Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 27
Текст из файла (страница 27)
. . , c 6= 0,если и только если h = id, где k делит m.Доказательство. Периодический голоморфизм h линеаризуем по теореме 6.7, и любое линейное отображение x 7→ νx, ν = 1, имеет первыеинтегралы u(z) = z для любого m, кратного k (случай m = 0 тривиален, егоследует исключить).Обратно, если h интегрируем и u(z) = z + . . . — его первый интеграл,то в достаточно малой окрестности нуля любое множество уровняM = {u(z) = c} ⊆ (C, 0)с достаточно малым ненулевым c состоит ровно из m точек, переставляемых h.Следовательно, любая точка в окрестности нуля имеет период, не превосходящий m. Пусть k — наименьшее число, такое что множество k-периодическихточек отображения h бесконечно.
Тогда k-я итерация h тождественна по теореме единственности. Поскольку множество точек периода, меньшего k,конечно, можно, перейдя к меньшей окрестности, считать, что оно состоиттолько из нуля. Тогда в этой окрестности любое множество M с достаточномалым c 6= 0 состоит из m точек, каждая из которых имеет период k, поэтому kделит m.Из этого предложения и теоремы 6.9 немедленно выводится следующеенеобходимое условие интегрируемости.Следствие 6.26. Интегрируемая группа является конечной циклической(и следовательно, коммутативной).116Глава 6.
Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийЗамечание 6.27. Любой росток голоморфной функции u(z) = cz + . . .конечного порядка m имеет циклическую симметрическую группу порядка m.Она порождается ростком отображения f, которое является умножениемна первообразный корень из единицы в голоморфной карте w = z · (c + . . .)1/ ,где функция u принимает вид одночлена.* * *До сих пор мы занимались абелевыми (конечными или бесконечными)и метабелевыми группами, которые устроены относительно просто.
Как былопоказано, они имеют простую формальную классификацию, основанную наформальном типе одного нетривиального параболического элемента группы.Топологическая классификация разрешимых групп также относительно проста и получается из теоремы Камачо — Сада — Щербакова, которая утверждает, что единственным топологическим инвариантом параболического росткаявляется его порядок (см.
главу 21 второго тома). Аналитическую классификацию разрешимых групп ростков можно свести к классификации для одногопараболического ростка из группы, как указано выше. Соответствующаяаналитическая теория развивается в главе 21 и включает неполиномиальныенормальные формы; см. часть IV. Таким образом,1) динамика разрешимых групп ростков относительно проста, в частности,2) у них нет предельных циклов, и3) их аналитическая классификация значительно тоньше формальной, а последняя, в свою очередь, тоньше топологической.Для неразрешимых групп все эти свойства не имеют места. В оставшейсячасти этой главы мы покажем, что типичные (неразрешимые) конечнопорождённые группы1) имеют плотные орбиты, среди которых2) есть счётное множество (подходящим образом определённых) комплексных предельных циклов.
Более того,3) типичные группы являются жёсткими: две такие группы могут быть топологически эквивалентны, только если они аналитически эквивалентны.Эти явления снова возникнут в главе 28 второго тома при исследованиисвойств типичных голоморфных слоений с особенностями на P2 .«Типичность» применительно к конечно порождённым группам означаетследующее. Мы фиксируем количество n (обычно n ¾ 2) образующих росткови говорим, что некоторое свойство является типичным, если оно выполняетсядля всех наборов из n ростков, набор струй некоторого конечного порядка rкоторых принадлежит «массивному» (скажем, открытомуплотномуL всюдуили полной меры) подмножеству в пространстве струйJ (C, 0).
разПример 6.28. Типичная группа с n ¾ 2 образующими некоммутативна и,более того, неразрешима.Действительно, обе образующие (пусть n = 2) в типичном случае гиперболичны (их мультипликаторы лежат вне единичной окружности). Посколькуопределение типичности не зависит от карты, мы можем без потери общности§ 6.4. Динамика конечно порождённых групп ростков и псевдогруппы117считать, что одна из образующих, f1 , приведена к линейному отображению.Группа будет некоммутативной, если в этой карте f2 нелинейно (например,второй коэффициент в его ряде Тейлора не равен нулю).Коммутатор h = [ f1 , f2 ] является в типичном случае параболическимэлементом порядка 1 (т.
е. он отличается от тождественного в квадратичномчлене). Другой параболический элемент порядка 1 — это коммутатор [ f1 , h].Можно показать, что в типичном случае [[ f1 , h], h] является нетождественным,а потому по (6.6) имеет порядок 2 или больше, что влечёт неразрешимость.Обычно мы будем опускать технические проверки того, что некоторыйнабор условий выполняется для типичной конечно порождённой группы:более подробно различные свойства, определяемые конечными или бесконечными струями, будут рассматриваться в главе 10, где будет введено понятиеразрешимого свойства.§ 6.4. Динамика конечно порождённых группростков и псевдогруппыСначала мы должны ввести подходящий язык для описания динамическихсвойств конечно порождённых групп конформных ростков.Если (абстрактная) группа G действует на пространстве X , то орбитаточки x ∈ X определяется как подмножество G(x) = {g · x : g ∈ G} ⊆ X .
Однакоесли действие элемента группы определено не на всём пространстве X ,требуется немного изменить это определение.Это определение особенно важно, когда G является группой голономииголоморфного слоения. По самому определению голономии, если точка a ∈ τтрансверсали принадлежит области определения отображения голономии ∆γ ,то точки a и b = ∆γ (a) принадлежат одному листу слоения.
Поэтому орбитыгруппы голономии, понимаемые как образы всех корректно определённыхотображений голономии, описывают пересечение листа слоения с заданнойтрансверсалью.Введём понятие псевдогруппы, которое отличается от понятия группы тем,что композиция отображений определена не всегда. Для наших целей достаточно определить псевдогруппы голоморфных отображений, области определения которых — открытые множества, содержащие общую неподвижнуюточку (начало координат); в общем случае определение даётся аналогичнымобразом.Определение 6.29.
Пусть U — окрестность нуля в C, а G ⊆ Diff(C, 0) —произвольная подгруппа группы ростков. Псевдогруппа Γ, соответствующая G, —это набор пар ( fα , Uα ), индексируемых элементами некоторого множества A,таких что Uα ⊆ U — открытое множество, содержащее нуль, fα : Uα → U —голоморфное отображение, определённое (по меньшей мере) в Uα , и группа Gсостоит из ростков в нуле всех отображений fα из псевдогруппы Γ.Композиция элементов ( fα , Uα ) и ( fβ , Uβ ) определяется как пара ( fα ◦ fβ , Uαβ ),если и только если Uαβ ⊆ Uβ и fβ (Uαβ ) ⊆ Uα .118Глава 6. Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийИными словами, любой конформный росток fb ∈ G (в частности, единичÒ ∈ G) представляется многими различными отображениями fαный элемент idс разными областями определения (естественно, любые два таких отображения совпадают на пересечении областей определения).Естественный способ сопоставить конечно порождённой группеG = 〈 fb1 , .
. . , fb 〉 ⊂ Diff(C, 0)псевдогруппу Γ состоит в следующем (мы временно будем использовать«крышки» над буквами для отличения ростков от отображений). Выберемлюбой набор представителей f± : U → C, j = 1, . . . , r, ростков fb1±1 , . . . , fb±1 ,порождающих группу G. Тогда любому словуw = w± w±−1 .
. . w±2 w±1 ∈ F(элементу свободной группы с r образующими, написанному справа налево)мы сопоставим конформное отображение f , определяемое как композицияf± ◦ f±−1 ◦ . . . ◦ f±2 ◦ f±1 , заданное на максимальной области U , на которойопределены все частичные композицииf1 = f±1 ,f2 1 = f±2 ◦ f±1 ,... ,f . . . 1 = f± ◦ . .
. ◦ f±2 ◦ f±1 .Таким образом, пары, состоящие из отображения f (которое является представителем соответствующего ростка fb ) и его области определения U (очевидно, открытой и содержащей нуль), образуют псевдогруппу. Если рассмотреть исходные отображения с другими областями определения U1 , .
. . , U , получится, формально говоря, другая псевдогруппа, хотя большинство свойствэтих псевдогрупп будут одинаковы.Если в группе G имеются нетривиальные соотношения, то одному росткуиз этой группы будет соответствовать несколько отображений в построеннойпсевдогруппе с, вообще говоря, различными областями определения. Чтобыразличить такие элементы, мы будем указывать вместе с каждым элементом( fα , Uα ) псевдогруппы Γ соответствующее слово wα в свободной группе F .Соответствующее множество троек( f , U , w): w ∈ F , f ∈ O (U ) = Λмы будем называть псевдогруппой, соответствующей конечно порождённойгруппе конформных ростков.
Тройка (элемент псевдогруппы) нетривиальна,если соответствующее слово w нетривиально в F ; вполне могут быть нетривиальные тройки с f = id | . Однако в большинстве случаев для упрощенияобозначений мы будем опускать третий компонент тройки.Замечание 6.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
