Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Отметим, чтоэтот оператор содержит производную от h, а потому необратим в любоймажорантной норме dc·dcρ .Пусть B,ρ = { f : j f = 0} ∩ Bρ — подпространство m-плоских рядов в банаховом пространстве Bρ , снабжённое той же мажорантной нормой dc·dcρ .Поскольку V является 1-плоским, операторы T, S, Ψ отображают подпространство B,ρ в себя для любого m > 1.Более того, по лемме 5.14, оператор сдвига аргумента S сильно сжимаетнезависимо от выбора m. Оператор «конечной разности» T отличается от оператора сдвига S на постоянный оператор V = T (0), который не влияет на константу Липшица.
Поскольку dcV dcρ = O(ρ 2 ), оператор T также сильно сжимает.Оператор ad сохраняет порядок всех мономов, и потому также отображает B,ρ в себя при всех m, ρ и является обратимым на этих пространствах,если m достаточно велико. Действительно, при |α| > r + 1 из уравнения (5.9)получаем, что Re(〈α, λ〉 − λ ) > 0, тогда все знаменатели в формулеXXcα∂α ∂7−→ad−1:cxxαα B,ρ|α|¾∂x|α|¾〈α, λ〉 − λ∂xне обращаются в нуль при m ¾ r + 1, а ограничение ad−1 на B,ρ ограничено.Более того, если m ¾ r + 1, тоdcad−1 hdcρ ¶ O(1/m)dchdcρ(5.12)равномерно по всем h ∈ B,ρ степени m.−1Следовательно, операторы ad−1 ◦ S и ad ◦T сильно сжимают. Для завершения доказательства теоремы осталось установить, что линейный операторad−1 ◦ Ψ : B,ρ → B,ρ сильно сжимает, если m больше r + 1.Напомним, что пространство B,ρ (с нормой dc·dcρ ) изоморфно пространству `1 (см.
доказательство предложения 5.8), при этом образующим про∂странства `1 соответствуют в B,ρ векторы hβ = ρ −|β| x β, где k = 1, . . . , n∂xи |β| ¾ m. Заметим, что норма линейного оператора, действующего в `1 , равнасупремуму норм образов образующих. Перенося это утверждение в пространство B,ρ , получаем, что из равномерной по всем |β| ¾ m и всем k оценки −1ad Ψhβ ρ = O(ρ) при ρ → 0(5.13)будет следовать, что оператор ad−1 ◦ Ψ сильно сжимает.91§ 5.4. Голоморфные нормальные формы отображенийПрямое вычисление показывает, чтоΨhβ =Xρ −|β|=1β β∂x V.x∂xТак как V является 1-плоским, dcV dcρ = O(ρ 2 ); подставляя это в определениемажорантной нормы, получаемXdcΨhβ dcρ ¶β ρ −1 O(ρ 2 ) = β O(ρ),xβVгде O(ρ) равномерно по всем β. Поскольку порядок произведенийx не менее |β| + 1, из (5.12) мы получаем −1βad Ψhβ ρ ¶ O(ρ) = O(ρ)|β|равномерно по всем β, для которых |β| ¾ m ¾ r + 1.
Итак, оператор ad−1 ◦Ψтакже сильно сжимает. Следовательно, в достаточно малом полидиске {|x|<ρ}существует решение эквивалентного (5.11) уравненияh = ad−1 ◦(T + S + Ψ)h.Теперь можно легко завершить доказательство теоремы о голоморфнойнормализации в области Пуанкаре в резонансном случае.Доказательство теоремы 5.5 (резонансный случай). Применяя нормализационную процедуру Пуанкаре — Дюлака, полиномиальным преобразованием можно убрать все нерезонансные члены до некоторого конечногопорядка m. По теореме 5.15 m-плоские голоморфные ростки можно убратьголоморфным преобразованием, если m достаточно велико (выбор такого mопределяется спектром матрицы линеаризации).Замечание 5.16. Можно доказать, что в области Пуанкаре верно дажеболее сильное утверждение: если голоморфное векторное поле зависит аналитически от конечного числа параметров λ ∈ (C , 0) и принадлежит областиПуанкаре при λ = 0, то голоморфной заменой переменных, голоморфнозависящей от параметров, это векторное поле можно привести к полиномиальной нормальной форме, включающей только резонансные члены.
В такойформе это утверждение сформулировано в [102]. Доказательство получаетсянебольшим изменением изложенного доказательства теоремы 5.15.§ 5.4. Голоморфные нормальные формы отображенийТак же как во многом параллельны формальная теория для векторныхполей D[[C , 0]] и отображений Diff[[C , 0]] (см. § 4.7), параллельны и аналитическая теория нормальных форм для векторных полей и биголоморфизмов.Аддитивным резонансным условиям λ − 〈α, λ〉 =6 0 соответствуют муль−1 αтипликативные условия µ µ 6= 1. Аддитивное условие Пуанкаре (определение 5.1) требует, чтобы (возможно, после некоторого поворота) все собствен-92Глава 5. Голоморфные нормальные формыные значения λ линеаризации векторного поля лежали по одну сторону отмнимой оси; соответствующее ему мультипликативное условие состоит в том,что все собственные значения µ линейной части отображения должны лежатьпо одну сторону от единичной окружности.
Такие отображения обязательносжимают либо растягивают, при этом имеется лишь конечное число мультипликативных резонансных соотношений между собственными значениями.Аналог теоремы Пуанкаре 5.5 имеет следующий вид. Пусть M ∈ GL(n, C) —матрица в (верхнетреугольной) жордановой форме, µ1 , .
. . , µ ∈ C∗ — её собственные значения. Нормальной формой Пуанкаре — Дюлака для отображения с линейной частью x 7→ Mx называется отображение видаXf : C → C , x 7→ f (x) = Mx +x α e ,(5.14)α ∈ Z+ , |α|¾2µ =µαгде e ∈ C — j-й базисный вектор. Если M принадлежит мультипликативнойобласти Пуанкаре, т. е. если все собственные значения по модулю одновременно либо больше единицы, либо меньше единицы, то нормальная форма(5.14) полиномиальна (содержит лишь конечное число членов).Для биголоморфизмов из (мультипликативной) области Пуанкаре вернаследующая теорема.Теорема 5.17.
Голоморфное обратимое отображение f ∈Diff(C , 0) со спектром µ1 , . . . , µ , лежащим внутри единичного круга, 0 < |µ | < 1, j = 1, . . . , n,аналитически эквивалентно своей полиномиальной нормальной форме Пуанкаре — Дюлака (5.14).Чтобы получить тот же результат для отображения f со спектром снаружи от единичной окружности, |µ | > 1, рассмотрим его полиномиальнуюнормальную форму fb. Отображения f и fb формально эквивалентны, поэтомуформально эквивалентны и обратные к ним отображения f −1 и fb−1 (легковидеть, что их сопрягает тот же ряд, что и f с fb ). Тогда эти отображения имеютодну и ту же полиномиальную нормальную форму g, причём к ним уже применима теорема 5.17, по которой и f −1 , и fb−1 аналитически эквивалентны g,bа следовательно, и друг другу. Таким образом, f аналитически эквивалентно f.В важном частном случае одномерных отображений мультипликативноеусловие Пуанкаре выполнено автоматически, если отображение гиперболично,т.
е. если его мультипликатор µ отличен по модулю от единицы. Это автоматически гарантирует, что резонансы невозможны, а потому нормальнаяформа Пуанкаре — Дюлака (5.14) в этом случае линейна. Соответствующийрезультат был получен Э. Шрёдером (1870) и Г. Кёнигсом (1884).Теорема 5.18.
Голоморфный ростокf : (C, 0) → (C, 0),f (x) = µx + O(x 2 ),аналитически линеаризуем, если |µ| =6 1.Если f = f зависит аналитически от дополнительного параметра t ∈ U ⊆⊆ C , то линеаризующую карту можно выбрать аналитически зависящей§ 5.5. Теоремы Зигеля, Брюно и Йоккоза (мини-обзор)93от параметра, при условии что мультипликатор µ отображения f , t ∈ U,не попадает на единичную окружность.По причине важности этой теоремы мы дадим её независимое доказательство гомотопическим методом в § 5.6.
Набросок ещё одного доказательствадан в задаче 5.6.§ 5.5. Приведение к линейной нормальной формев области Зигеля: теоремы Зигеля, Брюнои Йоккоза (мини-обзор)В области Зигеля знаменатели λ − 〈α, λ〉 не отделены от нуля, поэтомудаже в нерезонансном случае оператор ad = [A, · ] коммутирования с линейной частью векторного поля имеет неограниченный обратный ad−1 . Темне менее, поскольку оператор S сильно сжимает, из уравнения (5.7) можнонайти h, применяя аналог метода Ньютона, если только малые знаменатели|λ − 〈α, λ〉| не приближаются к нулю слишком быстро, когда |α| → ∞.Этот подход известен под общим названием теории KAM (в честь А.
Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера). Теория КАМ уже стала классикой;точные формулировки и полные доказательства можно найти во многихпревосходных источниках, например, в [13,91]. Мы приведём только основныерезультаты этой теории.Определение 5.19. Набор (вектор) комплексных чисел λ ∈ C , лежащийв области Зигеля S, называется диофантовым, если малые знаменателиубывают не более чем полиномиально с ростом |α|, т.
е.∃ C, N < +∞ ∀ α ∈ Z+|λ − 〈α, λ〉|−1 ¶ C |α| .(5.15)В противном случае этот набор называется лиувиллевым.Лиувиллевы векторы «редки»: множество векторов λ ∈ C , для которыхусловие (5.15) не выполнено при данном N, имеет нулевую меру Лебегав S ⊂ C , если N > (n − 2)/2; см. [91].Теорема 5.20 (теорема Зигеля). Если матрица линеаризации Λ голоморфного векторного поля нерезонансна, а её спектр принадлежит области Зигеляи диофантов, то векторное поле голоморфно линеаризуемо.Таким образом, большинство (в смысле меры Лебега) ростков голоморфных векторных полей аналитически линеаризуемо. Однако можно и далееослаблять достаточные условия сходимости нормализующих рядов для системиз области Зигеля.Определение 5.21.
Нерезонансный набор λ ∈ C удовлетворяет условиюБрюно, если малые знаменатели убывают субэкспоненциально:|λ − 〈α, λ〉|−1 ¶ Ce|α|для некоторых C и " > 0.1−"при |α| → ∞(5.16)94Глава 5. Голоморфные нормальные формыТеорема 5.22 (теорема Брюно). Голоморфное векторное поле с нерезонансной матрицей линеаризации, спектр которой лежит в области Зигеляи удовлетворяет условию Брюно, голоморфно линеаризуема.С другой стороны, если знаменатели |λ − 〈α, λ〉| накапливаются к нулюслишком быстро, например, суперэкспоненциально, то соответствующие ростки в общем случае нелинеаризуемы (ср.
с замечанием 5.33 ниже).Аналоги теорем Зигеля и Брюно выполняются и для голоморфных ростковотображений. Наиболее важный случай — одномерные конформные ростки из группы Diff(C1 , 0). Такие ростки принадлежат области Зигеля тогдаи только тогда, когда их мультипликатор µ лежит на единичной окружности:µ = exp 2πil для некоторого l ∈ R; они нерезонансны, если l иррационально.Условие диофантовости и условие Брюно переносятся на этот случай кактребования отсутствия у этого числа l ∈ R\Q слишком точных рациональныхприближений.Так, если комплексное число µ = exp 2πil, l ∈ R, удовлетворяет мультипликативному условию Брюно1−"|µ − 1|−1 < Ce,C < +∞, " > 0,(5.17)то любое голоморфное отображение (C, 0) → (C, 0), z 7→ µz + z + . .
. голоморфно линеаризуемо. Достаточное арифметическое условие (5.17) оказываетсятакже необходимым в следующем смысле.2Теорема 5.23 (Ж.-К. Йоккоз [80, 81]). Если комплексное число µ = exp 2πil,l ∈ R, не удовлетворяет мультипликативному условию Брюно (5.17), то существует нелинеаризуемый голоморфный росток (C, 0) → (C, 0), z 7→ µz + f (z),f (z) = z 2 + . . .В действительности в предположениях этой теоремы ростокf (z) = µz + w f (z)будет нелинеаризуемым для почти всех w ∈ C; ср. с теоремой 5.29 нижеи с [50]. Линеаризуемые формально, но не аналитически ростки голоморфныхотображений часто называют ростками Кремера.Замечание 5.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
