Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Обрезая ряд (3.8), т. е. подставляя в него j F вместо F,получаем матричный формальный степенной ряд. Этот ряд всегда сходится.Действительно, при любом выборе нормы | · | на конечномерном пространствеJ (C , 0) норма оператора j F конечна (| j F| = r < +∞), значит, ряд (3.8)мажорируется сходящимся числовым рядом1 + |t|r +|t|2 r 2+ . .
. = exp |t|r < +∞2!для любого конечного t ∈ C (ср. с определением 1.10). Обозначим суммутакого ряда через exp j F: J (C , 0) → J (C , 0).Струи exp j F для разных порядков k согласованы в общих членах: еслиl > k, то j (exp tj F) = exp tj F. Это позволяет определить сумму ряда exp tFкак оператор H : C[[x]] → C[[x]], используя его начальные отрезки всехпорядков.Групповое свойство H + =H ◦H , аналогичное групповому свойству (3.5),следует из формального равенства exp(t + s) = exp t · exp s, так как tF и sF,очевидно, коммутируют. Остаётся показать, что H — гомоморфизм алгебр,т. е. что H ( fg) = H f H g для любых двух рядов f, g ∈ C[[x]].§ 3.4.
Включение в поток и матричные логарифмы55Применяя несколько раз правило Лейбница, для любых f, g ∈ C[[x]]получаемX (p + q)!F ( fg) =F f · F g.+=p! q!Подставляя это равенство в ряд для экспоненты, имеемX X X +ttH ( fg) =F ( fg) =F f · Fg =k! +==Xp! q!t F fp! X t·F g = H f · H g.q!Так как ряд (3.8) напоминает ряд для экспоненты, мы будем часто использовать экспоненциальные обозначения: если F — формальное или аналитическое векторное поле с особой точкой в нуле, через exp tF мы будемобозначать поток этого поля за время t (формальный или аналитический).§ 3.4. Включение в поток и матричные логарифмыОпределение 3.10.
Голоморфный росток H ∈ Diff(C , 0) (или формальноеотображение H ∈ Diff[[C , 0]]) называется включаемым, если существует голоморфный росток векторного поля F (соответственно формальное векторноеполе F ∈ D[[C , 0]]), для которого H является потоком (формальным потоком)за единичное время: H = exp F.Отображения потока линейной системы ẋ = Ax с постоянными коэффициентами — это линейные отображения x 7→ (exp tA)x; см. (1.12).
Значит,для линейного отображения x 7→ Mx, M ∈ GL(n, C), естественно рассмотретьвопрос о включаемости в поток в классе линейных векторных полей F(x) = Ax.Тогда задача сводится к нахождению матричного логарифма — матричногорешения уравненияexp A = M, A, M ∈ Mat(n, C).(3.9)Понятно, что необходимым условием разрешимости этого уравнения является невырожденность матрицы M. Для матриц над полем C это условиеоказывается достаточным.Лемма 3.11.
Для любой невырожденной матрицы M ∈ Mat(n, C), det M 6= 0,существует матричный логарифм A = ln M — комплексная матрица, удовлетворяющая уравнению (3.9).Мы приведем две конструкции, которые позволяют строить матричныелогарифмы невырожденных матриц.Первая конструкция. Для скалярной матрицы M = λE, 0 6= λ ∈ C, в качестве её логарифма можно взять ln M = (ln λ) E (для любого выбора ln λ).Далее, если у матрицы есть ровно одно ненулевое собственное значение максимальной кратности, то она имеет вид M = λ(E + N), где N — нильпотентная56Глава 3. Формальные потоки и теорема о включении в поток(верхнетреугольная) матрица. Логарифм такой матрицы можно определить,взяв формальный ряд для обычного логарифма:1213ln M = ln(λE) + ln(E + N) = (ln λ) E + N − N 2 + N 3 − .
. .(3.10)(эта сумма конечна). Тем самым логарифм корректно определен, так каквыполнено формальное равенствоx2x3exp x −+± . . . = 1 + x,23а матрицы E и N коммутируют.Любую матрицу M можно привести к блочно-диагональному виду, в котором у каждого блока есть ровно одно собственное значение. Матричнымлогарифмом такой матрицы будет блочно-диагональная матрица, составленная из логарифмов отдельных блоков. Это решает задачу вычисленияматричного логарифма в общем случае.Вторая конструкция. Во второй конструкции мы воспользуемся интегральным представлением аналитических матричных функций.
Пусть функция f (x) комплексно-аналитична в области U ⊂ C, граница которой ∂U —гладкая замкнутая кривая, и пусть все собственные значения матрицы Mлежат в U. Тогда значение f (M) можно определить как контурный интегралIf (M) =12πif (λ)(λE − M)−1 dλ(3.11)[106, гл. V, § 4]. В случае f (x) = ln x нужно выбрать гладкую замкнутую петлю ∂U, содержащую все собственные значения M в U, но не содержащую λ = 0(ср. с рис.
3.1). Тогда в области U выделяется однозначная ветвь комплексногологарифма ln λ, и именно эту ветвь мы подставляем в интегральную формулу.Чтобы доказать, что вторая конструкция приводит к тому же результату,что и первая, достаточно проверить это утверждение для жордановых клеток;в таком случае обратную матрицу можно вычислить в явном виде. Преимущество второй конструкции заключается в том, что она позволяет оценитьнорму логарифма |ln M| в терминах |M| и |M −1 |.собственные значения Mµ1Uµ2Oµ∂UРис. 3.1.
Интегральное представление матричного логарифмадля невырожденной матрицы с данным спектром§ 3.5. Логарифмы и дифференциальные операторы57Замечание 3.12. Матричный логарифм не является единственным ни в каком смысле. В первой конструкции можно выбирать ветви логарифмовсобственных значений произвольно и независимо для разных блоков жордановой формы.
Во второй конструкции, кроме свободы при выборе ветвилогарифма, можно произвольно выбирать область U (т. е. петлю ∂U, котораяохватывает все собственные значения M и не содержит нуля).Замечание 3.13. Существует естественное препятствие, не позволяющееопределить матричный логарифм в классе вещественных матриц.
А именно,если exp A = M для некоторой вещественной матрицы A, то матрицу M можносоединить с тождественной матрицей E путем из невырожденных матрицexp tA; в частности, оператор M должен сохранять ориентацию. Если матрица M невырожденна, но обращает ориентацию, у неё нет вещественногоматричного логарифма.Впрочем, естьтонкие препятствия.
Рассмотрим вещественную и более1матрицу M = −1с определителем 1. Если M = exp A, то по (1.16)0 −1exp tr A = 1, откуда для вещественной матрицы следует tr A = 0. Два собственных значения A не могут одновременно быть нулями, так как иначе у еёэкспоненты оба собственных значения будут равны 1. Значит, собственныезначения матрицы A должны быть различны. Но в таком случае матрица A,а значит, и её экспонента M, должна быть диагонализируемой. Полученноепротиворечие показывает, что уравнение exp A = M невозможно решитьв классе вещественных матриц.§ 3.5.
Логарифмы и дифференциальные операторыПо аналогии с построением логарифма линейного оператора можнопопробовать доказать теорему о формальном включении в поток:Для любого формального отображения H ∈ Diff[[C , 0]] существует формальное векторное поле F, для которого формальный поток за единичноевремя совпадает с H.Для произвольного конечного порядка k рассмотрим k-струю H = j Hкак автоморфизм конечномерной C-алгебры F = J (C , 0). По лемме 3.11,существует линейное отображение F : F → F такое, что exp F = H .Предположим, что мы умеем доказывать следующие утверждения:(i) начальные отрезки струй логарифмов F разных порядков согласованы,т. е. j F = F для l > k;(ii) каждая струя F является дифференцированием коммутативной алгебры F , следовательно, k-струёй векторного поля.Тогда эти струи задают дифференцирование F алгебры F = C[[x]].Первое утверждение выполнено, если F — набор начальных отрезковнекоторого многочлена или бесконечного ряда.
Естественно предположить,что этот бесконечный ряд — логарифмический ряд log H: C[[x]] → C[[x]],полученный из формального ряда1213ln(1 + x) = x − x 2 + x 3 ∓ . . .58Глава 3. Формальные потоки и теорема о включении в потокподстановкой:1213log H = (H − E) − (H − E)2 + (H − E)3 ∓ . . .(3.12)(ср. с (3.10)). Далее до конца этой главы мы будем использовать обозначениеlog H, имея в виду ряд (3.12).Ряд log H не всюду сходится даже для конечномерного случая: областьего сходимости содержит шар |H − E| < 1 и все унипотентные конечномерныематрицы, но почти никогда не содержит матрицу −E. Более того, даже если рядсходится, совершенно неясно, почему формальный логарифм автоморфизмакоммутативной алгебры C[[x]] должен быть оператором дифференцирования: никаких простых объяснений, похожих на соображения из доказательства теоремы 3.9, не существует (об этом обстоятельстве иногда забывают).Пусть F — коммутативная C-алгебра конечного порядка n над C, а H —автоморфизм F.Теорема 3.14.
Ряд (3.12) сходится для всех унипотентных автоморфизмов H конечномерной алгебры F, и в этом случае его сумма F = log H являетсядифференцированием алгебры.Доказательство, использующее методы теории групп Ли. Рассмотримматричную группу Ли T ⊂ GL(n, C) верхнетреугольных матриц с единицамина главной диагонали и соответствующую алгебру Ли t ⊂ Mat(n, C) строговерхнетреугольных матриц.Ряд для экспоненты (3.8) и матричный логарифм (3.12) в ограничениина t и T соответственно — это всюду определённые полиномиальные отображения. Они взаимно обратны: для любого F ∈ t и H ∈ T имеем log(exp F) = Fи exp(log H) = H.
Это следует из разложения в ряд тождеств ln e = z и eln = w.В частности, отображение exp сюръективно.Для любой подалгебры Ли g ⊆ t и соответствующей подгруппы Ли G ⊆ Tэкспоненциальное отображение exp: g → G является ограничением отображения (3.8) на g.По [72, теорема 3.6.2], экспоненциальное отображение сюръективно ина G, т. е. exp g = G. Мы утверждаем, что тогда логарифмическое отображениепереводит G в g. И действительно, если H ∈ G и H = exp F для некоторогоF ∈ g, то log H = log(exp F) = F ∈ g.Если теперь в качестве подгруппы Ли группы верхнетреугольных автоморфизмов пространства F ' C взять G = T ∩ Aut F, а в качестве g — подалгебруg = t ∩ Der F строго верхнетреугольных дифференцирований коммутативнойалгебры F, то мы получим утверждение теоремы.Замечание 3.15.
Сюрьективность экспоненциального отображения дляподгруппы группы треугольных матриц T — это нетривиальный факт. Он следует из того, что t — нильпотентная алгебра Ли. Действительно, по формулеКэмпбелла — Хаусдорфа — Дынкина, exp F · exp G = exp K, где ряд K = K(F, G)в нильпотентном случае является всюду определённым полиномиальнымотображением t × t → t. Значит, для любой подалгебры g образ exp g являетсяподгруппой Ли в группе G ⊆ T (здесь G — группа Ли этой алгебры g), и этаподгруппа содержит малую окрестность единицы E. Известно, что каждаяУпражнения и задачи59такая окрестность порождает (в смысле групповой операции) всю компоненту связности единицы, поэтому exp g совпадает с компонентой связностиединицы группы G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
