормальнаяформа этого поля, указанная в теореме 4.10, полиномиальна.Замечание 5.4. Резонансные наборы λ ∈ C плотны в области Зигеля Sи не плотны в области Пуанкаре P. Это доказано в [91].§ 5.2. Голоморфная классификацияв области ПуанкареВ области Пуанкаре нормализующий ряд, сопрягающий векторное полеи его нормальную форму Пуанкаре — Дюлака, всегда сходится.Теорема 5.5 (теорема Пуанкаре о нормализации).
Голоморфное векторное поле, спектр линейной части которого принадлежит области Пуанкаре,голоморфно эквивалентно своей полиномиальной формальной нормальнойформе Пуанкаре — Дюлака.В частности, нерезонансное векторное поле можно привести к линейнойнормальной форме голоморфным преобразованием.Мы сначала докажем эту теорему для векторных полей с диагональнойнерезонансной линейной частью Λ = diag{λ1 , . .
. , λ }; резонансный случайбудет рассмотрен в § 5.3. Классическое доказательство Пуанкаре было получено на основе так называемого метода мажорант. В современных терминахоно принимает вид принципа сжимающих отображений в подходящем функциональном пространстве, которое называется мажорантным.Определение 5.6. Оператором мажорирования M будем называть нелинейный оператор на пространстве формальных рядов, заменяющий все коэффициенты ряда их абсолютными величинами:XXM:cα z α 7→|cα | z α .α ∈ Z+α ∈ Z+85§ 5.2. Голоморфная классификация в области ПуанкареДействие оператора мажорирования естественным образом продолжаетсяна все другие классы формальных объектов (векторные формальные ряды,формальные векторные поля, формальные преобразования и т.
д.). При этомдля векторных объектов нужно, зафиксировав некоторый базис, заменитькомпоненты векторов в этом базисе на их модули.Определение 5.7. Мажорантной ρ-нормой называется функционал напространстве формальных степенных рядов C[[z1 , . . . , z ]], задаваемый следующим образом:dc f dcρ = sup |M f (z)| = |M f (ρ, . . . , ρ)| ¶ +∞.(5.1)||<ρДля формальной векторнозначной функции F = (F1 , . .
. , F ) мажорантнаянорма определяется какdc Fdcρ = dc F1 dcρ + . . . + dc F dcρ .(5.2)Мажорантным пространством Bρ называется пространство формальных(векторнозначных) функций из C[[z]], имеющих конечную мажорантнуюρ-норму.Предложение 5.8. Пространство Bρ с мажорантной нормой dc·dcρ полно.Доказательство.
Если ρ = 1, это очевидно: отображение, сопоставлящееряду последовательность его коэффициентов (занумерованных произвольным образом), задаёт изоморфизм пространстваPBρ с нормой dc·dcρ и про∞странства `1 последовательностей, норма kxk = =1 |x | которых конечна,а полнота `1 известна. Случай произвольного ρ сводится к рассмотренномупреобразованием f (ρx) ↔ f (x), которое устанавливает изоморфизм междуBρ и B1 .Замечание 5.9. Пространство Bρ тесно связано, но не совпадает с пространством Aρ = A (Dρ ) функций, голоморфных в полидиске Dρ = {|z| < ρ}и непрерывных на его замыкании с обычной равномерной нормой k f kρ == max||<ρ | f (z)|.Очевидно, что Bρ ⊂ Aρ , поскольку ряд из Bρ абсолютно сходится в замкнутом полидиске Dρ . Обратно, если f голоморфна в Dρ и непрерывна назамыкании, то из оценок Коши следует, что коэффициенты ряда Тейлораудовлетворяют неравенству|cα | ¶ k f kρ · ρ −|α| ,α ∈ Z+ .PХотя ряд dc f dcρ = |cα | ρ |α| может расходиться, любая норма dc f dcρ0 с ρ 0 < ρобязательно конечна:Xρ0dc f dcρ0 ¶ k f kρ ·δ|α| < C k f kρ ,C = C(δ, n), δ =< 1.α ∈ Z+ρДля построения контрпримера, показывающего, что Aρ ) Bρ , рассмотPрим сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд Фурье ∈ Z+ c e однойPвещественной переменной t и положим f (z) = c z .
Этот ряд строится так,86Глава 5. Голоморфные нормальные формычто он сходится во всех точках границы |z| = 1 единичного диска и задаётфункцию из A (D1 ), но по построению его мажорантная 1-норма бесконечна.Подробности приведены в [20, § 10.6].Для дальнейшего важную роль будут играть свойства мажорантных пространств, связанные с операциями над функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
