Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Рассмотрим регулярное значение b функции g, ограниченной на кривую γ = { f = 0}, а также соответствующее множество Z0 == { f = 0, g = b} внутри шара Bρ . Мы сначала докажем, что кратность пересечения µ = D .0 D равна числу #Z0 точек в данном множестве.Для начала рассмотрим коэффициент h ∈ A (Bρ ) 2-формыdf ∧ dg = h dx ∧ dy.Этот коэффициент не может обращаться в нуль тождественно на кривой γ:в силу неприводимости f, дифференциал df |γ обращается в нуль тольков начале координат, следовательно, равенство h|γ ≡ 0 означало бы, чтоформа dg пропорциональна df во всех точках кривой γ, а значит, dg|γ ≡ 0и ограничение g|γ является константой.
Так как g(0) = 0, эта константаобязательно равна нулю, что противоречит нашему предположению, чтомножество Z00 состоит из единственной точки — начала координат. Такимобразом, h|γ 6≡ 0, и без потери общности можно считать значение ρ настолькомалым, что h|γ обращается в нуль лишь в начале координат.Из того, что h не обращается в нуль на множестве Z0 ⊆ γ для b 6= 0,следует, что ограничение f на кривую {g = b} имеет простые корни в точках этого множества. Любое малое возмущение f − a будет иметь ровнотакое же количество #Z = #Z0 комплексных корней на кривой {g = b}, чтопо деформационному определению кратности равняется µ.§ 8.7. Кратность пересечения и индекс пересечения155Отображение τ биективно отображает точки множества Z0 в нулиголоморфной функции одной переменной (g − b) ◦ τ = g ◦ τ − b, котораяявляется малым возмущением функции g ◦ τ.
Теперь достаточно заметить,что малое возмущение ростка порядка µ в кольце O (C1 , 0) является функцией,имеющей в достаточно малой окрестности начала координат в точностиµ корней.Ещё одно применение теоремы 8.23 заключается в доказательстве следующего свойства аддитивности для кратности пересечения.Предложение 8.27. Для любых трёх эффективных дивизоров D, D 0 , D 00в окрестности (C2 , 0), таких что пересечение D ∩ (|D 0 | ∪ |D 00 |) состоит толькоиз точки 0, кратность пересечения удовлетворяет равенствуD .0 (D 0 + D 00 ) = D .0 D 0 + D .0 D 00 .(8.15)Доказательство. Пусть D 0, D 00 и D являются дивизорами ростков f, g и h,отождествлённых с их голоморфными представителями в достаточно маломшаре Bρ .
Тогда дивизор D 0 + D 00 соответствует произведению fg.Согласно деформационному определению кратности, для типичной комбинации значений (a0 , a00 , b) ∈ (C3 , 0) пересечения Z0 0 = { f = a0 , h = b} и Z0000 == {g = a00 , h = b} трансверсальны и состоят соответственно из µ0 = D .0 D 0и µ00 = D .0 D 00 точек. Исключая лишь конечное количество значений b, можнопредположить без потери общности, что множества Z0 0 и Z0000 отделимы: этопроисходит, если линия уровня {h = b} минует общие точки кривых { f = a0 }и {g = a00 }. В этих предположениях число трансверсальных пересечений междукривой {h = b} и приводимой кривой {( f − a0 )(g − a00 ) = 0} в точности равноµ0 + µ00.Функция ( f − a0 )(g − a00 ) не является возмущением вида fg − a, котороепоявляется в деформационной конструкции.
Тем не менее, в силу непрерывности, степень векторных полей P−, ℎ− , P( −0 )(−00 ), ℎ− и P, ℎ на границешара Bρ совпадает, если значения a, a0 , a00 и b достаточно малы по сравнениюс ρ. Таким образом, согласно геометрическому определению кратности, мызаключаем, что D .0 (D 0 + D 00 ) = µ0 + µ00.8.7.5. Форма пересечения для произвольныхглобальных дивизоровИспользуя предложение 8.27, можно стандартным образом распространить формулы для кратности пересечения на случай произвольных (не обязательно эффективных) дивизоров.Для пары локальных дивизоров — эффективного дивизора D 0 и произвольного дивизора D, представленного в виде разности двух эффективныхдивизоров D = D1 − D2 , — мы определяем кратность пересечения (в началекоординат) какD 0 · D := D 0 · D1 − D 0 · D2 .(8.16)Если D = D3 − D4 — другое представление дивизора D, то по определениюD1 + D4 = D2 + D3 , а значит, по предложению 8.27, D 0 · D1 + D 0 · D4 = D 0 · D2 + D 0 · D3 .156Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскостиСледовательно, D3 · D 0 − D4 · D 0 = D 0 · D1 − D 0 · D2 , поэтому такое определениекорректно. Чтобы определить кратность пересечения двух произвольныхдивизоров, нужно повторить эту конструкцию дважды. Правило дистрибутивности (8.15) автоматически выполняется для любых трёх дивизоров.Рассмотрим теперь общий случай дивизоров на произвольной комплексной аналитической поверхности M.
Говорят, что два дивизора D, D 0 на поверхности M имеют изолированное пересечение, если |D| ∩ |D 0 | — конечноемножество точек.Определение 8.28. Индексом пересечения двух дивизоров D, D 0 с изолированным пересечением называется сумма всех кратностей пересечения:XD · D0 =D . D 0 , если |D| ∩ |D 0 | является конечным множеством. (8.17)∈Суммирование в (8.17) формально распространяется на все точки поверхности M, однако ненулевые слагаемые могут соответствовать только точкаммножества |D| ∩ |D 0 |.Индекс пересечения задаёт билинейную (над Z) симметрическую формуDiv(M) × Div(M) → Z, которую мы тоже будем называть индексом пересечения.Эта форма определена на парах дивизоров с изолированным пересечением:D, D 0 7 −→ D · D 0 ,когда |D| ∩ |D 0 | является конечным множеством,D · (D 0 ± D 00 ) = D · D 0 ± D · D 00 ,(D, D 0 ) = (D 0 , D).(8.18)Определённый таким образом индекс пересечения обобщает понятие количества точек пересечения с учётом их кратностей.
Его функториальность(поведение под действием голоморфных отображений) изучается в следующем параграфе.§ 8.8. Раздутие и индекс пересеченияИндекс пересечения корректно определён и инвариантен относительнобиголоморфизмов: если π: M 0 → M — биголоморфизм, тоπ−1 (D) · π−1 (D 0 ) = D · D 0 ,D, D 0 ∈ Div(M),π−1 (D), π−1 (D 0 ) ∈ Div(M 0 ),(8.19)для любых двух дивизоров D, D 0 на поверхности M с изолированным пересечением. Однако если отображение σ — раздутие, то прообразом точки {0}является исключительный дивизор, который, в свою очередь, принадлежитпрообразу любого дивизора. Следовательно, дивизоры σ−1 (D) и σ−1 (D 0 )обязательно имеют неизолированное пересечение, даже если |D| ∩ |D 0 | = {0}.Если дивизоры D и D 0 эффективные, то исключительный дивизор E входитв пересечение с положительной кратностью; см.
пример 8.22.Можно попробовать продолжить форму пересечения на пары дивизоров R, R0 ∈ Div(C), у которых нет неисключительных общих компонент, т. е.на случай|R| ∩ |R0 | ⊆ S,(8.20)§ 8.8. Раздутие и индекс пересечения157так, чтобы равенство (8.19) выполнялось и тогда, когда в качестве отображения π берётся раздутие. Далее мы увидим, что такое продолжение формыпересечения единственно.Замечание 8.29. Из теоремы 8.23 следует локальная непрерывность индекса пересечения. Например, рассмотрим эффективный дивизор D, заданныйсемейством локальных уравнений { fα = 0} в подходящих картах Uα .
Еслидругое семейство { fα0 ∈ O (Uα )} является достаточно малым возмущениемсемейства { fα ∈ O (Uα )} и голоморфные отношения fα0 / fβ0 ∈ O (Uα ∩ Uβ ) тожене обращаются в нуль, то это семейство определяет малое возмущение D 0дивизора D, как показано в п. 8.6.2. Из деформационного определения кратности видно, что индексы пересечения дивизоров D и D 0 с любым другимдивизором D 00 совпадают: D · D 00 = D 0 · D 00 (в то время как кратности отдельныхточек пересечения могут измениться).Таким образом, для любого дивизора D можно попытаться определитьиндекс самопересечения: малым возмущением получить из него дивизор D"и положить по определению D · D := lim" → D · D" .
Например, если дивизор Dопределён глобальным уравнением D = D для некоторой функции f : M → C,то можно выбрать D" = D−" : так как различные линии уровня не пересекаются,D · D" = 0 для всех " 6= 0, и, следовательно, мы получаем равенство D · D = 0.С другой стороны, если M = P2 — проективная плоскость, а D — прямая на ней,то D · D = 1.Всё же индекс самопересечения исключительного дивизора E нельзяопределить таким образом по причине жёсткости кривой E внутри лентыМёбиуса M (замечание 8.6). Более того, мы увидим, что, для того чтобысохранить свойство (8.19), нужно доопределить индекс самопересечения E · Eотрицательным значением −1 (заметим, что индекс пересечения междулюбыми двумя различными дивизорами всегда неотрицательный).Пример 8.30.
Рассмотрим два дивизора, заданных прямыми `1,2 в окрестности (C2 , 0), трансверсально пересекающимися в начале координат. Ихпрообразы относительно стандартного моноидального отображения σ : M →→ (C2 , 0) состоят из раздутий прямых è1,2 и исключительного дивизора:σ−1 (` ) = E + è ,j = 1, 2;см. пример 8.22. Заметим, что оба раздутия è1,2 являются гладкими и пересекают исключительный дивизор E трансверсально, следовательно, è · E = 1.Кроме того, оба раздутия не пересекаются между собой, следовательно,è1 · è2 = 0. Если мы хотим, чтобы индекс пересечения прообразов был такимже, как у образов:σ−1 (`1 ) · σ−1 (`2 ) = `1 · `2 = 1,то мы должны потребовать выполнения равенства1 = `1 · `2 = E · E + E · (è1 + è2 ) + è1 · è2 = E · E + 1 + 1 + 0,что оставляет нам единственную возможность E · E = −1.158Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскостиТеорема 8.31. Форма пересечения двух дивизоров на поверхности Mможет быть единственным образом продолжена на пары дивизоров, удовлетворяющих (8.20), до симметрической билинейной формы со следующимисвойствами:E · E = −1,(8.21)σ−1 (D) · E = 0−1−10σ (D) · σ (D ) = D · D∀ D ∈ Div(C2 , 0),002∀ D, D ∈ Div(C , 0)(8.22)(8.23)(последнее условие выполняется только для пар дивизоров D, D 0 ∈ Div(C2 , 0)с изолированным пересечением).Доказательство.
Продолжим форму пересечения на всевозможные парыдивизоров из Div(C2 , 0), пользуясь билинейностью и правилом (8.21). Намнужно доказать, что из правила (8.21), воспринимаемого в качестве аксиомы,а также из билинейности следуют равенства (8.22) и (8.23) для произвольных дивизоров D, D 0 ∈ Div(C2 , 0). В силу билинейности и симметричностидостаточно провести доказательство только для случая, когда дивизор D = Dопределяется голоморфным ростком f ∈ O (C2 , 0).Через n = ord0 f обозначим порядок голоморфного росткаf = f + f+1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
