Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Альтернатива и топологическая классификация особых точек177Особые точки с характеристическими орбитами можно описать в комбинаторных терминах.Теорема 9.14 (см. [89]). Особое вещественно-аналитичное слоение наплоскости с характеристической орбитой допускает секториальное разбиение на конечное число стандартных секторов, разделённых характеристическими орбитами.Схема доказательства теоремы 9.13. Рассмотрим полное разрешение особенностей вещественно-аналитичного слоения с особенностями F.
Это слоение с особенностями F 0 на вещественно-аналитичной поверхности M с исключительнымидивизорами D ⊂ M на ней, где D — это объединение трансверсально пересекающихсявещественно-аналитичных окружностей D1 , . . . , D , и все особые точки F 0 являютсяэлементарными и принадлежат D.Если одно из раздутий, приводящих к F 0, было дикритическим, то существуетбесконечно много гладких вещественно-аналитических листов F 0, пересекающих D;после схлопывания они превратятся в характеристические орбиты F.
Таким образом,мы можем рассматривать только случай, когда D представляет собой объединениесепаратрис всех особых точек F 0.Если F 0 содержит неугловую особую точку, то должна существовать как минимум ещё одна характеристическая орбита, не принадлежащая D, поскольку у всехэлементарных особых точек из табл. 9.1 имеется как минимум две пары таких характеристических орбит (исключая случай центра, однако последний не может возникнутьв результате недикритического раздутия). Точно так же наличие узла или седлоузла,даже в угловой точке, влечёт существование характеристических орбит F 0 вне D.Очевидно, что проекция этого листа является характеристической орбитой F.Таким образом, единственным случаем, когда у F нет видимых характеристических орбит, является тот случай, где после полного разрешения особенностейу слоения F 0 имеются только сёдла в угловых точках.
Мы покажем, что в этом случаеслоение F будет монодромным.Действительно, рассмотрим гиперболический сектор углового седла и любую парутрансверсалей τ, τ0 со сторонами этого сектора в точках a, a0. Предположим, что «положительные» полуинтервалы τ+ , τ0+ лежат внутрисектора.Тогда слои стандартного гиперболическогослоения, соответствующие гиперболам {xy == const > 0} в положительном квадранте, определяют гладкое взаимно однозначное соответствие между положительными полутрансверсалями, которое непрерывно продолжаетсяв вершине путём отождествления a с a0.Подобным образом две трансверсали τ, τ0к одной гладкой компоненте D допускают вещественно-аналитическое соответствие между ними при условии, что одна из двух дуг Рис. 9.4.
Монодромная особая точка:компоненты D , соединяющих базисные точ- монодромия является композициейки трансверсалей, не содержит особых точек отображений соответствия гипербослоения F 0. Заметим, что единственный слу- лических секторов угловых особыхчай, когда обе эти дуги не содержат особых точек178Глава 9.
Векторные поля на плоскоститочек и поэтому конструкция неоднозначна, соответствует слоению, первое раздутиекоторого не имеет особых точек; все последующие раздутия образуют хотя бы однуугловую особенность на каждом дивизоре.Таким образом, мы видим, при построении полного набора из 2m трансверсалей(содержащего 4m полутрансверсалей), начав с произвольной полутрансверсали τ = τ1 ,можно однозначно получить последовательность полутрансверсалей τ2 , τ3 , . . . , такуючто отображения соответствия ∆ : τ → τ+1 корректно определены. Поскольку общееколичество трансверсалей конечно, все они в конечном итоге будут пересечены.В результате получаем композицию отображений ∆ = ∆4 ◦ .
. . ◦ ∆1 , которая будеткорректно определённым отображением, совпадающим с отображением монодромии,соотнесённым с начальной полутрансверсалью (см. рис. 9.4).Набросок доказательства теоремы 9.14. Для элементарных особенностей утверждение теоремы очевидно. Общий случай доказывается индукцией по количествураздутий, необходимых для полного разрешения особенностей.Рассмотрим действительное моноидальное отображениеσ : (M, C) → (R2 , 0).Результатом схлопывания сектора каждого типа с вершиной в особой точке a ∈ Cявляется сектор того же типа с вершиной в начале координат при условии, что обеграничные кривые сектора не принадлежат исключительному дивизору.Новые секторы могут быть образованы двумя характеристическими орбитамиγ, γ0, входящими в различные (смежные на C) особые точки или точки касания a, a0на C.
В этом случае новый сектор образован добавлением двух секторов между γ и C(соответственно γ0 и C). Список возможностей для недикритического случая можетаприори состоять из 6 случаев (pp), (pe), . . . , соответствующих различным типамсекторов с вершинами в точках γ ∩ C и γ0 ∩ C. Однако по очевидным топологическимпричинам только комбинации (pp), (ph) и (hh) имеет смысл рассматривать, поскольку эллиптические секторы не могут примыкать к исключительному дивизору C.После схлопывания эти пары секторов образуют эллиптический, параболическийи гиперболический секторы в начале координат.Подобным образом можно построить секториальное разбиение вблизи точеккасания при дикритическом схлопывании. В тривиальном случае, когда C содержиттолько одну особую точку (в которую входит характеристическая траектория) и ни одной точки контакта, после схлопывания мы получаем топологическое слоение безособенностей.Секториальное разбиение позволяет каждому действительному аналитическому слоению сопоставить конечное слово в трёхбуквенном алфавите{p, h, e}, определённое с точностью до циклической перестановки.
Это словобудем временно называть секториальной схемой. Следующий результат довольно очевиден (см. задачу 9.13), но даёт достаточно точное описаниеслоений с характеристической орбитой.Теорема 9.15. Два вещественно-аналитических слоения с одинаковымисекториальными схемами топологически эквивалентны (в вещественнойобласти).Заметим, однако, что не все «слова» можно получить из вещественноаналитических слоений, кроме того, некоторые слова соответствуют топологически эквивалентным слоениям, поэтому «секториальная схема» не является классификацией (см. задачу 9.12).§ 9.6. Три кошмара179§ 9.5.
Три вопросаТопологические результаты из § 9.4 естественно вызывают следующиевопросы.Вопрос 1. Насколько эффективна основная альтернатива? Можно ли определить, является ли особенность монодромной или характеристической, поструе конечного порядка вещественно-аналитического векторного поля?Каков порядок этой струи?Теорема 9.13 сводит ответ на этот вопрос к исследованию полного разрешения особенностей. Поскольку процедура разрешения особенностей эффективна, можно ожидать явного утвердительного ответа на первый вопрос.При условии, что особенность имеет характеристическую орбиту, следующий естественный вопрос состоит в определении её топологического типа.Вопрос 2. Насколько конструктивно секториальное разбиение? В частности, определяется ли оно струёй конечного порядка? Какого порядка?По аналогичным причинам теоремы 9.14 и 9.15 дают надежду на то, чтоответ на второй вопрос будет тоже положительным.В заключение рассмотрим последний оставшийся случай — случай монодромной особенности.
Такие особенности могут быть центрами, фокусамии быть более сложными. Следующий вопрос выражает нашу веру в то, чтовещественно-аналитические векторные поля ведут себя хорошо.Вопрос 3. Верно ли, что монодромное вещественно-аналитическое слоение с изолированной особенностью является либо центром, либо фокусом(т.
е. топологически эквивалентно узлу)? Определяется ли топологическийтип струёй конечного порядка?Все эти вопросы будем называть вопросами о разрешимости задач локальной классификации для ростков аналитических векторных полей. Мыразработаем соответствующий язык и исследуем их в этой и следующих главах.§ 9.6. Три кошмараОпределения характеристической орбиты и монодромной особенностиобычно даются без применения раздутия, в терминах, которые используюттолько C 1 -гладкое векторное поле.Основная альтернатива (теорема 9.13 без ссылок на полное разрешениеособенностей) также верна и при менее жёстких условиях на регулярность,поскольку наше доказательство в большой степени использует возможностьэтого разрешения.
Прямое доказательство, справедливое для C 2 -гладких векторных полей и использующее только одно раздутие, можно найти в [119, § 3],[30, гл. VIII], см. задачу 9.14.Тем не менее оказывается, что вопросы разрешимости, поднятые в § 9.5,имеют отрицательные ответы, если регулярность ослаблена и вещественноаналитические векторные поля заменены C ∞ -гладкими векторными полями.В первую очередь, основная альтернатива может не выполняться для такихполей.180Глава 9. Векторные поля на плоскости(а)(б)(в)Рис. 9.5. «Плохое» поведение C ∞ -гладких векторных полей: (а) немонодромная особенность без характеристической орбиты; (б) бесконечное множество секторов; (в) бесконечное множество перемежающихся периодических и непериодических орбитПример 9.16 (немонодромные особенности без характеристических орбит).
Рассмотрим функцию одной переменной, определённую на интервале(−1, 1), которая стремится к +∞ в обоих концах. Сдвигая график этойфункции в вертикальном направлении, можно построить слоение без особыхточек на бесконечной полосе [−1, 1] × R, касательное к двум граничнымлиниям полосы, которые сами по себе являются листами. Скручивая этуполосу (скажем, по экспоненциальному отображению плоскости R2 ' C1 ),можно получить слоение на кольце {1 ¶ |z| ¶ 2}. Наконец, собирая вместесчётное количество гомотетичных копий этого кольца, мы получим слоение,показанное на рис. 9.5(а).Это слоение не является монодромным (оно просто не имеет трансверсалей к исключительному дивизору) и не имеет характеристических орбит.Этот пример может быть построен в классе слоений, порождённых C ∞ -гладкими векторными полями, плоскими в начале координат (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
