Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Нам понадобятся веса мономов, которые мы определиливыше.Если матрица Λ диагональна, оператор коммутирования adΛ сохраняетвеса, так как все векторные мономы являются его собственными векторами.Оператор коммутирования с мономиальным векторным полемJ = x∂∂x+1увеличивает веса мономов. Действительно,x∂∂∂∂∂xα, x= xα, x+ α+1 x α·.∂x∂x+1∂x∂x+1x+1∂xВторое слагаемое, если оно присутствует, т. е. если α+1 6= 0, имеет больший∂, так как w > w+1 . Первое слагаемое отлично от нуля∂x∂только при j = k, и в этом случае принимает вид x α, т. е. тоже имеет∂x+1вес, чем Fα = x αбольший вес, чем Fα .Осталось заметить, что любое линейное векторное поле в жордановойнормальной форме представляется в виде суммы своей диагональной части Λ и линейной комбинации мономиальных векторных полей J1 , . .
. , J−1 .Оператор ad линейно зависит от A, поэтому оператор ad равен операторуadΛ с точностью до линейной комбинации операторов ad , повышающихвес. Значит, если мономиальные поля Fα упорядочены в порядке убываниявесов, как в стандартном базисе, то оператор ad нижнетреугольный, и егодиагональная часть равна adΛ .Так как оператор adΛ имеет ненулевые собственные значения, то операторad обратим.§ 4.4. Резонансные нормальные формы: парадигма Пуанкаре — Дюлака65Доказательство теоремы 4.3.
Теперь мы можем доказать теорему Пуанкаре о линеаризации. По лемме 4.5, оператор ad обратим, и, значит, гомологическое уравнение (4.2) разрешимо для любой правой части. Решая такиеуравнения для m = 2, 3, . . . , мы построим бесконечную последовательность полиномиальных отображений H1 , H2 , . . . , H , . . . и бесконечную последовательность формальных полей F1 = F, F2 , .
. . , F , . . . , для которых F = Ax + (членыстепени m и выше), и отображение H = id + (члены степени m и выше)сопрягает F с F+1 . Значит, композиция H () = H ◦ . . . ◦ H1 сопрягаетисходное поле F1 с полем F+1 , которое не содержит нелинейных членов достепени m.Остаётся заметить, что по построению отображения H+1 композицияH (+1) = H+1 ◦ H ()совпадает с H () в членах степени не выше m. Поэтому пределH = H (∞) = lim H ()→∞(бесконечная композиция) существует в классе формальных отображений.По построению, формальное векторное поле H∗ F не может содержать нелинейных членов; значит, это поле линейно, что и требовалось.Замечание 4.6. Формальное отображение, линеаризующее нерезонансноеформальное векторное поле и касательное к единице, единственно.
Действительно, в противном случае существовало бы нетривиальное формальноеотображение id + h, сопрягающее линейное векторное поле с собой: ∂hAx = Ah(x), т. е. ad h = 0.∂xНо в нерезонансном случае коммутатор ad инъективен, следовательно, h = 0.Поэтому формальное отображение, сопрягающие линейное поле с собой, может быть только линейным отображением x 7→ Bx, где матрица Bкоммутирует с A: [A, B] = 0.§ 4.4. Резонансные нормальные формы:парадигма Пуанкаре — ДюлакаИндуктивное рассуждение, которое позволяет линеаризовать нерезонансные векторные поля, можно применять для упрощения резонансных полей.В резонансном случае оператор ad = [A, ·] взятия коммутатора с линейнойчастью поля может уже не быть сюръективным.
Поэтому условие V0 = 0,которое означает отсутствие членов степени m после сопряжения, можетбыть невыполнимым.В случае наличия резонансов выберем в каждом линейном пространстве D дополнительное (трансверсальное) подпространство N к образуоператора ad :D = N + ad (D )(4.4)(сумма необязательно прямая).66Глава 4. Формальные нормальные формыТеорема 4.7 (парадигма Пуанкаре — Дюлака). Если подпространстваN ⊂ D трансверсальны к образу коммутатора ad (см. (4.4)), то любоеформальное векторное поле F(x) = Ax + . . .
с линейной частью A формально сопряжено некоторому формальному векторному полю, у которого всенелинейные члены степени m принадлежат подпространству N .Доказательство. Если отображение H (x) = x + P (x) сопрягает полеF(x) = Ax + . . . + V (x) + . . . с полем F 0 (x) = Ax + . . . + V0 (x) + . . .
с такой же(m − 1)-струёй, то вместо гомологического уравнения (4.2) (которое соответствовало случаю V0 = 0) поправка P должна удовлетворять уравнениюad P = V0 − V .(4.5)Из условия (4.4) сразу следует, что для любого поля V можно выбратьполе V0 из подпространства N , чтобы уравнение (4.5) было разрешимоотносительно P .Сопряжение H не меняет члены младших степеней, и, значит, можнопоследовательно строить сопряжения для растущих m так же, как и в нерезонансном случае. В результате мы получим, что любое формальное векторноеполе F формально эквивалентно формальному полю, содержащему толькочлены из «дополнительных» пространств N для всех m = 2, 3, . . .Выбор трансверсальных подпространств N зависит от ad , а значит,от самой матрицы A.Пример 4.8.
Предположим, что матрица A диагональна,A = Λ = diag{λ1 , . . . , λ }.В этом случае, как мы уже показали, оператор adΛ диагонален в базисе извекторных мономов; но теперь среди его собственных значений есть нули.Для диагональных операторов в конечномерном пространстве ядро и образ —дополнительные пространства, и мы можем выбрать N = ker adΛ ⊂ D . Ядродиагонального оператора adΛ можно легко описать.Определение 4.9. Резонансным векторным мономом, соответствующим∂резонансу λ −〈λ,α〉=0, называется мономиальное векторное поле Fα = x α.∂xЗаметим, что ядро ker adΛ состоит из линейных комбинаций резонансныхмономов. Из парадигмы Пуанкаре — Дюлака для N = ker adΛ немедленноследует, что формальное векторное поле с диагональной линейной частьюΛx формально эквивалентно векторному полю с такой же линейной частью,у которого все ненулевые нелинейные члены — резонансные мономы.На самом деле предположение о диагонализируемости линейной частиизбыточно.
Следующее утверждение — один из самых известных результатово формальной классификации.Теорема 4.10 (теорема Пуанкаре — Дюлака). Любое формальное векторное поле формально эквивалентно некоторому векторному полю, линейнаячасть которого — жорданова нормальная форма, а все ненулевые членыстарших степеней — резонансные мономы.67§ 4.5.
Теорема БелицкогоДоказательство. Предположим, что координаты уже выбраны такимобразом, что матрица линейной части A — жорданова верхнетреугольнаяматрица.Возьмём в качестве подпространства N линейную оболочку всех резонансных мономов:MN =C · Fα .〈λ,α〉−λ =0По лемме 4.5, оператор L := ad |D верхнетреугольный, и на его диагонали стоят числа 〈λ, α〉 − λ ; некоторые из этих чисел равны нулю. По выборупространства N , для каждого нуля, стоящего на диагонали оператора L , соответствующий ему базисный вектор содержится в пространстве N . Значит,условие (4.4) выполнено.
Теперь утверждение теоремы следует из парадигмыПуанкаре — Дюлака.§ 4.5. Теорема БелицкогоВыбор «резонансной нормальной формы» (иными словами, семействаподпространств N ) в теореме 4.10 избыточен в том смысле, что размерностьэтих пространств (количество параметров в нормальной форме) не минимальна.
Например, если A — ненулевая нильпотентная жорданова матрица, товсе мономы резонансны в смысле определения 4.9, хотя образ ad , очевидно,нетривиален. Здесь мы опишем один из способов минимального выбора,предложенный Г. Р. Белицким [98, гл. II, § 7].Рассмотрим стандартную эрмитову структуру на пространстве C : базисные векторы e = ∂/∂x образуют ортонормированный базис.Для любого натурального m ¾ 1 через H обозначим комплексное векторное пространство всех однородных многочленов степени m. Введём стандартную эрмитову структуру на H таким образом, чтобы нормированные1мономы ϕα = p x α образовывали ортонормированный базис:α!(ϕα , ϕβ ) = δαβ ,1xα,α!ϕα = pα, β ∈ Z+ ,|α| = |β| = m.(4.6)Здесь, как обычно, α! = α1 ! .
. . α ! для α = (α1 , . . . , α ), 0! = 1, а δαβ — стандартный символ Кронекера.Тогда линейное пространство D однородных векторных полей степени m естественным образом отождествляется с тензорным произведениемD = H ⊗C C и наследует стандартную эрмитову структуру, для котороймономы1ϕα ⊗ e = p Fαα!образуют ортонормированный базис.Для матрицы A ∈ Mat(n, C) через A∗ обозначим сопряжённую матрицу,полученную из A транспонированием и комплексным сопряжением: a∗ = a .Пусть A(x) = Ax — линейное векторное поле на C с матрицей A, и пустьA∗ (x) = A∗ x. Тогда A и A∗ действуют как дифференциальные операторы68Глава 4. Формальные нормальные формыA=Pa xP∂∂и A∗ =a xна H .
Операции взятия коммутаторов∂x∂xad = [A, ·] и ad∗ = [A∗ , ·] — линейные операторы на D .Следующее утверждение показывает, что такие операторы сопряжены(двойственны друг другу) относительно стандартных эрмитовых структурв соответствующих пространствах.Лемма 4.11.
1. Оператор дифференцирования A∗ : H → H сопряжёноператору дифференцирования A (относительно стандартной эрмитовойструктуры) и наоборот.2. Коммутатор ad∗ =[A∗ ,·]: D →D сопряжён коммутатору ad = [A, ·](относительно стандартной эрмитовой структуры), и наоборот.Доказательство. 1. Равенство (A f, g) = ( f , A∗ g) для каждой пары многочленов f, g ∈ H «линейно» зависит от матрицы A: если оно выполненодля матриц A, A0 ∈ Mat(n, C), то оно верно и для их линейной комбинацииλA + λ0 A0 с любыми комплексными коэффициентами λ, λ0 ∈ C.Значит, достаточно проверить утверждение леммы для мономиальных∂∂дифференцирований A = xи A ∗ = x .∂x∂x∂Если i = j, то оператор A = A = xдиагонален в ортонормированном∂x∗базисе {ϕα } и имеет вещественные собственные значения λα = α = α ∈ Z+ ,следовательно, является самосопряжённым.Если i 6= j, операторы A и A∗ являются композициями перестановки базисных векторов и диагонального оператора.
А именно, если β — мультииндекс,который получается из α после операцииα,k=6i,j,k 6= i, j, β ,β = α + 1, k = i,α = β − 1, k = i, α − 1, k = j, β + 1, k = j,тоα +1ββ!= = иα!ααppÆαββ!βAϕα = p x = α p ϕβ = α p ϕβ = α β ϕβ .αα!α!АналогичноÆxα= . . . = β α ϕα .β!A ∗ ϕβ = β pНо так как векторы ϕα образуют ортонормированный базис, тоÆ(Aϕα , ϕβ ) = (ϕα , A∗ ϕβ ) = β α ∈ R,а все остальные матричные элементы операторов A и A∗ в базисе {ϕα } —нулевые. Следовательно, дифференцирования A и A∗ сопряжены на H .2. Пользуясь структурой тензорного произведения D = H ⊗ C , коммутаторы можно представить в следующем виде:ad = A ⊗ E − id ⊗ A.§ 4.5. Теорема Белицкого69Действительно, пусть ϕ ∈ H — многочлен, а v ∈ C — вектор, которыйрассматривается как постоянное векторное поле на C .
Тогда для каждогоэлемента вида ϕv мы по правилу Лейбница получаем[A, ϕv] = (Aϕ)v + ϕ[A, v] = (Aϕ)v − ϕ A v.Ясно, что в силу выбора эрмитовой структуры на H ⊗ C операторid ⊗ A сопряжён с id ⊗ A∗ . Сопряжённым оператором к A ⊗ E будет тензорноепроизведение оператора, сопряжённого к A, с единицей. По первому утверждению леммы, оператор, сопряжённый к A, равен A∗ . Итак, двойственнымк оператору [A, ·] будет оператор A∗ ⊗ E − id ⊗ A∗ , т. е.
[A∗ , ·] = ad∗ .Теорема 4.12 (Г. Р. Белицкий [98]; см. также [18, 71]). Формальное векторное поле F(x) = Ax + V2 (x) + . . . с линейной частью A формально эквивалентновекторному полю F 0 (x) = Ax + V20 (x) + . . . , нелинейная часть которого коммутирует с линейным векторным полем A∗ (x) = A∗ x:[F 0 − A, A∗ ] = 0.(4.7)Если векторное поле F вещественно (т. е. все коэффициенты в его ряде Тейлоравещественны, в частности, A вещественно), то и формальную нормальнуюформу, и сопрягающую замену координат можно выбрать вещественными.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
