Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 38
Текст из файла (страница 38)
. .Без потери общности можно предположить, что главная однородная часть fростка f не делится на x, т. е.f (x, y) = cy + . . . ,c 6= 0(в противном случае сначала необходимо провести соответствующую аффинную замену координат). В карте U1 мы имеемσ1∗ f (x, z) = x f (1, z) + x +1 f+1 (1, z) + . . . == x [ f (1, z) + x f+1 (1, z) + . . .] = x fe(x, z),fe(0, z) = f (1, z) 6≡ 0,значит, по определению прообраза дивизоров,e ,σ−1 (D ) = nE + De = D e ,Dn = ord0 f .(8.24)e |, рассматриваемый как кривая, является раздутием кривой |D |,Носитель | Dтак как функция fe не обращается тождественно в нуль на исключительномдивизоре E. Появление члена nE подчёркивает разницу между прообразомдивизора и раздутием его носителя.e и E изолировано и состоит из корней многочлеПересечение дивизоров Dна f (1, z) степени в точности n.
Если a = (0, a0 ) — такой корень, то кратностьe . E в этой точке равна кратности корня z = a0 ∈ C многочленапересечения Df (1, z), так как fe(x, z) = f (1, z) mod 〈x〉 и факторкольца O (C2 , a)/〈x, fe 〉и O (C1 , a0 )/〈 f (1, ·)〉 изоморфны. Складывая кратности всех точек пересечения, мы получаемe · E = deg f (1, z) = ord0 f = n.D(8.25)159§ 8.8. Раздутие и индекс пересеченияИспользуя аксиому (8.21) и линейность формы пересечения, мы получаемформулу (8.22)e · E = −n + n = 0.σ−1 (D ) · E = (−1) · n + DДоказательство равенства (8.22) завершено.Чтобы доказать равенство (8.23), мы предполагаем, что аналитическаякривая γ = |D | неприводима и параметризована (инъективным) голоморфным отображением τ: (C1 , 0) → (C2 , 0), t 7→ (x(t), y(t)).Согласно лемме 8.26, кратность пересечения D .0 D равна кратностиord0 g ◦ τ корня t = 0 композиции g ◦ τ.e : t 7→ σ−1 ◦ τ, t 6= 0, параметризует точкиЗаметим, что отображение τ−1множества σ (γ)\E.
Это отображение, очевидно, продолжается голоморфноe : (C1 , 0) → C, параметв начало координат и превращается в отображение τee.ризующее раздутую кривую D = γЕсли D 0 = D — неприводимый дивизор, то, используя лемму 8.26 дважды,мы получаемe = σ−1 (D ) · De .e = Dσ∗ · DD · D = ord0 g ◦ τ = ord0 g ◦ σ ◦ σ−1 ◦ τ = ord0 (σ∗ g) ◦ τОбъединяя это с (8.24) и (8.22), получаемe ) =σ−1 (D ) · σ−1 (D ) = σ−1 (D ) · (nE + De = 0 + D · D = D · D .= n σ−1 (D ) · E + σ−1 (D ) · DДоказательство (8.23) закончено в случае, когда дивизор D неприводимый.Как мы уже упоминали выше, доказательство в общем случае следует из билинейности индекса пересечения.В качестве следствия теоремы 8.31 мы получаем простую формулу дляиндекса пересечения раздутий двух аналитических кривых.Следствие 8.32. Для любой пары голоморфных кривых γ, γ0 ⊆ (C2 , 0) поe, γe0 ⊂ (M, E) индексы пересечениярядка m и m0 соответственно и их раздутий γсвязаны следующей формулой:e·γe0 + mm0 .γ · γ0 = γ(8.26)Доказательство.
Согласно (8.24), справедливы следующие равенства длядивизоров:e, σ−1 (γ0 ) = m0 E + γe0 .σ−1 (γ) = mE + γИспользуя билинейность и три правила (8.21), (8.22) и (8.23), мы заключаем,чтоe·γe0 = (σ−1 (γ) − mE) · (σ−1 (γ0 ) − m0 E) = γ · γ0 − 0m − 0m0 + (−1) mm0 .γПример 8.33.
Если γ, γ0 — две гладкие (порядка 1) аналитические кривые, то кратность их пересечения после раздутия уменьшается на 1. Таккак в гладком случае кратность пересечения равна порядку касания междукривыми γ и γ0 минус 1, порядок касания между гладкими кривыми прираздутии также уменьшается на единицу.160Глава 8. Разрешение особенностей на плоскости§ 8.9. Раздутие и кратность слоений с особенностямиРассмотрим голоморфное слоение F с особенностью, заданное пфаффовым уравнением {ω = 0}, ω ∈ Λ1 (C2 , 0), или голоморфным векторным полемF ∈ D(C2 , 0) в окрестности изолированной особой точки в начале координат.Обозначим через n порядок формы ω в начале координат: по определениюэто означает, чтоω = f dx + g dy = ( f + f+1 + . .
.) dx + (g + g+1 + . . .) dy(8.27)и однородные многочлены f , g младшей степени n не обращаются тождественно в нуль: f dx + g dy 6= 0. Предположение, что особенность изолированная, означает, что пересечение координатных дивизоров D и Dизолировано.Определение 8.34. Кратность µ0 (ω) особой точки формы (8.27) в начале координат — это кратность пересечения D .0 D двух соответствующихдивизоров.Кратность µ (F ) слоения с особенностями F в точке a — это кратностьлюбой голоморфной формы ω, касательной к слоению F и имеющей изолированную особенность в точке a.Рассмотрим малое возмущение векторного поляF" = (g − "1 )∂∂− ( f − "2 ) .∂x∂yЕсли векторное поле F" имеет только невырожденные особые точки и "∈(C2 ,0)достаточно мало, то количество этих особых точек в точности равно кратности по теореме 8.23.
Согласно данному определению, кратности неособыхточек слоения равны нулю.Определение кратности не зависит от выбора локальных координат,в которых записаны коэффициенты формы. Это видно из деформационногоопределения кратности. Можно привести и другой аргумент: изменениекоординат влечёт за собой замену коэффициентов ( f, g) формы другой паройфункций ( f 0 , g 0 ), принадлежащих тому же идеалу 〈 f, g〉.
Если замена координат обратима, то два идеала равны между собой и, следовательно, порождаютодну и ту же локальную алгебру.Наша ближайшая цель — сравнить суммарную кратность всех особенностей слоения F с кратностью особенностей слоения Fe = π∗ F для простогораздутия π. Очевидно, что для этого достаточно рассмотреть случай, когдаслоение F имеет изолированную особенность в нуле и раздутие является стандартным моноидальным отображением σ : (M, E) → (C2 , 0). В дикритическоми недикритическом случаях ответ оказывается разным.Рассмотрим слоение с особенностями F, заданное 1-формой ω = f dx + g dyпорядка n (см.
равенство (8.27)), и через Fe обозначим его раздутие (см. определение 8.11).Теорема 8.35. Пусть F — слоение окрестности (C2 , 0) с особенностьюв нуле, а Fe — его раздутие. Тогда во всех случаях, кроме случая дикритической§ 8.9. Раздутие и кратность слоений с особенностямиособенности порядка 1,Xµ (Fe) = µ0 (F ) − k(k − 2) + n.161(8.28)∈Здесь n = ord0 ω, m = ord0 (x f + yg) ¾ n + 1 (равенство достигается в недикритическом случае) иn + 1 в недикритическом случае,k = min(n + 2, m) =(8.29)n + 2 в дикритическом случае.В недикритическом случае из формулы (8.28) следуетXµ (Fe) = µ0 (F ) − (n2 − n − 1).(8.30)В дикритическом случае порядка n > 1 из той же формулы (8.28) получаемXµ (Fe) = µ0 (F ) − (n2 + n).(8.31)В дикритическом случае порядка n = 1 имеем µ0 (F ) = 1.
Раздутое слоение Feнеособое, поэтому Xµ (Fe) = 0 = 1 − 1 = µ0 (F ) − n2 .(8.32)Таким образом, верноСледствие 8.36. Если n > 1, то общее количество особенностей слоения Fe с учётом их кратности, а значит, и кратность каждой особенностив отдельности, строго меньше, чем кратность исходной особенности:Xµ (Fe) < µ0 (F ).(8.33)∈Доказательство теоремы 8.35. Мы начнём с выбора удобной аффиннойкарты. После этого, при необходимости применив аффинное преобразование,мы без потери общности можем предположить, что эта карта — стандартнаяаффинная карта U1 с координатами (x, z).Как в § 8.5, введём функцию h = x f + yg и угловую форму h+1 = x f + yg .Без ограничения общности мы можем предположить, что единственнаяточка, не покрытая аффинной картой, является неособой для раздутогоe В недикритическом случае это эквивалентно предположению, чтослоения F.угловая форма не делится на x.Более того, мы всегда можем считать, что пересечение дивизоров Dи Dℎ изолировано: поскольку h = x f + yg, это случается тогда и только тогда,когда g не делится на x.
В отличие от предыдущего предположения, котороевсегда выполняется после применения подходящего аффинного преобразования, выполнения этого условия можно добиться всегда, кроме дикритическогослучая порядка n = 1. В последнем случае g1 (x, y) = x, так как линейная частьсоответствующего векторного поля является скалярной матрицей, котораяостаётся скалярной в любых аффинных координатах.162Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостиВ аффинной карте U1 ' C2 с координатами (x, z) перенос формы ω моноидальным отображением σ : (x, z) 7→ (x, xz) был посчитан в (8.5). С технической точки зрения удобнее переносить форму xω ∈ Λ1 (C2 , 0): то, что она имеетнеизолированную особенность, не имеет значения, так как в любом случаепри продолжении на исключительный дивизор обратный образ формы будетподелён на x в подходящей степени. Преимущество этого подхода в том, чтокоэффициенты 1-формы σ1∗ (xω) = (σ1∗ h) dx + σ1∗ (x 2 g) dz являются обратнымиобразами голоморфных ростков h и g 0 = x 2 g.Чтобы продолжить форму σ1∗ (xω) на исключительный дивизор E = {x = 0},необходимо поделить коэффициенты σ1∗ h и σ1∗ g 0 на x — максимальнуюположительную степень функции x, которая задаёт исключительный дивизор локально в карте U1 .
В зависимости от того, является ли исходнаяособенность дикритической, максимальный порядок k принимает два возможных значения, перечисленных в (8.29). Кратность пересечения кривыхx − σ1∗ h = 0 и x − σ1∗ g0 = 0 в любой точке прямой x = 0 тогда будет равнакратности соответствующей особой точки раздутого слоения.Так как, согласно нашему предположению, точка, не покрытая картой U1 ,не является особой, суммарная кратность всех особых точек слоения Fe на исключительном дивизоре E равна индексу пересечения дивизоров σ−1 (Dℎ )− kEи σ−1 (D2 ) − kE = σ−1 (D ) − (k − 2)E в открытой области U1 ⊂ M.
Используя билинейность формы пересечения, а также свойства, доказанные в теореме 8.31,получаем:Xµ (Fe) = (σ−1 (Dℎ ) − kE) · (σ−1 (D2 ) − kE) == (σ−1 (Dℎ ) − kE) · (σ−1 (D ) − (k − 2)E) == σ−1 (Dℎ ) · σ−1 (D ) + k(k − 2) E · E = Dℎ · D − k(k − 2).(8.34)Остаётся посчитать индекс пересечения дивизоров Dℎ , D ⊂ (C2 , 0) в началекоординат, где h = x f + yg, и выразить его через D · D .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
