Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если точка a — гиперболическая особая точка слоения F и при этом не является резонансным узлом, а L — сепаратрисаслоения F, проходящая через a, то порядок касания между L и любой другойгладкой кривой γ на единицу больше, чем порядок касания между F и γ:γ .0 L = τ(F, γ) + 1.Доказательство. Можно считать, что локальные координаты выбранытак, что сепаратриса L является координатной осью: L = { y = 0}. Тогдаω = λ y(1 + m) dx + (x + m2 ) dy, где λ — отрицательное отношение собственныхчисел.Кривая γ, касающаяся координатной оси { y = 0} с порядком касанияk ¾ 0, задаётся уравнением y − b(x) = 0, ord0 b = k + 1. Прямым вычислениемпо формуле (8.38) получаемτ0 (F, γ) = ord=0 λb(x)(1 + m) − b0 (x)(x + m2 ) = k + 1,если λ 6= k + 1, т.
е. если особая точка не является резонансным узломс отношением собственных чисел −1 : (k + 1).Задействуя понятие порядка касания, тождества (8.31) и (8.32) можнообъединить в одно, выполненное как при n > 1, так и при n = 1. Предположим,что начало координат является дикритической особой точкой голоморфногоe а чеслоения F. Через Σ обозначим множество особенностей раздутия F,рез T обозначим множество точек касания слоения Fe с исключительнымдивизором.Предложение 8.38. Если особенность является дикритической любогопорядка n ¾ 1, то XXµ (Fe) +τ (Fe, S) = µ0 (F ) − n2 .(8.39)∈Σ∈Упражнения и задачи167Доказательство.
Когда n > 1, равенство (8.39) следует из (8.31) и того,e заданным пфаффовым уравнениемчто порядок касания между слоением F,−x [(. . .) dx + g(x, xz) dz] = 0, и кривой E = {x = 0} в любой точке равен порядку корня функции x − g(x, xz) = g (1, z) + . . . , ограниченной на E. Суммарнаякратность всех корней функции g (1, z) равна n, что доказывает (8.39) дляn > 1. Для n = 1 эта формула верна из следующих соображений: после раздутияне остаётся ни особых точек, ни точек касания, в то время как изначальнаякратность µ0 (F ) равнялась 1.Поведение точек касания после раздутия легко проконтролировать: согласно (8.26), кратность пересечения между двумя гладкими аналитическимикривыми уменьшается на 1 после каждого раздутия.
Используя этот факт, припомощи элементарных рассуждений по индукции можно доказать следующееусиление теоремы о разрешении особенностей 8.14.Теорема 8.39 (см. [39]). В условиях теоремы 8.14 о разрешении особенностей всегда можно добиться того, чтобы дикритические компонентыисчезающего дивизора D = π−1 (0) не содержали точек касания со слоениемπ∗ F (в частности, не содержали особенностей этого слоения).Количество простых раздутий, необходимых для разрешения особой точкикратности µ в такой более сильной формулировке, не превышает µ + 2.Упражнения и задачиУпражнение 8.1. Посчитайте раздутие:1) гладкой аналитической кривой, проходящей через 0,2) нескольких прямых, проходящих через 0 и пересекающих друг друга подненулевыми углами,3) каспа y 2 − x 3 = 0.Упражнение 8.2.
Что происходит при раздутии неособой точки векторного поля?Упражнение 8.3. Что происходит при раздутии однородного векторногополя?Задача 8.4. Приведите явное алгебраическое доказательство предложения 8.27, основанное на построении базиса локальной алгебры Q, ℎ избазисов локальных алгебр Q, ℎ и Q, ℎ .Упражнение 8.5. Посчитайте отношения собственных чисел для всехтрёх невырожденных особых точек, полученных полным разрешением простой каспидальной точки, описанным в п. 8.10.1.Задача 8.6.
Докажите, что всякое голоморфное векторное поле F =(F1 , F2 )с изолированной особенностью в начале координат 0 ∈ C2 удовлетворяетусловию Лоясевича: существуют конечные положительные константы C и M,такие что |F(x)| > C|x| для всех x ∈ (C2 , 0)\{0}.Задача 8.7. Докажите, что последовательное разрешение рациональногоузла — особенности с отношением собственных чисел λ = p/q ∈ Q, где p, q 6= 1168Глава 8. Разрешение особенностей на плоскостии λ > 0, — на некотором шаге обязательно содержит дикритическое раздутие.
Какое количество стандартных простых раздутий необходимо, чтобыполучить особую точку, следующее раздутие которой дикритическое?Задача 8.8. Предположим, что полное разрешение изолированной особенности кратности µ не включает в себя ни каспов, ни дикритических раздутий.Найдите улучшенную по сравнению с теоремой 8.17 верхнюю оценку на количество простых раздутий, необходимых для разрешения такой особенности.Задача 8.9. Предположим, что хорошее раздутие изолированной особой точки аналитического векторного поля на плоскости является полностью недикритическим и содержит не более одной неугловой особой точки(см. определение 8.16). Докажите, что все характеристические числа (отношения собственных чисел) особых точек этого раздутия рациональные.Задача 8.10. Вычислите все отображения голономии интегрируемогослоения {du = 0}, u ∈ O (C2 , 0), где ростокQ uраскладывается на неприводимыемножители следующим образом: u =u .ЧАСТЬ IIОсобые точки аналитическихвекторных полей на плоскости• Векторные поля на плоскости с характеристическимитраекториями• Алгебраическая разрешимость локальных задач.Проблема различения центра и фокуса• Голономия и первые интегралы• Нули аналитических функций, зависящих от параметров,и малые предельные циклы• Квадратичные векторные поля и теорема Баутина• Комплексные сепаратрисы голоморфных слоенийВ этой части исследуются особые точки аналитических (в основном вещественно-аналитических) векторных полей на плоскости.При этом используются методы, описанные в первой части.Глава 9Векторные поля на плоскостис характеристическими траекториямиНапомним (см.
§ 2.4), что вещественно-аналитическое поле F на плоскости или, в более общем случае, на вещественно-аналитическом 2-мерном многообразии U (поверхности) задаёт вещественно-аналитическое слоение Fна кривые в дополнении к множеству особых точек Σ = {F = 0}. Заметим,что листы слоений, задаваемых векторными полями, имеют естественнуюориентацию, определяемую полем F. Это мотивирует такое определение: F —вещественно-аналитическое слоение с особенностями, если в окрестностилюбой точки оно локально может быть задано вещественно-аналитическимвекторным полем с комплексными аналитическими особенностями, какописано в § 2.4. Если вещественно-аналитическое слоение задано векторнымполем, слоение иногда называют фазовым портретом поля.Топологическое («качественное») описание особых точек векторных полей на плоскости было получено в середине XX века.
Изложению полученныхрезультатов посвящено несколько монографий. В этой и следующих главахмы опишем эти результаты, уделяя особое внимание эффективности и «алгебраичности» алгоритмов, позволяющих определить топологический типособых точек.Вещественная геометрическая теория на интуитивном уровне прозрачна,однако для её строгого обоснования требуется развитие соответствующейтехники, что увело бы нас далеко в сторону от основного сюжета.
Поэтому во многих случаях нам пришлось сократить аккуратные элементарныетопологические обоснования до схем доказательств. Интересующемуся читателю мы рекомендуем обратиться к энциклопедическим трудам [89, 30]и классической, переизданной недавно книге [119] и превратить эти схемыв аккуратные доказательства. Обзор [96] (особенно глава 3) может бытьполезным при отыскании точных ссылок.§ 9.1. Первые шаги: классификация ПуанкареДва векторных поля F и F 0, определённые на поверхностях U и U 0 соответственно, называются (орбитально) топологически эквивалентными, еслисуществует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм H : U → U 0 , переводящий Σ в Σ0 и листы F в листы F 0 с соответствующей ориентацией.
Дваростка векторных полей называются топологически эквивалентными, еслиу них есть топологически эквивалентные представители.172Глава 9. Векторные поля на плоскостиТаблица 9.1Топологические типы элементарных особенностей вещественно-аналитичныхвекторных полей на плоскости: λ1,2 — собственные значения линеаризации.Узлы и седлоузлы, отвечающие различным знакам, не эквивалентныТипСобственные значенияНормальная формаСедлоλ1 λ2 < 0Узлыλ1 λ2 > 0, Re λ1,2 6= 0x −y∂x∂y ∂∂± x +yЦентрλ1,2 = ±iωСедлоузлыλ1 = 0 6= λ2∂∂∂x∂y∂∂−y+x∂x∂y∂∂x2 ± y∂x∂yОдной из основных проблем локальной теории аналитических дифференциальных уравнений на плоскости является топологическая классификацияростков изолированных особенностей векторных полей на плоскости. Первыешаги в построении этой классификации были предприняты А.
Пуанкаре,который дал топологическую классификацию невырожденных линейныхвекторных полей на плоскости (вырожденная особенность не может бытьлинейной и изолированной одновременно). Пуанкаре составил список топологических типов, представленных в табл. 9.1, и доказал, что любое линейноевекторное поле на плоскости топологически эквивалентно одному из первыхтрёх типов, представленных в табл. 9.1 и изображённых на рис. 9.1.Для нелинейных невырожденных аналитических особенностей новых топологических типов не возникает: за исключением одного случая (центр),любой аналитический (и даже просто гладкий) росток векторного полятопологически эквивалентен своей линейной части. Это следует из теоремы Гробмана — Хартмана о топологической линеаризации гиперболическихособенностей [109, 30].
Векторное поле, линеаризацией которого являетсяцентр, может быть как центром, так и фокусом (см. определение 9.10): мыисследуем этот вопрос в § 10.3 ниже.Вырожденные элементарные особенности добавляют только один новыйтопологический тип — седлоузел (см. табл. 9.1). Суммируя приведённые вышерезультаты, получаем следующую теорему.Рис. 9.1. Типы фазовых портретов согласно Пуанкаре: седло, узел, центр и седлоузел§ 9.2. Секториальное разбиение окрестностей неэлементарных особых точек173Теорема 9.1 (см. [89]). Любая элементарная особенность вещественноаналитического векторного поля на плоскости топологически эквивалентнаодному из шести типов, приведённых в табл.
9.1.С помощью условий, описанных во втором столбце таблицы, линейнаячасть однозначно определяет топологический тип всех невырожденных особенностей за исключением случая чисто мнимых собственных значений, который может соответствовать центру или фокусу (топологический узел).Вырожденная элементарная особенность может быть топологическиэквивалентна седлоузлу, если кратность чётна, а также седлу или узлу, есликратность нечётна.§ 9.2. Секториальное разбиение окрестностейнеэлементарных особых точекКаждая изолированная особая точка может быть рассыпана на элементарные по теореме 8.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
