Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Все листыэтого слоения пересекают исключительную окружность S трансверсально.1(iii) Форма x dx + y dy = d(x 2 + y 2 ), определяющая слоение плоскости2222R на окружности x + y = const, после переноса на цилиндр C задаёт поленаправлений r dr = 0, которое после деления на r также становится неособойформой dr на C. Исключительная окружность оказывается листом раздутогослоения, не содержащим особых точек.Отображение P можно комплексифицировать, обобщив предыдущие примеры, однако комплексифицированное отображение снова будет двулистнымнакрытием, что геометрически не очень естественно.
Помимо этого, использование тригонометрических функций sin ϕ, cos ϕ делает соответствующиеформулы неалгебраическими.Существует алгебраическая версия отображения P, называемая сигма-процессом, моноидальным преобразованием или просто раздутием без прилагательного «тригонометрическое».§ 8.2. Алгебраическое раздутие (σ-процесс)Оказывается, не так просто построить двумерное многообразие M вместес голоморфным отображением σ : M → C2 , таким что(i) прообраз начала координат является компактной неприводимой голоморфной кривой S ⊂ M;(ii) отображение σ устанавливает биекцию между M\S и C2 \{0}.Из одновременного выполнения этих двух требований следуют весьмаспецифические свойства многообразия M и кривой S; см. замечание 8.6 ниже.Одна из таких конструкций может быть получена следующим образом.Рассмотрим каноническое отображение плоскости C2 \{0} на проективнуюпрямую P1 , сопоставляющее каждой точке (x, y) 6= (0, 0) прямую {(tx, ty): t ∈∈ C}, проходящую через эту точку и начало координат.
Графиком этогоотображения является двумерная комплексная поверхность в трёхмерноммногообразии C2 × P1 . Этот график не замкнут; чтобы построить его замыкание, необходимо добавить исключительную кривую E = {0} × P1 ⊂ C2 × P1 .В результате получается неособая поверхность, которую мы обозначим через M. По построению, эта поверхность вложена в трёхмерное комплексное пространство C2 × P1 и содержит компактную кривую (комплекснуюпроективную кривую, изоморфную сфере Римана) E ' P1 ' S2 .
ПроекцияC2 × P1 → C2 на первую компоненту после ограничения на поверхность M141§ 8.2. Алгебраическое раздутие (σ-процесс)становится голоморфным отображением σ : M → C2 , σ(E) = {0} ∈ C2 , которое,по построению, является биекцией между M\E и C2 \{0}.Определение 8.4. Отображение σ : M → C2 называется (стандартным)моноидальным отображением, аналитическая кривая E ⊂ M — (стандартным)исключительным дивизором, а обратное отображение σ−1 : C2 \{0} → M\Eназывается (стандартным) раздутием. Реже отображение σ называют схлопыванием (blow-down).Чтобы понять, почему M является неособым многообразием (и обосновать утверждения о замыкании и гладкости), мы рассмотрим удобный(«стандартный») атлас на M.
Пусть z, w — две аффинные карты на сфереРимана P1 : прямая, проходящая через точку (x, y) 6= (0, 0), имеет координатуz = y/x в первой карте и w = x/ y во второй. По построению, w = 1/z.Карты z и w индуцируют две аффинные карты на соответствующих областяхV1 , V2 прямого произведения C2 × P1 . В этих картах график каноническогоотображения задаётся уравнениямиy − xz = 0,соответственноx − wy = 0,(x, y) 6= (0, 0).Поверхность, заданная этими уравнениями, очевидно, остаётся неособойпосле продолжения на прямую {x = 0, y = 0} ⊆ C3 . Более того, функции (x, z)на карте V1 и ( y, w) на карте V2 соответственно оказываются картами на M,определёнными в двух областях U = M ∩ V , i = 1, 2.
Отображение переходамежду этими двумя картами задаётся формуламиy = zx,1zw= ,и обратно,x = wy,z=1.w(8.2)Таким образом, M действительно является неособым комплексным аналитическим двумерным многообразием. Остаётся проверить, что отображениеσ : M → C2 в этих картах является полиномиальным, а следовательно, и глобально голоморфным. Действительно, σ| = σ , i = 1, 2, гдеσ1 : (x, z) 7→ (x, xz),соответственноσ2 : ( y, w) 7→ ( yw, y).(8.3)Исключительный дивизор E в этих картах задаётся уравнениямиE ∩ U1 = {x = 0},соответственноE ∩ U2 = { y = 0}.Замечание 8.5.
Формулы (8.2) и (8.3) являются вещественно-аналитическими, а значит, они задают и вещественный аналог описанных выше конструкций. Вещественная проективная прямая RP 1 диффеоморфна окружности S1 ,следовательно, поверхность R M является подмногообразием цилиндра R2 × S1 .Это подмногообразие гомеоморфно ленте Мёбиуса (см. рис. 8.2). Имея в видуэту аналогию, мы часто будем M называть 1 комплексной лентой Мёбиуса.Замечание 8.6. Нетривиальность конструкции становится ещё более удивительной в комплексной области. В частности, исключительный дивизор1Этот термин не является общепринятым.142Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскостиРис. 8.2. Вещественная лента Мёбиуса и её проекция на R2 ,которая схлопывает окружность RP 1 ' S1 в точку в началекоординат и биективна во всех остальных точкахне может быть глобально определён одним уравнением вида { f = 0}, такимчто функция f голоморфна на M в окрестности E. Действительно, если такаяфункция существует, то она также задаёт функцию f ◦ σ−1 на (C2 , 0)\{0},голоморфную и не обращающуюся в нуль нигде, кроме начала координат.Так как точка имеет коразмерность 2 в C2 , f ◦ σ−1 продолжается голоморфнов начало координат, при этом f ◦σ−1 (0)=0. Но множество нулей голоморфнойфункции не может иметь коразмерность 2 — противоречие.По аналогичным причинам кривая E является исключительной в следующем смысле: она жёстко сидит внутри M и не может быть деформирована.Действительно, так как кривая E компактна, любая её деформация E0 (многообразие, равномерно близкое к E) также должна быть компактной, следовательно, её образ σ(E0 ) должен быть компактным подмножеством (C2 , 0).Поскольку отображение σ биективно вне начала координат, это возможнотолько в случае, когда образ σ(E0 ) — точка.
Значит, σ(E0 ) = {0}, т. е. E0 = E.Замечание 8.7. Может показаться, что указанные свойства отображенияσ : (M, S) → (C2 , 0) являются следствием неестественности конструкции. Номожно доказать, что построение раздутия естественно и единственно в следующем смысле.Рассмотрим любое голоморфное отображение σ0 : (M0 , E0 ) → (C2 , 0), определённое в окрестности компактной голоморфной кривой E0, отображающееE0 в точку и биективное на дополнении M0 \E0. Допустим, что кривая E0неприводима. Тогда отображение σ0 обязательно эквивалентно стандартномумоноидальному отображению σ: существует биголоморфное отображениеH : (M, E) → (M0 , E0 ), такое что σ = σ0 ◦ H (если не накладывать требованиянеприводимости, σ0 может быть эквивалентно композиции нескольких моноидальных отображений).
В частности, конструкция не зависит от выборалокальных координат (x, y) в окрестности нуля. Доказательство этого фактав алгебраической категории можно найти в [123, гл. IV, § 3.4].Используя локальную модель, основанную на моноидальном отображении σ, мы можем построить глобальное раздутие любого конечногомножества точек Σ на любом двумерном комплексном многообразии M.§ 8.3.
Раздутие аналитических кривых и слоений с особенностями143Предложение 8.8. Пусть M — комплексная поверхность, а Σ ⊂ M —конечное множество точек на ней.Тогда существует голоморфная поверхность M 0 и голоморфное отображение π: M 0 → M, такие что прообраз любой точки p ∈ Σ — сфера Рима−11на ES = π (p) ' P , при этом отображение π является биекцией между0M \ ∈ Σ E и M\Σ.Ограничение π на малую окрестность каждой исключительной сферы Eэквивалентно стандартному моноидальному отображению σ : (M,E)→(C2 ,0),ограниченному на окрестность исключительного дивизора E.Поверхность M 0 и отображение π определены единственным образомс точностью до биголоморфизма. Из замечания 8.7 следует, что требованиебиголоморфной эквивалентности E сфере Римана можно ослабить простодо неприводимости.Обратное отображение π−1 : M\Σ → M 0 называется простым раздутиемконечного множества точек Σ.
Само отображение π иногда называетсяпростым схлопыванием.Доказательство предложения 8.8. Если M = C2 — стандартная плоскость, томожно пробовать доказать возможность одновременного раздутия нескольких точек,строя подходящее полиномиальное отображение при помощи интерполяции.Однако в категории абстрактных голоморфных многообразий построение отображения π из локальных моноидальных отображений является тривиальным (тавтологическим). Рассмотрим атлас карт {Uα } на M, который содержит специальные карты U ,отображающие окрестность каждой точки p ∈ Σ на окрестность (C2 , 0) начала координат.
Без потери общности мы можем считать, что все остальные карты не содержатточек из множества Σ. Тогда многообразие M может бытьF представлено как факторпространство дизъюнктного объединения карт M = α Uα /∼ по отношениюэквивалентности ∼ (а именно, образы одних и тех же точек в разных картах отождествляются). Тогда многообразие M 0 можно описать следующим образом. Каждуюспециальную карту U заменяемокрестностью U0 = (M, E) и снова рассматриваемFдизъюнктное объединение α Uα0 , где Uα0 = Uα , если карта Uα не содержит точек из множества Σ. Отношение эквивалентности ∼ поднимается до отношения эквивалентности∼0 на новом дизъюнктном объединении (так как у всех неособых точек существуетединственныйпрообраз в окрестности Uα0 ). По построению, факторпространствоF000M = α Uα /∼ является многообразием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
