Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Используя тот факт,что индекс пересечения зависит только от идеала, порождённого соответствующими ростками, мы получаемDℎ .0 D = D+ .0 D = D .0 D = D .0 D + D .0 D .Кратность пересечения D .0 D равна порядку функции ord0 g(0, y). Если gне делится на x, этот порядок равен n, таким образом,Dℎ .0 D = µ0 (F ) + n,n = ord0 F .Объединяя предыдущие вычисления, мы получаем формулу (8.28).§ 8.10. Разрешение каспидальных точекКратность изолированных особенностей порядка n > 1 уменьшается прираздутии (как дикритическом, так и недикритическом). Для доказательства теорем о разрешении особенностей нужно показать, что единственные неэлементарные точки порядка 1 — каспидальные точки — исчезают за163§ 8.10.
Разрешение каспидальных точекконечное число раздутий. Заметим, что, поскольку порядок каспидальнойточки равен 1, суммарная кратность всех особенностей, которые появляютсяпосле (недикритического) раздутия, согласно (8.30), увеличивается на 1.Мы покажем, что если кратность каспидальной точки больше трёх, тоона уменьшается после двух последовательных раздутий, а если кратностькаспидальной точки равна двум, то после трёх раздутий эта особенностьраспадается на элементарные.Без потери общности мы можем предположить, что младшие членыформы ω приведены к нормальной формеω = y dy + [p(x) + yq(x)] dx,ord0 p = µ ¾ 2,p, q ∈ C[[x]],(8.35)ord0 q > 0(см.
(4.17)). На самом деле в дальнейшем нам достаточно будет смотретьлишь на члены второго порядка. Число µ ¾ 2 является кратностью особойточки (8.35).Квадратичная угловая форма x f1 + yg1 для (8.35) равна y 2 . Она ненулевая(следовательно, особенность недикритическая), и единственной особой точкой после раздутия оказывается точка z = 0 в карте U1 . В этой карте раздутиеформы ω имеет видxz dz + (ax + bx 2 + cxz + z2 ) dx + m3 ⊗ Λ1 ,(8.36)где a, b — старшие коэффициенты функции p(x) = ax + bx + .
. . (a 6= 0тогда и только тогда, когда µ = 2), а c — старший коэффициент функцииq(x) = cx + . . . Здесь и далее обозначение m используется для множествачленов порядка ¾ k, а тензорное произведение m3 ⊗ Λ1 обозначает 1-формус коэффициентами третьего порядка.Дальнейшие рассуждения различаются для простого каспа, когда µ = 2,и каспа высшего порядка, когда µ > 2.238.10.1. Простой каспМы покажем, что в результате трёх последовательных раздутий простойкасп кратности µ = 2 распадается на три невырожденных особенности.Если µ = 2, то без потери общности можно предположить, что a = 1.Порядок особенности (8.36), которая появляется после первого раздутия,также равен 1, т.
е. эта особенность является простым каспом с кратностью3 = 2 + 1 (согласно (8.30) при n = 1) и угловой формой x 2 6≡ 0. После второгораздутия (замены x = uz и деления на z) каспидальная особая точка (8.36)превращается в слоение, заданное формойuz dz + (u + z)(u dz + z du) + m3 ⊗ Λ1 ,(8.37)у которой имеется единственная особенность в u = 0. Порядок этой особенности равен 2, а кратность, согласно (8.30) (опять же при n = 1), равна4 = 3 + 1.Угловая форма для (8.37), uz2 + 2uz(u + z) = uz(2u + 3z), является произведением трёх различных (простых) линейных множителей, из чего следует,164Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскостичто после третьего раздутия наше слоение будет иметь три особые точкисуммарной кратности 3 = 4 − 1 (опять же согласно (8.30), однако на этот разпри n = 2). Таким образом, возможна лишь одна комбинация кратностей: 1, 1и 1 соответственно. В частности, это означает, что все три точки являютсяневырожденными (следовательно, элементарными).
Прямым вычислениемможно показать, что все три точки являются резонансными сёдлами.8.10.2. Касп высшего порядкаВ этом случае уже после первого раздутия форма (8.36) имеет порядок 2,кратность µ + 1 (согласно (8.30)) и угловую формуxz2 + x(bx 2 + cxz + z 2 ) = x(bx 2 + cxz + 2z 2 ),которая делится на x, но не на x 2 . Другими словами, после второго раздутияпоявятся как минимум две различные точки (три в случае c2 6= 8b) суммарнойкратности µ (опять же по формуле (8.30)). Это означает, что после двухпоследовательных раздутий каждая из этих двух точек будет иметь кратностьне более µ − 1.Доказательство теорем 8.14 и 8.17 о разрешении особенностей. Мыпостроим последовательность раздутий, которая полностью разрешает изолированную особую точку.
Алгоритм построения очень прост: мы начинаемс особой точки 0 ∈ M0 ' (C2 , 0) слоения F = F0 и на каждом шаге строим простое раздутие π : M → M−1 , k = 1, 2, . . . , всех неэлементарных особых точекΣ−1 ⊂ M−1 слоения F−1 , которые лежат на поверхности M−1 , построеннойна предыдущем шаге.Утверждение теоремы 8.14 об исчезающем дивизоре D (прообразе началакоординат) может быть легко проверено по индукции.
Если γ⊂ M — кривая безособенностей, биголоморфно эквивалентная P1 , а точка a ∈γ — центр раздутияe без особенπ: M 0 → M, то согласно примеру 8.33 раздутие π∗ γ будет кривой γностей, биголоморфно эквивалентной γ (а следовательно — и P1 ). Заметим,e в M 0 может измениться. Если кривые γ, γ0 печто топология вложения кривой γресекаются трансверсально, то их раздутия не будут пересекаться между собойи будут пересекать исключительный дивизор π−1 (a) ⊂ M 0 трансверсально. Мыпроверили переход индукции. Таким образом, утверждение об исчезающемдивизоре выполняется всегда.
Доказательство теоремы 8.14 закончено.Для завершения доказательства теоремы 8.17 необходимо оценить количество простых раздутий, которые произойдут до того, как алгоритмостановится, т. е. до того, как все особенности станут элементарными. Расположим все особенности, появляющиеся в процессе применения алгоритма,в вершинах графа; пусть рёбра графа соединяют особенность с теми особенностями, которые она порождает при простом раздутии.
Тогда наш граф —дерево. Рассмотрим самый длинный путь в этом дереве, ведущий от корня:0 = a0 , a1 ∈ Σ1 , a2 ∈ Σ2 и т. д. Мы утверждаем, что за исключением, возможно,последних трёх шагов, кратности особенностей a уменьшаются как минимумна единицу на каждом шаге или, в худшем случае, за каждые два шага.Обозначив через µ соответствующие кратности, мы можем заметить, что:§ 8.11. Уничтожение резонансных узлов и дикритических касаний1651) если особенность a имеет порядок больше 1, то µ+1 < µ согласно следствию 8.36;2) если особенность a имеет порядок 1 и не является ни элементарной,ни простым каспом, то µ+2 < µ по выкладке из п.
8.10.2;3) если особенность a — простой касп, то последовательность заканчивается после следующих трёх шагов (см. п. 8.10.1).Эти неравенства позволяют оценить максимальную длину пути в дереве величиной 2(µ−1)+3 = 2µ+1. Доказательство теорем 8.14 и 8.17 закончено. § 8.11. Заключительные замечания: уничтожениерезонансных узлов и дикритических касанийЭлементарные особые точки тоже можно упростить при помощи раздутия.Например, невырожденная особая точка с собственными числами λ1 , λ2 ,заданная пфаффовым уравнениемx dy + λ y dx + .
. . = 0,λ=−λ16= −1,λ2при раздутии «распадается» на две особенности, причём при λ 6= −1 ониоказываются невырожденными. Их отношения собственных чисел равныλ + 1 и (λ−1 + 1)−1 .Случай λ = −1 соответствует либо дикритическому узлу x dy + y dx+. . .=0,либо жорданову узлу (x+ y) dy+ y dx+. . .=0. Первый исчезает после раздутия,в то время как второй порождает элементарную особую точку с гиперболическим собственным подпространством, трансверсальным исключительномудивизору (соответствующая угловая форма равна y 2 ).Используя вышеописанные наблюдения, после разрешения особенности,полученного в теореме 8.14, дополнительными раздутиями можно избавитьсяот всех резонансных узлов с натуральным отношением собственных значений.Действительно, такие особые точки соответствуют целым отрицательнымзначениям λ = −n, которые за каждый шаг раздутия увеличиваются на 1 до техпор, пока параметр λ не примет значение λ = −1 (все остальные особенности,которые будут появляться в процессе раздутий, окажутся резонанснымисёдлами с λ = n/(n − 1)).
На следующем шаге особенность либо исчезает,либо превращается в седлоузел.Другое усиление теоремы 8.17 может заключаться в дополнительном уничтожении точек касания между слоением π∗ F и исчезающим дивизором D.Далее мы вкратце изложим схему доказательства этого утверждения.Порядок касания двух кривых { f = 0} и {g = 0} по определению равенкратности пересечения D .
D минус 1: если две кривые пересекаются трансверсально, то порядок касания равен 0, для настоящего касания он всегдаположительный.Порядок касания между слоением F, определённым пфаффовым уравнением ω = 0, и гладкой аналитической кривой γ = { f = 0} в точке a определён,только когда γ не является листом или сепаратрисой слоения F .166Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостиЕсли a не является особой точкой слоения F, то порядок касания τ (F, γ)по определению равен порядку касания между γ и листом слоения F, проходящим через a. Если кривая γ локально в окрестности точки a определенауравнением { f = 0}, то легко проверить, чтоτ (F, γ) = Dω∧ . D ,(8.38)где Dω∧ является дивизором нулей 2-формы ω ∧ df = ρ(x, y) dx ∧ dy, т.
е.дивизором нулей коэффициента ρ: Dω∧ = Dρ .Действительно, если порядок касания равен k, то в правильно выбранныхлокальных координатах ω = dy (вспомним, что точка a является невырожденной) и γ = { f = 0}, где f (x, y) = y − b(x), ord0 b = k + 1. Тогда выражение, записанное в правой части (8.38), будет равно порядку производнойσ(x, y) = db(x)/dx в ограничении на гладкую кривую γ, параметризованнуюкоординатой x. Поэтому τ (F, γ) = ord0 b − 1 = k.В случае когда a является особой точкой, в качестве определения порядкакасания можно использовать (8.38). У порядка касания, определённого такимобразом, есть следующее важное свойство.Предложение 8.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
