Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Инвариантные многообразия для гиперболических особых точек131Теорема 7.1 (теорема Адамара — Перрона для голоморфных потоков).Пусть оператор линеаризации A голоморфного векторного поля Ax + F(x)имеет пару трансверсальных инвариантных подпространств L± , такую чтоспектры ограничений A на эти подпространства разделяются некоторойпрямой, проходящей через нуль. Тогда это векторное поле имеет голоморфныеинвариантные многообразия W ± , касающиеся в нуле подпространств L± .Доказательство этой теоремы непрямое. Мы начнём с формулировки еёаналога для биголоморфизмов.Определение 7.2.
Биголоморфное отображениеH ∈ Diff(C , 0),x 7→ Mx + h(x),h(0) =∂h(0) = 0,∂xназывается гиперболическим, если его матрица линеаризации M ∈ GL(n, C)не имеет собственных значений, по модулю равных единице.Для матрицы M без собственных значений на единичной окружностиобозначим через L± ⊆ C такие инвариантные подпространства, что ограничение M|− является сжимающим (в подходящей эрмитовой метрике), а M|+ —растягивающим (т. е. M −1 |+ — сжимающее).При определении инвариантных многообразий для биголоморфизма нужно проявить осторожность и заменить множества на их ростки в неподвижнойточке, в противном случае пришлось бы давать отдельные определения длясжимающихся и растягивающихся подмногообразий.Определение 7.3.
Голоморфное подмногообразие W, проходящее черезнеподвижную точку биголоморфизма H : (C , 0) → (C , 0), является инвариантным, если росток многообразия H(W ) в этой точке совпадает с ростком W.Теорема 7.4 (теорема Адамара — Перрона для биголоморфизмов). Длягиперболического голоморфизма H с неподвижной точкой в нуле в достаточно малой окрестности нуля существуют голоморфные инвариантныеподмногообразия W + и W − .Эти многообразия проходят через нуль, трансверсальны друг другу и касаются соответствующих инвариантных подпространств L± линеаризующегоотображения x 7→ Mx.Размерность инвариантных многообразий равна размерности соответствующих подпространств. Многообразие W + называется неустойчивым многообразием, а W − — устойчивым многообразием, поскольку в ограничениина W − нуль является асимптотически устойчивой точкой самого отображения,а в ограничении на W + — асимптотически устойчивой для его обратного.Доказательство. Матрицу линеаризации M биголоморфизма H : (C , 0)→→ (C , 0) можно привести к блочно-диагональному виду.
Выбрав подходящуюсистему локальных голоморфных координат (x, y) ∈ (C , 0) × (C , 0), k + l = n,можно считать, что отображение H имеет вид H:xy7 −→Bx + g(x, y),Cy + h(x, y)(x, y) ∈ (C , 0) × (C , 0).(7.2)132Глава 7. Голоморфные инвариантные многообразияЗдесь квадратные матрицы B, C и нелинейные члены g, h порядка ¾ 2 удовлетворяют условиям|B| ¶ µ, |C −1 | ¶ µ,(7.3)| f (x, y)| + |g(x, y)| < |x|2 + | y|2 для |x| < 1, | y| < 1с некоторым параметром гиперболичности µ < 1.Достаточно установить только существование устойчивого многообразия: неустойчивое многообразие для H является устойчивым для отображения H −1 , которое также гиперболично.Устойчивое многообразие W +, касающееся L+ = {(x, 0)}, является графиком голоморфной вектор-функции ϕ : {|x| ¶ "} → {| y| ¶ "}, определённым∂ϕв некотором малом полидиске, ϕ(0) = 0,(0) = 0.
Чтобы график был инва∂xриантным, функция ϕ должна удовлетворять функциональному уравнениюϕ Bx + g(x, ϕ(x)) = Cϕ(x) + h(x, ϕ(x)).(7.4)Это уравнение можно записать следующим образом в виде уравнения неподвижной точки:ϕ = H ϕ, (Hϕ)(x) = C −1 ϕ Bx + g(x, ϕ(x)) − h(x, ϕ(x)) .(7.5)Теперь все утверждения теоремы вытекают из принципа сжимающих отображений и следующей леммы 7.5.Обозначим через A" банахово пространство функций, голоморфных в открытом диске радиуса " > 0 и непрерывных в замыкании.Лемма 7.5. Если выполнены предположения (7.3), то для достаточномалого " > 0 верно следующее:1) H (ϕ) корректно определён в шаре B" = {ϕ : sup||<" |ϕ(x)| < "} в пространстве A" и отображает этот шар в себя;2) подмножество B"1 функций из B" с константой Липшица, не большей 1,переводится оператором H в себя;3) оператор H является сжимающим на B"1 .«Линеаризация» оператора H в «точке» ϕ = 0, полученная отбрасываниемнелинейных членов, является линейным операторомϕ(x) 7→ C −1 ϕ(Bx),|B|, |C −1 | ¶ µ < 1,который, очевидным образом, сжимает.
Лемма 7.5 показывает, что нелинейные члены не влияют на это сжатие.Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение, заметим, что если" достаточно мало, то|Bx + g(x, ϕ(x))| < µ|x| + |x|2 + |ϕ|2 < µ" + 2" 2 < "для |x| < ".Тогда композиция, определяющая оператор H , имеет смысл и H ϕ корректноопределено. По той же причине |ϕ| не превосходит µ" + 2" 2 < ", поэтому B"отображает H в себя.133§ 7.1. Инвариантные многообразия для гиперболических особых точек∂ϕпереходит под действием H в∂x∂g∂g ∂h∂hJ 0 = C −1 J(. . .) B ++J ++J .∂x∂y∂x∂yМатрица Якоби J(x) =Поскольку члены g и h имеют порядок не меньше 2, их производные в нулеобращаются в нуль, поэтому матричная норма матрицы Якоби не превосходит(µ2 + O("))|J|.
Так как µ < 1, отсюда следует второе утверждение.Чтобы доказать, что H сжимает на B"1 , заметим, что оператор ϕ(x) 7→7→ h(x, ϕ(x)) строго сжимает: h(x, ϕ (x)) − h(x, ϕ (x)) ¶ ∂h |ϕ (x) − ϕ (x)| ¶ O(")kϕ − ϕ k . (7.6)121212 "∂yРассмотрим оператор ϕ 7→ G ϕ = ϕ(Bx + g(x, ϕ)) и оценим разность образовдвух функций ϕ1 , ϕ2 ∈ B"1 .
По неравенству треугольника|G ϕ1 (x) − G ϕ2 (x)| = ϕ1 (Bx + g1 (x)) − ϕ2 (Bx + g2 (x)) ¶ ¶ ϕ (Bx + g (x)) − ϕ (Bx + g (x)) + ϕ (Bx + g (x)) − ϕ (Bx + g (x)),12221112где для краткости мы обозначаем g (x) = g(x, ϕ (x)). Первый член не превосходит kϕ1 − ϕ2 k" .
Поскольку вектор-функция ϕ1 ∈ B"1 имеет константуЛипшица не больше 1, второй член не превосходит|g1 (x) − g2 (x)| = g(x, ϕ1 (x)) − g(x, ϕ2 (x)).Как и в (7.6), мы получаем, что это выражение не больше O(")kϕ1 − ϕ2 k" .Итак, G является липшицевым на B"1 :kG ϕ1 − G ϕ2 k" ¶ (1 + O("))kϕ1 − ϕ2 k.Собирая оценки для всех членов H = C −1 G − h(x, ·), получаем, что еслиϕ1,2 ∈ B"1 , тоkH ϕ1 − H ϕ2 k" ¶ (µ + O("))kϕ1 − ϕ2 k" .Так как µ < 1, при достаточно малом " оператор H сжимающий на замкнутомподмножестве B"1 полного метрического пространства B" ⊂ A" .Замечание 7.6. Как и всегда в доказательствах, основанных на принципе сжимающих отображений, мы автоматически получаем, что росткимногообразий определены однозначно.Теперь мы можем вывести теорему 7.1 из теоремы 7.4.Доказательство.
Перейдя, если необходимо, к орбитально эквивалентному полю, мы будем считать, что линеаризация A = diag{A+ , A− } имеетблочно-диагональный вид, причём спектры блоков разделены мнимой осью.Рассмотрим отображения потокаΦ = exp tF : (C , 0) → (C , 0)1kдля t = , k = 1, 2, . . .Каждое из них является биголоморфизмом с линейной частью x 7→ exp tAx. Еёсобственные значения — соответствующие экспоненты {exp tλ : λ ∈ S}, и они134Глава 7. Голоморфные инвариантные многообразияразделяются единичной окружностью {|λ| = 1}.
В предположениях теоремы,каждое из преобразований Φ гиперболично, если t ∈ 1/N. По теореме 7.4,отображение Φ имеет пару инвариантных многообразий W± , касающихсяинвариантных подпространств L± , общих для всех t ∈ R.Априори инвариантные подмногообразия W± могут не совпадать дляразличных t. Однако (Φ 1/ ) = Φ1 , поэтому многообразия, инвариантные дляΦ 1/ , будут инвариантными и для Φ1 .
Поскольку инвариантные многообразияW ± = W1± последнего отображения определены однозначно, они инвариантныи относительно всех отображений Φ 1/ .Другими словами, аналитическая траектория x(t) векторного поля, которая начинается, скажем, на W − : x(0) ∈ W − , остаётся на W − в моментывремени t = 1/k. Но изолированные нули аналитической функции не могутиметь точек накопления, поэтому x(t) лежит на W − при всех (достаточномалых) значениях t ∈ (C, 0). Тогда W − инвариантно относительно векторногополя Ax + F(x).
Доказательство для W + аналогично.Замечание 7.7. Пересечение инвариантных многообразий само являетсяинвариантным многообразием. Это наблюдение позволяет строить инвариантные многообразия малой размерности для голоморфных векторныхполей. В частности, если матрица линеаризации Λ имеет простое собственноезначение λ1 6= 0, для которого λ1 /λ ∈/ R+ для всех остальных собственныхзначений λ , j = 2, . . . , n, то векторное поле имеет одномерное голоморфное инвариантное многообразие (кривую), касающуюся соответствующегособственного вектора.Теорема Адамара — Перрона для голоморфных векторных полей в томвиде, в каком она была сформулирована выше, является ближайшим аналогомтеоремы Адамара — Перрона для гладких векторных полей в R .
Известныболее сильные результаты в этом направлении, см. [7].§ 7.2. Гиперболические инвариантныекривые для седлоузловРассмотрим голоморфное векторное поле на плоскости (C2 , 0) с седлоузлом в нуле. Напомним, что по определению 4.28 это означает, что одно изсобственных значений этой особой точки равно нулю, а другое — нет. Подпространство (прямая), соответствующее нулевому собственному значению,называется центральным направлением. Направление собственного векторас ненулевым собственным значением называется гиперболическим.Нулевое и ненулевое собственные значения нельзя отделить друг от другапрямой, проходящей через нуль, поэтому теорема Адамара — Перрона здесьнеприменима. Однако и в этом случае существует и единственно инвариантное многообразие (гладкая голоморфная кривая), касающееся гиперболического направления. Как и раньше, мы начинаем со случая биголоморфизмов,линеаризация которых имеет одно сжимающее собственное значение |µ| < 1и одно собственное значение, равное единице.
По очевидным причинамтакие отображения называются седлоузловыми биголоморфизмами.§ 7.2. Гиперболические инвариантные кривые для седлоузлов135Любой седлоузловой биголоморфизм H : (C2 , 0) → (C2 , 0) можно привестиголоморфной заменой координат к виду H:xy7 −→µx + g(x, y),y + y 2 + h(x, y)µ ∈ (0, 1) ⊂ R,(7.7)где g и h — голоморфные нелинейные члены порядков 3 и выше. Действительно, все остальные квадратичные члены являются нерезонансными и потомуих можно исключить (упражнение 4.8).Теорема 7.8. Биголоморфизм (7.7) имеет единственное голоморфное инвариантное многообразие (кривую), касающееся собственного вектора (1, 0) ∈ C2 .Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
