Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для определения типа необходимознать струю порядка µ, как будет независимо показано в § 10.2. Это условие проверкиполиномиально.Наконец, ответ на вопрос, допускает ли данная неэлементарная особенностьдикритическое раздутие или нет, зависит от членов младших порядков (и очевидно,выражается алгебраическим условием, использующим эти члены). Поскольку порядокособенности не может превышать её кратности (как следует из [95, Lemma 1, § 5.5],на которую мы уже ссылались в доказательстве теоремы 9.23), мы приходим к промежуточному заключению: существование характеристической орбиты может бытьвыражено полуалегбраическим условием на струи порядка ¶ µ + 1 во всех особенностях,которые появляются в процессе полного разрешения особенностей.Изучение этого процесса показывает, что кратности, а потому и порядки всехпромежуточных особенностей, которые появляются в процессе, не превосходят µ + 1.Таким образом, вся информация, достаточная для того, чтобы однозначно определитьпроцесс полного разрешения особенностей и топологические типы элементарныхособенностей, которые появляются после окончания этой процедуры, содержитсяв струе достаточно высокого порядка исходного ростка.
Порядок n = n(µ) этой струидолжен быть настолько высоким, чтобы однозначно определить (µ + 1)-струи во всехпромежуточных особенностях на каждом из не более чем 2µ + 1 шагах раздутия,ср. с теоремой 8.17.Рассмотрим изолированную особенность порядка ν (и следовательно, кратности ¾ ν) и её раздутие. Соответствующее преобразование пфаффова уравнениясодержит замену переменных (x, y) на (x, z), z = y/x, и деление на соответствующуюстепень x, более точно — на xν−1 в недикритическом случае и на xν в дикритическом случае соответственно. Из этой конструкции следует, что струи порядкаk + ν (соответственно, k + ν + 1) в начальной точке однозначно определяют струюпорядка k в любой особенности, которая появляется на исключительном дивизорепосле раздутия.
Очевидно, что формулы, описывающие преобразования на уровнеструй, все являются (вещественными) алгебраическими.§ 9.10. Топологически достаточные струи185Повторяя эти аргументы, можно получить верхнюю оценку на порядок n(µ) начальной струи, которая кодирует все (µ + 1)-струи на всех 2µ + 1 шагах процессаразрешения особенностей. Другими словами, схемы разрешения особенностей длявсех представителей n-струй векторных полей кратности µ одинаковы, а также одинаковыми являются для них струи порядка µ + 1 во всех элементарных особых точкахкратности ¶ µ+1, которые появляются после полного разрешения особенностей.Используя эту информацию и алгебраический алгоритм определения топологических типов элементарных особенностей, который мы обсудим более детальнов главе 10, можно применить теорему 9.13 для того, чтобы получить явные полуалгебраические условия, необходимые и достаточные для существования характеристическойорбиты.§ 9.10.
Топологически достаточные струиТеоремы 9.14 и 9.15 вместе означают, что топологический тип вещественно-аналитического слоения с особенностями F вблизи особой точкис характеристической орбитой однозначно определяется процессом полногоразрешения особенностей. Напомним, что последний является отображениемπ: (M, D) → (R2 , 0) некоторой двумерной поверхности с исключительнымдивизором D с нормальными пересечениями на малую окрестность началакоординат на плоскости.
Вещественно-аналитическое слоение с особенностями F 0 = π∗ F имеет только элементарные особые точки, причём все онилежат на D. Кроме того, мы также предположим в этом параграфе, чтодикритические компоненты исключительного дивизора D не имеют внутренних точек касания (в частности, на них нет особенностей). Этого можнодостигнуть с помощью дополнительного раздутия касаний, см. теорему 8.39.В этом параграфе мы покажем, как это требование может быть переведенона язык достаточных струй.Определение 9.26. Будем называть m-струю векторного поля на плоскости топологически достаточной, если любые два вещественно-аналитических векторных поля, продолжающие эту струю, топологически эквивалентныдруг другу.Теорема 9.27 (О.
Клебан [39]). (2µ + 2)-Струя изолированной особенности векторного поля на плоскости кратности µ топологически достаточна.Набросок доказательства. Аргументы, аналогичные использованным в доказательстве теоремы 9.25, показывают, что отображение π: (M, D) → (R2 , 0), осуществляющее полное разрешение особенностей (в описанном выше сильном смысле),полностью определяется струёй некоторого конечного (зависящего от µ) порядканачального векторного поля.
Струя более высокого порядка однозначно определяеттопологические типы элементарных и угловых особенностей полного разрешенияособенностей начального слоения, так что особенности на любом слоении G с той жеструёй разрешаются тем же отображением σ = π−1 и прообраз G 0 = π∗ G имеет топологически эквивалентные особенности во всех соответствующих точках. Более того,гомеоморфизмы, сопрягающие соответствующие особенности, могут быть выбранытождественными на исчезающем дивизоре.Остаётся заметить, что (а) все слоения F 0, G 0 на M с топологически эквивалентными элементарными особенностями в одних и тех же точках топологически186Глава 9.
Векторные поля на плоскостиэквивалентны глобально на M и (б) топологически эквивалентные особенности имеютодинаковые секториальные разбиения. Подробное доказательство этих результатовможет быть найдено в [17, 39]. Ссылка на теорему 9.15 заканчивает доказательство.§ 9.11. ВыводРезультаты, установленные в этой главе, доказывают, что для любогоконечного числа µ аффинное пространство J = J (D(R2 , 0)) n-струй векторных полей на плоскости для n ¾ 2µ + 2 допускает представление в видедизъюнктного объединения трёх полуалгебраических подмножеств:J = C () t M () t Z () ,C () =[α=1Cα() .()Здесь C — подмножество n-струй, достаточных для существования характеристической орбиты; различные компоненты Cα() отвечают топологическиразличным росткам векторных полей, M () состоит из n-струй, достаточныхдля того, чтобы все их представители были монодромны, а Z () — совокупность струй, чьи представители имеют кратность ¾ µ + 1 или соответствуютнеизолированным особенностям.
Коразмерность «недостаточного» множестваZ () , где топологический тип ещё не может быть определён, стремится к бесконечности вместе с n. Полиномиальные уравнения и неравенства, определяющие описанные выше компоненты, зависят только от (2µ + 2)-струй и поэтомустабилизируются, когда n стремится к бесконечности при фиксированном µ.Упражнения и задачиЗадача 9.1. Докажите, что все невырожденные линейные вещественныевекторные поля топологически эквивалентны (в начале координат) либоседлу, либо узлу, либо центру.Упражнение 9.2. Найдите минимальное (состоящее из минимальногоколичества секторов) секториальное разбиение для всех стандартных нормальных форм из табл.
9.1.Задача 9.3. Докажите, что изолированная монодромная особенность,которая имеет открытую окрестность, свободную от замкнутых слоёв, гомеоморфна узлу, т. е. является фокусом.Упражнение 9.4. Постройте цикл C ∞ -гладкого векторного поля на плоскости, не являющийся ни предельным, ни тождественным.Упражнение 9.5. Предположим, что после одного раздутия σ слоения Fслоение σ∗ F вещественной ленты Мёбиуса содержит одну узловую элементарную особенность. Опишите топологический тип F в терминах секториального разбиения.Задача 9.6. Опишите все топологически неэквивалентные фазовые портреты типичных векторных полей порядка 2 на плоскости.Упражнение 9.7. Приведите пример вырожденной монодромной особенности.Упражнения и задачи187Упражнение 9.8.
Покажите, что простая каспидальная особенность на вещественной плоскости имеет характеристическую орбиту.Упражнение 9.9. Покажите, что в секториальной схеме любой особенности буква «e» встречается всегда между двумя буквами «p».Упражнение 9.10. Найдите две секториальные схемы различной длины,которые отвечают топологически эквивалентным слоениям.Упражнение 9.11. Покажите, что секториальная схема вещественно-аналитического слоения не может содержать ровно три гиперболических сектора.Задача 9.12. При каких ограничениях секториальная схема (рассматриваемая как слово в трёхбуквенном алфавите) соответствует C∞ -гладкомуслоению на (R2 , 0)?Задача 9.13. Дайте подробное доказательство теорем 9.14 и 9.15.Задача 9.14. Докажите основную альтернативу для изолированных особенностей C 2 -гладких векторных полей на плоскости явно (ср.
с [119]).Задача 9.15. Постройте явно C ∞ -гладкие векторные поля с фазовымипортретами, демонстрирующими патологии в примерах 9.16 и 9.18.Упражнение 9.16. Докажите, что слоение F вещественной плоскости(R2 , 0) на линии уровня, заданные комплексным уравнением Im z3/2 = const,z ∈ (C1 , 0) ' (R2 , 0), не могут быть комплексифицированы, т. е. не может существовать слоения C F на (C2 , 0), листы которого пересекают вещественнуюплоскость R2 ⊆ C2 по слоям слоения F.Следующий пример показывает, что аналог теоремы Тарского — Зайденберга не выполняется, если полуалгебраические множества заменитьна полуаналитические множества, подмножества аффинного пространства,определяемые локально около каждой точки этого пространства уравнениямии неравенствами, использующими вещественные аналитические функции.Задача 9.17.
Рассмотрим одномерное полуаналитическое подмножество R3(кривую), определяемую уравнениями {xz = −1, y( y − e ) = 0, z > 0}. Докажите, что её проекция на плоскость (x, y) параллельно оси z не являетсяполуаналитической.Глава 10Алгебраическая разрешимость локальныхзадач. Проблема различения центра и фокусаПредыдущий параграф даёт частичный положительный ответ на вопросыразрешимости 1 и 2 из § 9.5. Для каждого наперёд заданного конечногозначения кратности µ существование характеристической траектории и топологическая классификация слоений, содержащих эту траекторию, алгебраически разрешимы в струях некоторого конечного (зависящего от µ) порядка.При стремлении кратности µ к бесконечности количество различных топологических типов тоже стремится к бесконечности, и поэтому невозможноизбавиться от параметра µ в формулировках, по крайней мере для вопроса 2.С одной стороны, роль кратности в обсуждении разрешимости альтернативы центр–фокус (вопрос 3 из того же параграфа) кажется незначительной.Уже проблема центр–фокус для векторных полей, линейная часть которыхесть вращение, является нетривиальной, как мы это увидим ниже.
Крометого, простейшие примеры показывают, что для любого n множество центровнеразрешимо на уровне n-струй. Действительно, добавляя члены произвольновысокого порядка можно разрушить центр, превратив его в устойчивый илинеустойчивый фокус (упражнение 10.1).Таким образом, мы приходим к проблеме определения разрешимых(полуалгебраических) подмножеств в бесконечномерном пространстве струйJ ∞ (D(R2 , 0)) ' D[[R2 , 0]].Общее понятие алгебраической разрешимости было введено В. Арнольдомв [90, 93], см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
