Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 30
Текст из файла (страница 30)
. . , µ 〉 и 〈µ01 , . . . , µ0 〉 топологически сопряжены, если и только если существует R-линейное отображениеb : C → C, которое переводит 1 в 1 и устанавливает взаимно однозначноеAсоответствие между логарифмами образующих по модулю целых чисел длянекоторого выбора ветви логарифма:b = λ0 mod Z,Aλλ =ln µmod Z,2πiλ0 =ln µ02πimod Z.(6.22)Из этого наблюдения и топологической инвариантности голономии набесконечности мы уже можем заключить, что топологическая классификацияопределённых классов полиномиальных слоений недискретна.Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа — теорему о жёсткости для конечно порождённых групп конформных ростков.Доказательство теоремы 6.45.
Пусть G = 〈 f1 , . . . , f 〉 и G 0 = 〈 f10 , . . . , f0 〉 —топологически сопряжённые некоммутативные группы ростков, причём Gудовлетворяет условию плотности (6.16). Без потери общности можно считать,что f1 гиперболическое, а его мультипликатор µ1 по модулю меньше 1.Шаг 1. Рассмотрим росток f10 ∈ G 0, который сопряжён гомоморфизмом hс f1 . Этот росток также является гиперболическим с мультипликатором µ01 ,причём |µ01 | < 1. Действительно, выберем представителей ростков f1 и f10 ,определённых в топологических дисках U и U 0 = h(U) соответственно. Еслидиск U является достаточно маленьким кругом, то f1 (U) â U.
Тогда f10 (U 0 ) â U 0и по лемме Шварца |µ01 | < 1. Выберем карты в прообразе и образе, линеаризующие f1 и f10.Шаг 2. Если гомеоморфизм h сопрягает G с G 0, то представитель h сопрягает (топологически) соответствующие псевдогруппы Γ и Γ 0, а также их замыкания Γ и Γ 0. Из доказательства теоремы 6.37 видно, что линейная часть отображения g является пределом отображений f1− g f1 .
Тогда гомеоморфизм h,сопрягающий g и g 0, сопрягает и их линейные части. Следовательно, представитель h сопрягает две плотные подгруппы в мультипликативной группе C∗ .Шаг 3. Применив предложение 6.46, получим явное описание сопрягающего гомеоморфизма h: в голоморфных картах в U и U 0, линеаризующихгиперболические ростки f1 и f10 соответственно, h имеет вид h(z) = z |z|β .Шаг 4. Если коммутатор [G, G] нетривиален, он содержит параболический росток f (z) = z + az+1 + . .
. ∈ Diff 1 (C, 0), который сопрягается гомеоморфизмомh(z) = z |z|β с другим параболическим элементом f 0 (z0 ) =000 0 +1=z +a z+ . . . ∈ [G 0 , G 0 ]. Ясно, что n=n0, поскольку это число является топологическим инвариантом ростков (связанным с числом лепестков, см. главу 21второго тома). Мы покажем, что β = 0, так что h(z) = z.Для этого подставим явный вид для h из предложения 6.46, h(z) = z |z|β ,в равенство h ◦ f = f 0 ◦ h. После деления на z |z|β и вычитания единицыполучим, чтоβaz + (az + a z ) + o(|z| ) = a0 z |z|β + o |z|(1+Re β) .2128Глава 6.
Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийПоложим z = ρeϕ , тогда равенство примет вид β ϕβρ a 1 +e + a e−ϕ + o(ρ ) = ρ (1+β) a0 eϕ + o ρ (1+Re β) .22Зафиксируем ϕ так, чтобы коэффициент перед ρ в левой части был отличенот нуля. Тогда уравнение принимает видCρ (1 + o(1)) = C 0 ρ (1+β) (1 + o(1)),откуда (C 0 /C)ρ β → 1, т.
е. C 0 = C, nβ = 0.Таким образом, h(z) = z является линейным, а значит, голоморфнымотображением.Шаг 5. Чтобы доказать аналитическую зависимость сопряжения h отдополнительного параметра t, сделаем следующее. Отметим, что карты,0линеаризующие f1, и f1,, аналитически зависят от параметра t. Условие,что h(z) = cz сопрягает любую образующую f, с f,0 , выражается в видебесконечного числа аналитических условий на c и t.
Поэтому всё множествоQ = {(t, c): f, (cz) = cf,0 (z), j = 1, . . . , r} является аналитическим в окрестноститочки (0, 1). Если f (z) = z + a z +1 + . . . сопряжено с f0 (z) = z + a0 z+1 + . . .и a0 a00 6= 0, то Q ⊆ {c = a0 /a } (получаем, приравнивая коэффициенты перед z+1 ). Последнее аналитическое множество состоит из n аналитическихветвей c = c (t), k = 1, . . .
, n. Поскольку эти ветви локально неприводимыи Q ∩ {t = const} непусто для всех t, множество Q содержит по меньшей мереодну такую ветвь. Эта ветвь и даёт голоморфную зависимость h(z) = c(t)z от t.Теорема 6.45 полностью доказана.§ 6.9. Ослабление условий типичностиХотя предположения некоммутативности и плотности, требуемые в теоремах 6.41и 6.45, типичны, они не выполняются для некоторых важных классов конечно порождённых групп. Например, условие плотности не выполняется для групп, мультипликаторы которых образуют дискретную подгруппу в C∗ ; такие группы образуют плотноеподмножество в Diff(C1 , 0).Однако предположения вышеуказанных теорем можно ослабить до условиянеразрешимости, которое выполнено для открытого плотного множества наборовобразующих; см.
пример 6.28. Мы приведём здесь без доказательства несколькорезультатов в этом направлении.Теорема 6.50 (А. Щербаков [128], И. Накаи [49]). Неразрешимая конечно порождённая группа G ⊂ Diff(C1 , 0) является жёсткой.Следующий результат показывает, что определённые свойства типа жёсткостивозникают даже для бесконечных циклических подгрупп. Напомним, что ростокназывается эллиптическим, если его мультипликатор µ равен по модулю единице:µ = exp 2πiϕ, ϕ ∈ R/Z.Теорема 6.51 (В. А. Найшуль [118]; см. также [27]).
Пусть два эллиптическихростка конформных отображений f , f 0 ∈ Diff(C, 0) топологически сопряжены. Тогдамультипликаторы f и f 0 совпадают.Упражнения и задачи129Эта теорема сравнительно легко доказывается, если мультипликаторы являютсякорнями из единицы или если они диофантовы (ср. с § 5.5). Сложности возникаютв случае ростков Кремера.Неразрешимость является также достаточным условием для наличия бесконечногочисла предельных циклов.Теорема 6.52 (А. Щербаков [126]; см. также [3] и [61]). Неразрешимая конечнопорождённая группа G ⊂ Diff(C1 , 0) имеет бесконечно много комплексных предельныхциклов, накапливающихся к началу координат.Для наличия плотности орбит одного условия неразрешимости, очевидно, недостаточно. Например, если группа G ⊂ Diff(C1 , 0) состоит из вещественных (т. е.
сохраняющих R) ростков с положительными мультипликаторами, то орбита любойточки из верхней (или нижней) полуплоскости будет целиком содержаться в той жеполуплоскости и потому не будет плотной. Однако это единственная возможностьдля отсутствия плотности орбит.Теорема 6.53 (И. Накаи [49], более слабый результат доказан в [127]). Если G —неразрешимая подгруппа в Diff(C1 , 0), то существует вещественно-аналитическаякривая K ( (C1 , 0) ' (R2 , 0), инвариантная под действием G, такая что орбиты любойпсевдогруппы Γ, построенной по G, плотны в связной компоненте (секторе) (C1 , 0)\K.Упражнения и задачиУпражнение 6.1.
Докажите, что торы, полученные факторизацией комплексной плоскости по решёткам Z + λZ и Z + µZ при близких, но различных λи µ не являются биголоморфно эквивалентными (пример 6.43).Упражнение 6.2. Докажите связанные с полунепрерывностью свойствафункции ν, введённой в § 6.5.Задача 6.3. Докажите, что формально интегрируемые голоморфные отображения (или конечно порождённые группы ростов голоморфных отображений) являются аналитически интегрируемыми; ср. с теоремой 6.8.Указание.
Используйте формальную карту z, в которой формальныйинтеграл имеет вид z .Задача 6.4. Докажите, что формальная (орбитальная) симметрия (ненулевого) голоморфного векторного поля на (C, 0) сама голоморфна.Задача 6.5. Постройте конечно порождённую подгруппу G ⊂ Diff(C, 0), орбиты которой плотны в каждой из полуплоскостей {± Im z > 0} по отдельности,но обе полуплоскости инвариантны относительно G.Обобщите этот пример и найдите группу, орбиты которой плотны в каждомиз 2p инвариантных секторов в (C, 0) для любого p > 1 (ср.
с теоремой 6.53).Задача 6.6 (формальная жёсткость типичных групп). Пусть две конечнопорождённые группы G, G 0 ⊆ Diff(C, 0) формально эквивалентны и однаиз этих групп содержит гиперболический росток. Докажите, что в этомслучае G и G 0 голоморфно эквивалентны и более того, любое формальноесопряжение этих групп обязательно является голоморфным (т. е. сходится).Глава 7Голоморфные инвариантные многообразияВ этой короткой главе мы покажем, что при довольно слабых предположениях на векторное поле можно исключить достаточное количествонерезонансных членов, чтобы гарантировать существование голоморфныхинвариантных (под)многообразий. Напомним, что голоморфное подмногообразие W ⊂ (C , 0) инвариантно под действием голоморфного векторногополя F, если вектор F(x) касается W в каждой точке x ∈ W.
Обычно приставка«под» опускается, хотя она играет важную роль: в главе 14 мы обсудиминвариантные аналитические подмножества, которые не являются подмногообразиями по причине наличия особенностей.§ 7.1. Инвариантные многообразиядля гиперболических особых точекПусть спектр S ⊂ C матрицы линеаризации A голоморфного векторногополя разбивается на две части S± ⊂ C проходящей через 0 вещественнойпрямой, т. е. каждая из частей лежит в одной из открытых полуплоскостей,ограниченных этой прямой.
В этом случае собственные значения из однойполуплоскости не могут выражаться линейными комбинациями собственныхзначений из другой полуплоскости с неотрицательными коэффициентами.XXλ−α λ+λ+α λ− − 6= 0, − 6= 0,(7.1)+−λ+λ−α , α ∈ Z+ ∈S , ∈S ,(будем говорить, что между этими двумя частями спектра нет перекрёстныхрезонансов). Без ограничения общности можно считать, что A имеет блочнодиагональный вид. По теореме Пуанкаре — Дюлака, существует формальноепреобразование, исключающее все нерезонансные члены, соответствующиененулевым перекрёстным линейным комбинациям (7.1). Соответствующаяформальная нормальная форма имеет два инвариантных многообразия,совпадающих с соответствующими координатными подпространствами.Более того, все знаменатели (7.1) очевидным образом ограничены снизу.Следовательно, можно ожидать, что соответствующее преобразование сходится и инвариантные многообразия являются аналитическими. Это действительно так, хотя аккуратное доказательство проводится другим способом.§ 7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
