Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 45
Текст из файла (страница 45)
также [91, § 37]. Арнольд доказал алгебраическую разрешимостьнескольких естественных проблем локального анализа, хотя и заметил, чтодля достаточно сложных проблем эта алгебраическая разрешимость не имеет места. Например, задача Ляпунова об устойчивости для особенностейразмерности n ¾ 3 и топологическая классификация голоморфных слоенийс особенностью в (C2 , 0) топологически неразрешимы. В § 10.7 мы покажем,что задача об устойчивости алгебраически неразрешима уже для аналитических векторных полей на плоскости (т.
е. для n = 2).Мы обсудим разрешимость проблемы топологической классификации дляэлементарных вещественно-аналитических особенностей на плоскости. Мыпокажем, что топологическая классификация невырожденных элементарныхособенностей (трихотомия седло/узел/седлоузел) и альтернатива центр–фокус для эллиптических векторных полей алгебраически разрешимы в самомсильном смысле этого понятия (оно будет введено позже). С другой стороны,мы докажем, что для монодромных особенностей общего вида проблемаразличения центра и фокуса не является алгебраически разрешимой.§ 10.1.
Разрешимость в пространствах струй: терминология189§ 10.1. Разрешимость в пространствах струй:терминологияДва голоморфных ростка аналитических функций f , f 0 ∈ O (C , 0) называются n-эквивалентными в начале координат, если их разность являетсябесконечно малой порядка n + 1 в этой точке; n-струя (в начале координат) —это класс эквивалентности относительно n-эквивалентности. Пространствоструй имеет естественную структуру линейного пространства над C; в произвольной локальной системе координат x1 , .
. . , x n-струи могут быть отождествлены с многочленами (Тейлора) степени ¶ n.Эта конструкция может быть модифицирована для других классов объектов (векторные поля, дифференциальные формы, в комплексном иливещественном и даже в бесконечно гладком случае).Пространство ростков аналитических векторных полей D(R2 , 0) (или, чтото же самое в случае плоскости, пространство ростков вещественно-аналитических 1-форм Λ1 (R2 , 0)) бесконечномерно, и поэтому разрешимость подмножеств этого пространства не может быть определена в терминах полуалгебраических множеств. Тем не менее это бесконечномерное пространство наделенобесконечным числом естественных проекций на пространства струй в особойточке. Струи конечного порядка образуют конечномерное пространство с естественной аффинной структурой. Поэтому можно определить разрешимые множества ростков в терминах разрешимости их проекций на пространства струй.Рассмотрим подмножество M в пространстве всех аналитических ростков G , например, в пространстве ростков 1-форм G = Λ1 (R2 , 0) = Λ1 .
ЧерезJ (G ) обозначим конечномерное пространство k-струй ростков из G , и черезj : G → J (G ) — естественную проекцию.Определение 10.1. Множество M ⊂ G называется алгебраически разрешимым вплоть до коразмерности r ∈ N, если для некоторого k существуютдва дизъюнктных полуалгебраических подмножества S± ⊆ J (G ), такие что:1) любой росток, чья k-струя принадлежит S+ , обязательно принадлежит M;2) любой росток, чья k-струя принадлежит S− , обязательно принадлежит дополнению G \M;−3) дополнение N = J (G )\(S+ ∪ S ), автоматически являющееся полуалгебраическим, имеет коразмерность ¾ r в J (G ).Струи из подмножеств S± называют достаточными k-струями, в то времякак дополнение N состоит из нейтральных струй.Алгебраическая разрешимость некоторого свойства M ⊂G означает, что соответствующее множество может быть приближено с двух сторон «цилиндрическими» полуалгебраическими подмножествами в подмножествах k-струй:S+ ⊆ M ⊆ G \S− ,S± = ( j )−1 (S± ),так что «точность» этого приближения, N = G \(S+ ∪ S− ), имеет вполнеопределённую коразмерность, которая не меньше r.
Именно коразмерность r,а не порядок k струй играет центральную роль в этом определении.190Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачОпределение 10.2. Подмножество M ⊂ G пространства ростков алгебраически разрешимо вплоть до бесконечной коразмерности (или просто разрешимо), если оно алгебраически разрешимо вплоть до любой конечнойкоразмерности r.Согласно этому определению, для разрешимого свойства (множества) Mсуществует бесконечная последовательность двусторонних полуалгебраических цилиндрических приближений M,+−S0+ ⊆ S1+ ⊆ . .
. ⊆ S+1⊆ . . . ⊆ M ⊆ . . . ⊆ (G \S+1) ⊆ (G \S− ) ⊆ . . . ⊆ (G \S0− ),таких что коразмерность убывающих разностей N = G \(S+ ∪ S− ) стремитсяк бесконечности:G ⊇ N1 ⊇ . . . ⊇ N ⊇ N+1 ⊇ . . . ,codimG N → +∞.В частности, это условие на коразмерность выполняется, если стабилизация имеет место и N = ∅ для некоторого k. Как и раньше, множества S± ,N цилиндрические, т.
е. являются прообразами соответствующих полуалгебраических подмножествTS± и N в J (G ).Пересечение N∞ = ¾0 N , которое может быть пустым, даже если всеN ненулевые, может быть также нетривиальным, поскольку пространстворостков G бесконечномерно.Определение 10.3. Подмножество M ⊆ G называется вполне (алгебраически) разрешимым, если пересечение N∞ полностью принадлежит либо M,либо его дополнению.На языке алгоритмов множество ростков («свойство») M ⊆ G разрешимо (т.
е. алгебраически разрешимо вплоть до бесконечной коразмерности),если существует алгоритм, который позволяет для любого данного росткаg ∈ G проверить, принадлежит он M или нет. Этот алгоритм должен бытьалгебраическим, что означает, что условия проверки должны быть выраженыполиномиальными уравнениями и неравенствами на коэффициенты Тейлора.На каждом шаге либо принимается решение — g ∈ M или g ∈/ M, — либо вычисления должны быть продолжены с вовлечением коэффициентов Тейлораболее высокого порядка.
Этот алгоритм должен заканчиваться для почтивсех ростков, кроме, быть может, множества бесконечной коразмерности. Этомножество вполне разрешимо, если все ростки, для которых алгоритм никогдане остановится, одновременно принадлежат либо M либо его дополнению.Замечание 10.4. Это определение разрешимости допускает возможныевариации. Ясно, что конструкции остаются теми же самыми для других типовростков (векторных полей, функций, отображений в себя и т. д.) и различныхтипов свойств.В частности, вместо только двух множеств, M и его дополнения G \M,можно рассматривать разбиение всего пространства ростков на конечноечисло попарно дизъюнктных множеств (типов) M1 , .
. . , M , m ¾ 2. Проблемаразрешимости в этом контексте заключается в определении типа данногоростка g ∈ G . «Схема классификации» по типам M1 , . . . , M алгебраически§ 10.2. Топологическая классификация вырожденных элементарных особенностей191разрешима, если для каждого t = 1, . . . , m и каждого k = 1, 2, . . . можно построить попарно дизъюнктные полуалгебраические подмножества S ∈ J (G )«достаточных струй», т. е. S = ( j )−1 (S ) S⊆ M , которые исчерпывают J в том смысле, что дополнения N = J (G )\ S нейтральных струй имеюткоразмерность, стремящуюся к бесконечностивместе с k.
РазрешимостьTявляется полной, если пересечение N∞ = ¾0 ( j )−1 (N ) принадлежит толькоодному из множеств M1 , . . . , M (типов классификации).Задачи классификации редко разрешимы во всём множестве ростков G .Однако некоторые части соответствующих подмножеств (и иногда большиечасти) могут быть разрешимы.Пусть B ⊂ G — подмножество пространства ростков, определяемое полуалгебраическими условиями на некоторые струи конечного порядка. Этоозначает, что для некоторого конечного l существует полуалгебраическоеподмножество B ⊂ J (G ), такое что J (B) = B .Определение 10.5. Подмножество M разрешимо в классе B, если соответствующие множества достаточных струй S± являются полуалгебраическими в пересечении с множествами B = { j g : j g ∈ B } для всех k ¾ l.При обсуждении проблем классификации или альтернатив исследованиеотносительной разрешимости означает, что в первую очередь задача ограничивается на подкласс ростков, уже определённых некоторыми полуалгебраическими условиями на их l-струи.
В этом случае относительная разрешимость(полная или нет) означает, что свойство определяется алгебраическимиусловиями, наложенными на струи высших порядков. Иногда мы говоримо разрешимости альтернативы для специального класса. Например, альтернатива центр–фокус в целом не разрешима, но является разрешимой (дажев конечном счёте) для ростков с невырожденной линейной частью, см. § 10.3.§ 10.2. Топологическая классификация вырожденныхэлементарных особенностей на плоскостиИзолированная вырожденная элементарная особая точка вещественноаналитического векторного поля на вещественной плоскости (R2 , 0) можетпринадлежать одному из трёх топологических типов: седлоузел, топологический узел или топологическое седло, представленным тремя различнымимоделями, как описано в § 9.1.
Мы покажем, что задача о различении этих типов алгебраически разрешима вплоть до бесконечной коразмерности и дажевполне разрешима. Эта проблема классификации представляет собой возможно самый простой нетривиальный пример алгебраической разрешимости.Рассмотрим подпространство Belem = B ростков голоморфных 1-форм,имеющих одно нулевое и одно ненулевое собственное значение линеаризации: на уровне 1-струй это подпространство определяется полуалгебраическими условиями det A = 0, tr A 6= 0 на матрицу линеаризации A соответствующего векторного поля.
Без потери общности мы можем допустить, что A192Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачуже приведена к диагональному виду, так чтоB = {ω: j 1 ω = y dx} ⊂ Λ1 (R2 , 0) = G .Три подмножества B, отвечающие различным топологическим типам, будем обозначать M (сёдла), M (узлы), M (седлоузлы). Однако ради полнотынеобходимо ввести четвёртый класс M ⊆ B ростков, имеющих неизолированную особенность (такие ростки становятся неособыми после деления нанеобратимую функцию y + . .
. По теореме 9.1,B = M t M t M t M .(10.1)Теорема 10.6. Задача топологической классификации вырожденных элементарных особых точек аналитических векторных полей на вещественнойплоскости вполне алгебраически разрешима.Формально утверждение теоремы означает, что разбиение (10.1) вполнеразрешимо. Доказательство занимает оставшуюся часть настоящего параграфа.Доказательство устроено следующим образом: для каждого порядка k мыявно строим разбиение пространства струй порядка k на струи, достаточныедля сёдел, узлов и седлоузлов, и нейтральные струи и показываем, что эторазбиение полуалгебраическое.
Потом проверяем условия на коразмерность.Наконец, показываем, что ростки, струи которых нейтральны, составляюткласс M разбиения.Обозначим через N ⊆ J = J (Λ1 ) множество k-струй 1-форм y dx +. . .∈B,которые орбитально линеаризуются (эквивалентны линейным струям y dx):в подходящих координатах любой росток ω с j ω ∈ N принимает видω = f (x, y)( y dx + ω0 ),ord0 ω0 ¾ k + 1,f (0, 0) 6= 0.(10.2)Обозначим через S = J (B)\N дополнение к N .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
