Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. перейти в другую карту.Этой проблемы легко избежать после комплексификации: если особенность является обобщённой эллиптической, голономия может быть вычислена в карте (x, z) как результат аналитического продолжения вдоль петли[−R, R] ∪ {|z| = R, Im z > 0}, R > 1; эта петля гомотопна вещественномуэкватору на сфере.196Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачОператор голономии ∆R виден на вещественной плоскости (R2 , 0) до раздутия: трансверсаль τ схлопывается в ось x на плоскости (x, y). По построению, (∆R (x), 0) — это первая точка пересечения с осью x решения, начинающегося в точке (x, 0), после продолжения против часовой стрелки. Отображение монодромии (как оно было определено в § 9.3) является квадратом∆R ◦ ∆R отображения голономии.Определение 10.11.
Отображение голономии ∆R (так же как и его комплексификацию) будем называть полумонодромией обобщённой эллиптической особой точки.Это описание полумонодромии через голономию немедленно позволяетдоказать её аналитичность и аналитичность классической монодромии, сославшись на стандартные результаты из § 2.3.Теорема 10.12. Полумонодромия обобщённой эллиптической особой точки является вещественно-аналитической на (R, 0) и, в частности, в началекоординат. Если пфаффова форма векторного поля аналитически зависитот дополнительных параметров, соответствующая полумонодромия аналитически зависит от этих параметров, пока особенность остаётся обобщённой эллиптической.Как следствие, повторяя дословно аргументы, доказывающие теорему 9.12,мы немедленно получаем альтернативу центр–фокус для обобщённых эллиптических точек.Следствие 10.13.
Если бесконечно много периодических орбит накапливается к обобщённой эллиптической особенности, то эта особенность является центром, т. е. её неособые траектории периодичны.§ 10.4. Вычисление отображения голономииСледствие 10.13 означает, что выбор между центром и фокусом действительно является альтернативой для обобщённых эллиптических точек(третьей возможности нет).
Эта альтернатива эквивалентна следующей:является отображение ∆R периодическим с периодом 2 или нет. Она вполнеалгебраически разрешима в терминах тейлоровских коэффициентов отображения ∆R , см. задачу 10.4. Таким образом, разрешимость альтернативыцентр–фокус сведена к алгебраической вычислимости коэффициентов Тейлора для ∆R через коэффициенты Тейлора для формы ω.Мы явно вычислим коэффициенты отображения полумонодромии. Это вычисление достаточно стандартно (см. [97]), однако в большинстве источниковоно проводится в полярных координатах, соответствующих тригонометрическому раздутию, которые маскируют его алгебраическую природу.Пфаффово уравнение ω = 0 для формы ω, которое после раздутия принимает вид (10.5), может быть переписано с использованием сходящегосяразложенияdx = xθ1 + x 2 θ2 + x 3 θ3 + .
. .(10.6)§ 10.4. Вычисление отображения голономии197Здесь θ — рациональные (мероморфные 1 ) 1-формы на исключительном дивизоре,θ = R (z) dz ∈ Λ1 (E) ⊗ M (E), i = 1, 2, . . . ,голоморфные (неособые) вне множества полюсовΣ = {z ∈ C: h+1 (1, z) = 0} ⊂ E.Разложение (10.6) можетPбыть получено путём деления обеих частей (10.5)на голоморфную функцию ¾0 x h+1+ (1, z), не обращающуюся в нуль накривой {x = 0}\Σ.
В частности,θ1 = −q (1, z) dz.h+1 (1, z)(10.7)Уравнение (10.6) может быть переписано в другой карте ( y, w) комплексной ленты Мёбиуса. После замены переменных z = 1/w, x = yw мы получиманалог пфаффовой системыdy = yϑ1 + y 2 ϑ2 + . . .с мероморфными коэффициентами ϑ ∈ Λ1 (E) ⊗ M (E), связанными с коэффициентами θ системы (10.6) формуламиϑ1 = θ1 −dw,wϑ = w −1 θ ,k ¾ 2.(10.8)Нетривиальная формула для перехода от θ1 к ϑ1 есть следствие тогофакта, что комплексная лента Мёбиуса M, на которой определено раздутие,не является декартовым произведением E × C. Линеаризующая форма θ1должна рассматриваться скорее как мероморфная связность на нетривиальном нормальном линейном расслоении над E (ср. с замечанием 14.8 и особеннос § 17.7).Замечание 10.14.
Обратно, слоение F 0 комплексной ленты Мёбиуса, заданное голоморфным (сходящимся) пфаффовым уравнением (10.6) и симметричное относительно комплексного сопряжения (z, x) 7→ (z, x ), всегдасхлопывается до аналитического слоения с особенностями F на (R2 , 0),определяемого вещественно-аналитической формой ω, при условии что точкаz = ∞ неособая или в худшем случае — полюс конечного порядка для всехформ ϑ . Последнее условие означает, что sup ord=0 ϑ < +∞.В частности, предположим, что Σ ⊂ C — конечное множество (симметричное относительно инволюции z 7→ z в силу вещественности исходного поля),не пересекающееся с действительной осью, Σ ∩ R = ∅ и θ — рациональныеформы, особенности которых принадлежат Σ.
Тогда уравнение (10.6) задаёт1Тензорное умножение ⊗M на элементы алгебры мероморфных функций преобразует пространство голономных объектов в их мероморфные аналоги: например, D(C , 0) ⊗ M (C , 0) —это пространство ростков мероморфных векторных полей в начале координат комплексногоk-мерного пространства, тогда как Λ (T ) ⊗ M (T ) будет обозначать пространство мероморфных k-форм на многообразии T, и т.
д.198Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачобобщённую эллиптическую особенность, если точка w = 0 является неособойдля всех форм ϑ , т. е. когда формыθ1 +dz, z −1 θ2 , . . . , z− θ , . . .zголоморфны в точке z = ∞(10.9)как 1-формы на E (напомним, что эта голоморфность для θ = R(z) dz означает,что R(z) = O(z−2 )). В этом случае из условий (10.9) следует, чтоXres θ1 = −1(10.10)Σгде суммирование производится по всем полюсам формы θ1 .Рациональные 1-формы θ ∈ Λ1 (E) ⊗ M (E) зависят от однородных компонент 1-формы ω ∈ Λ1 (C2 , 0) довольно просто.Лемма 10.15. Предположим, что раздутие вещественно-аналитическойформы ω = ω + ω+1 + . . .
является недикритическим. Тогда:1) коэффициенты рациональных форм θ зависят рационально от коэффициентов начальной формы ω;2) формы θ не зависят от коэффициентов однородных компонент порядковn + k и выше;3) если главная однородная часть ω фиксирована, первая форма θ1 однозначно определяется, а все остальные формы θ , k ¾ 2, полиномиальнозависят от оставшихся коэффициентов членов высших порядков ω+1 ,ω+2 , . .
. формы ω.Доказательство. Все утверждения немедленно следуют из (10.5) и вычисления обратной величиныh (z)11=1 − x · +2+ ...h+1 (z) + xh+2 (z) + . . .h+1 (z)h+1 (z)на каждом компактном множестве K × (C, 0), K â C\Σ.Замечание 10.16. Было бы неправильным предположить обратное: чтоглавная однородная часть ω определяется только линеаризующей формой θ1 .Например, форма θ1 может быть неособой в некоторых точках Σ (когда pи q имеют общий делитель), тогда как некоторые из старших форм θ , k ¾ 2,могут иметь полюсы в остальных точках множества Σ.Для вычисления коэффициентов отображения полумонодромии на трансверсали z = 0 с картой u ∈ (C1 , 0) мы путём интегрирования найдём решениеуравнения (10.6) в форме x = X P(z, u), с начальным условием X (0, u) = u.Разлагая решение в ряд X (z, u) = ¾1 u X (z) и подставляя это разложениев (10.6), мы получим треугольную (бесконечную) систему обыкновенныхдифференциальных уравнений в пфаффовой форме с начальными условиямиdX1 = X1 θ1 ,dX2 = X2 θ1 +X1 (0) = 1,X12 θ2 ,dX3 = X3 θ1 + 2X1 X2 θ2 +...X2 (0) = 0,X13 θ3 ,X3 (0) = 0,...(10.11)§ 10.5.
Почти алгебраическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса199Эта система может быть решена рекурсивно в квадратурах, посколькуна каждом шаге получаем линейное неоднородное уравнение на X с однойи той же линейной частью и переменной, но известной нелинейностью.Коэффициенты отображения полумонодромии получаются как результатаналитического продолжения решений системы (10.11) вдоль петли RP 1 (т. е.вдоль вещественной прямой, проходящей через бесконечность):X∆R (x) =a x ,a = (∆R1 X )(0) ∈ R, k = 1, 2, . .
. ,(10.12)¾1где через ∆R1 обозначен оператор аналитического продолжения функцииX (·) вдоль RP 1 (не путать с отображением ∆R ). Очевидно, что каждый коэффициент a зависит только от форм θ1 , . . . , θ и не зависит от оставшихсяформ θ+1 , θ+2 , . . .Замечание 10.17. Алгоритм вычисления отображений полумонодромии и монодромии для обобщённых эллиптических точек предоставляет также инструмент дляопределения (полу)голономии для формальных векторных полей или для формальныхпфаффовых форм.
Действительно, рассмотрим формальную пфаффову форму ω вида(10.3), но без предположения сходимости ряда. Условие (10.4) имеет смысл, посколькуоно содержит только младшие однородные члены ω формы ω.«Формальное раздутие» этой формы корректно определено и даёт пфаффовоуравнение (10.6) с рациональными по z формами θ , но ряды по степеням x в правойчасти будут лишь формальными.Остаётся теперь заметить, что бесконечная треугольная система пфаффовыхуравнений (10.11) остаётся абсолютно той же самой (никаких изменений не требуется)и решение любого конечного числа уравнений этой системы однозначно определяетбесконечный формальный ряд (10.12) для голономии ∆R . Поэтому отображение ∆R ∈∈ Diff[[R, 0]] последовательно определяется для трансверсали τ = {z = 0} специальноговида. Выбор любой другой трансверсали {z = ϕ(x)}, даже формальной, такой что ϕ ∈∈ C[[x]], может изменить ∆R путём формального сопряжения: аргументы останутсяпрежними.Заметим, наконец, что если однородные формы ω , ω+1 , .
. . аналитически зависятот дополнительных параметров λ1 , . . . , λ в смысле определения 4.17, то коэффициенты формальной голономии (полумонодромии) аналитически зависят от λ , пока формаостаётся обобщённой эллиптической, т. е. пока корни однородных полиномов h+1в уравнении (10.4) находятся вне вещественной оси.§ 10.5. Почти алгебраическая разрешимостьпроблемы различения центра и фокусав обобщённом эллиптическом случаеОписанная структура отображения ∆R позволяет доказать почти алгебраическую разрешимость проблемы различения центра и фокуса дляобобщённых эллиптических особенностей с фиксированной главной частью.Обозначим черезB(ω ) = ( j )−1 (ω ) = {ω = ω + ω+1 + .
. .} ⊆ Λ1 (R2 , 0)пространство всех голоморфных форм с фиксированной главной однороднойчастью ω .200Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задачТеорема 10.18 (см. [110]). Для обобщённых эллиптических слоений с главной частью ω проблема различения центра и фокуса вполне разрешимав классе B(ω ).Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
