Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е. с тождественнонулевым рядом Тейлора), но не может встретиться в случае вещественно-аналитических слоений. Действительно, в этом случае слоение касаетсялинии, проходящей через начало координат, в бесконечном количестве точек,накапливающихся к началу координат, но сама линия не инвариантна.Второй кошмар показывает, что секториальное разбиение не выполняетсядля C ∞ -гладких векторных полей.Пример 9.17 (бесконечное множество секторов). Особая точка, схематично показанная на рис. 9.5(б), имеет бесконечно много перемежающихсягиперболических и параболических секторов.Наконец, для монодромных особенностей альтернатива центр–фокусможет не выполняться из-за одновременного существования бесконечногочисла периодических и непериодических траекторий. Если траектории обоихтипов скапливаются к началу координат, то эта особенность не являетсяни центром, ни фокусом.§ 9.7.
Алгебраическая разрешимость181Пример 9.18. Пусть Z ⊆ (R+ , 0) — (более или менее) произвольное замкнутое подмножество. Существует C ∞ -гладкая плоская в начале координати неотрицательная функция ϕ, ϕ ¾ 0, множество нулей которой совпадаетс Z. Начиная с этой функции можно построить C ∞ -гладкое монодромноевекторное поле, отображение монодромии которого отличается от тождественного на ϕ, ∆(x) = x + ϕ(x).
Если и Z, и (R+ , 0)\Z накапливаютсяк началу координат, соответствующая особенность не является ни центром,ни фокусом, см. рис. 9.5(в).Если слоение вещественно-аналитическое, то отображение монодромииобязательно будет вещественно-аналитическим для всех внутренних точекполуинтервала (R+ , 0), что означает, что множество Z может в этом случаесостоять только из изолированных точек, накапливающихся в конечномсчёте к началу координат.
Для некоторых типов векторных полей это накопление невозможно по сравнительно простым причинам, см. главу 10ниже. Тем не менее очень трудно доказать, что это накопление невозможнодля произвольного векторного поля (так называемая теорема ненакопления,см. [35, 19, 34] и главу 24 второго тома).§ 9.7. Алгебраическая разрешимостьДоказательство теоремы 9.13 конструктивно: для того чтобы решить,является ли особая точка монодромной или имеет характеристическую орбиту, необходимо произвести полное разрешение особенностей, проверитьналичие неугловых особых точек и выписать схему раздутия. Эти операциииспользуют только алгебраические действия с бесконечным числом коэффициентов Тейлора (арифметические действия, проверка знака и решениеалгебраических уравнений).
В этом и следующем параграфах мы формализуем соответствующее понятие алгебраической разрешимости и покажем, чтоосновная альтернатива действительно алгебраически разрешима; это дастответ на первый вопрос из § 9.5.Мы начнём с описания «разрешимых» подмножеств аффинных конечномерных пространств. Не углубляясь в обсуждение общей природы вычислимости, мы объявим класс полуалгебраических множеств единственнымразумным классом подмножеств R или C , который может быть конечнопредставлен. Для любого такого множества можно представить себе алгоритм,использующий только алгебраические вычисления и проверку знака, которыйза конечное число шагов позволяет определить, принадлежит ли данная точкамножеству или нет.Определение 9.19. Подмножество R называется вещественным полуалгебраическим, если оно может быть задано конечным числом полиномиальных уравнений и неравенств вида p(x) = 0, p(x) < 0 или p(x) ¶ 0, гдеp ∈ R[x1 , . .
. , x ].Полуалгебраические множества образуют булеву алгебру (их конечныеобъединения и пересечения, очевидно, будут полуалгебраическими). Важнеето, что класс полуалгебраических множеств замкнут относительно взятия182Глава 9. Векторные поля на плоскостидополнения и аффинных проектирований (и, более того, полиномиальныхотображений).Теорема 9.20 (А. Тарский — А. Зайденберг, см.
[15]). Аффинная проекцияполуалгебраического множества является полуалгебраической.Полуалгебраические множества разрешимы: каждое такое множество может быть определено конечной формулой, использующей полиномиальныеуравнения и неравенства над R[x1 , . . . , x , y1 , . . . , y ] с «вспомогательными»переменными y1 , .
. . , y , логические операции «и», «или», «отрицание», икванторы ∀ y , ∃ y , которые связывают вспомогательные переменные. Теорема Тарского — Зайденберга утверждает, что все кванторы могут бытьэффективно удалены, т. е. процесс разрешения полностью конструктивен.Рассмотрим подмножество M пространства ростков вещественно- иликомплексно-аналитических векторных полей в начале координат на плоскости D = D(C2 , 0) (другие аналитические объекты, такие как ростки функций,отображения в себя, могут быть рассмотрены абсолютно аналогично). Заметим, что для любого конечного n пространство J = J (D(C2 , 0)) n-струй такихвекторных полей будет конечномерным комплексным аффинным пространством. В нашей конструкции множество M будет определено некоторымисвойствами векторных полей (например, топологический тип, кратность,порядок, существование аналитической сепаратрисы и т.
д.), поэтому мычасто будем говорить о свойствах векторных полей.Во-первых, мы формализуем утверждение, что некоторое свойство Mзадаётся струёй конечного порядка.Определение 9.21. Струя g ∈ J порядка n называется достаточной длямножества M (для соответствующего свойства), если все ростки, имеющиеэту струю, принадлежат либо M, либо его дополнению D\M: ( j )−1 (g) ⊆ Mили ( j )−1 (g) ⊆ D\M, ( j )−1 (g) = {F : j F = g}.Определение 9.22.
Множество M называется разрешимым на уровнеn-струй, если существует подмножество M () ⊆ J (D(C2 , 0)) такое, что F ∈ Mтогда и только тогда, когда j F ∈ M () .Свойство алгебраически разрешимо (на уровне n-струй), если множествоM () полуалгебраическое в аффинном пространстве J (D(C2 , 0)).Другими словами, множество (соответственно свойство) алгебраическиразрешимо на уровне n-струй, если все такие струи достаточные. Это сравнительно редкая возможность: в большинстве случаев, когда M описываетсясвоими топологическими или аналитическими свойствами, всегда существуют некоторые струи, которые недостаточны для того, чтобы гарантировать,принадлежат ли их представители M или нет, см.
главу 10.§ 9.8. Разрешимость проблемы вычисления кратностиМы проиллюстрируем понятие разрешимости, доказав, что кратность изолированной особенности является «разрешимой» функцией аналитическихростков.§ 9.9. Алгебраическая разрешимость основной альтернативы183Теорема 9.23. Для любого конечного µ множество Mµ голоморфных векторных полей, имеющих кратность ¶ µ в начале координат, алгебраическиразрешимо на уровне n-струй при n = µ.Доказательство. Покажем сначала, что если F — росток кратности ¶ µ,то его µ-струя достаточна в том смысле, что каждый росток F 0 с той жеµ-струёй имеет ту же кратность. Для доказательства этого мы используемопределение кратности как размерности локальной факторалгебры, µ == dimC O0 /〈F1 , F2 〉, где F1,2 — координатные функции ростка векторного поля.Действительно, согласно [95, Lemma 1, § 5.5], любая степень x y порядкаa + b ¾ µ + 1 принадлежит идеалу конечной коразмерности µ.
Поэтому любойаналитический росток вида F0 = F + o((|x|+| y|)µ ), i =1, 2, принадлежит идеалу〈F1 , F2 〉, и поэтому 〈F10 , F20 〉 = 〈F1 , F2 〉. Очевидно, что аргументы симметричныи все ростки с одной и той же µ-струёй порождают одни и те же идеалыи поэтому имеют одинаковую кратность.Поэтому мы можем определить множество Mµ(µ) как множество полиномиальных векторных полей степени µ, имеющих особенность кратности¶ µ в начале координат. Независимо от локальных координат, если полиномТейлора (усечение) для F принадлежит Mµ(µ) , то соответствующая µ-струядостаточна для Mµ .Остаётся доказать, что Mµ(µ) полуалгебраическое в пространстве µ-струйµJ (D(C2 , 0)). Рассмотрим аффинное пространство Dµ ' C , N = N(µ), полиномиальных векторных полей степени µ.
Полиномиальная формула с кванторамиY∀ " > 0 ∃ y ∈ C2 , ∃ x1 , . . . , xµ+1 ∈ C2 ,|x − x | =6 0 & {|x |, | y| < "} & F(x ) = y<после подстановкиF(x) =Xaα x α ,a α ∈ C2 ,|α|¶µопределяет подмножество в Dµ ' {aα }|α|¶µ , элементами которого являютсяполиномиальные векторные поля, имеющие особенность кратности ¾ µ + 1(или неизолированную) в начале координат, т.
е. дополнение к Mµ(µ) . По теореме Тарского — Зайденберга 9.20, множество Mµ(µ) является алгебраическим.Замечание 9.24. Если некоторое множество (свойство) M алгебраическиразрешимо на уровне n-струй, то по тривиальным причинам оно алгебраически разрешимо на уровне струй высших порядков.§ 9.9. Алгебраическая разрешимостьосновной альтернативыСейчас мы докажем, что основная альтернатива становится алгебраически разрешимой после ограничения на подпространство аналитическихростков любой заданной конечной кратности. Эти результаты развиваютидеи, выдвинутые в основополагающей работе [17].184Глава 9.
Векторные поля на плоскостиТеорема 9.25. Для каждой кратности µ ∈ N существует конечный порядок n = n(µ) ∈ N и два дизъюнктных полуалгебраических подмножестваC () , M () ⊆ J (D(R2 , 0)) в пространстве n-струй векторных полей на плоскости, такие что поле F кратности ¶ µ имеет в начале координат характеристическую орбиту (соответственно является монодромным) тогда и толькотогда, когда j F принадлежит C () (соответственно M () ).Набросок доказательства теоремы 9.25. По теореме 9.23 и очевидному замечанию 9.24, во всех пространствах струй достаточно высокого порядка J = J (D(R2 , 0))существуют полуалгебраические подмножества, достаточные для соответствующихособенностей, имеющих кратность ¶ µ. По теореме 8.17, каждая такая особенностьможет быть расщеплена на элементарные особенности не более чем за 2µ + 1 шагов(последовательных простых раздутий конечных множеств).Как следует из теоремы 9.13, для определения, является ли случай характеристическим или монодромным, достаточно определить («распознать») положениеи топологические типы элементарных особенностей, которые появляются послеполного разрешения особенностей.Невырожденные особенности (сёдла и узлы) могут быть опознаны по своим1-струям; критерии (неравенства для дискриминантов характеристических полиномов степени 2) являются несомненно полуалгебраическими относительно элементовлинеаризующих матриц.Вырожденные изолированные элементарные особенности конечной кратности µмогут быть сёдлами, узлами или седлоузлами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
