Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Во избежание технических проблем мы всегда будемпредполагать, что вместе с каждой парой ( f , U), входящей в псевдогруппу Γ,в неё входят и все её ограничения ( f | , V ), V ⊆ U.Для псевдогруппы Γ понятие орбиты точки можно ввести без каких-либозатруднений. «Периодическую» орбиту любого элемента из Γ естественноназвать циклом.§ 6.5. Периодические орбиты и периодические ростки119Определение 6.31. Орбита точки x ∈ U под действием псевдогруппы Γ —это множество Γ (x) точек fα (x) для всех ( fα , Uα ) ∈ Γ, таких что x ∈ Uα .Определение 6.32. Точка x 6= 0 называется циклом, если она переходитв себя под действием некоторого нетривиального элемента ( fα , Uα ) псевдогруппы, т.
е. x ∈ Uα и fα (x) = x (таким образом, для циклической группывсе точки являются циклами). Цикл x называется предельным (полностью:комплексным предельным циклом псевдогруппы Γ ), если x — изолированнаянеподвижная точка fα в Uα для некоторого ( fα , Uα ) ∈ Γ.Определение эквивалентности групп конформных ростков естественнымобразом переносится на случай эквивалентности псевдогрупп. Именно, двепсевдогруппы Γ, Γ 0 эквивалентны, если существует такой конформный биголоморфизм h : (U, 0) → (U 0 , 0), что Γ 0 состоит из всех пар (h ◦ fα ◦ h−1 , h(Uα )),таких что ( fα , Uα ) ∈ Γ (мы предполагаем выполненным техническое соглашение из замечания 6.30). Ясно, что эквивалентные псевдогруппы обладаютодинаковыми динамическими свойствами.§ 6.5.
Периодические орбиты и периодические росткиЧтобы показать полезность понятия псевдогруппы, мы установим простыединамические свойства периодических (и апериодических) ростков.g ∈ Diff(C, 0) (которая означает, что bg = id)Из периодичности ростка bвытекает, что для любого представителя g этого ростка все орбиты периодичны(т. е. любая достаточно близкая к нулю точка является циклом в порождённой gциклической псевдогруппе). Обратное утверждение менее очевидно.Пусть представитель g конформного ростка bg определён в открытой области V, содержащей 0. Для любого множества U ⊆ V рассмотрим ограничениеg| и «циклическую» псевдогруппу Γ , порождённую элементом (g, U).
Дляточки x ∈ U обозначим через Γ (x|U) её Γ -орбиту: по определению,Γ (x|U) = g (x): n ∈ Z и для всех k между 0 и n g (x) ∈ U .Орбита может быть конечной в обоих направлениях, т. е. состоять из точекg − (x), g −+1 (x), . . . , g −1 (x), x, g(x), . . . , g −1 (x), g (x)для некоторых n, m ¾ 0, либо быть бесконечной в одном или обоих направлениях. Мы будем рассматривать только максимальные орбиты, т. е.
предполагать, что g −−1 (x) (или g +1 (x)) уже не принадлежит U либо не определено,если n (соответственно m) конечно. Отметим, что бесконечная орбита можетсодержать лишь конечное число различных точек (в том и только том случае,если она периодична).Рассмотрим целочисленную функцию ν на U, равную в точке x длине максимальной орбиты этой точки:ν(x) = ν(x|U) = max m + n : g − (x), . .
. , x, . . . , g (x) ∈ U .(6.15)Если орбита точки x бесконечна, положим ν(x) = +∞. По построению, функция ν постоянна на орбитах g.120Глава 6. Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийНепрерывность g влечёт полунепрерывность снизу функции ν: если U открыто и ν(x)<+∞, то ν( y)¾ν(x) для всех y ∈ U, достаточно близких к x. И наоборот, если U — замкнутое подмножество V и ν(x) конечно, то ν( y) ¶ ν(x)для всех y ∈ U, достаточно близких к x.
В последнем случае если функция νразрывна в точке x, то орбита Γ (x|U) пересекается с границей ∂U. Все этисвойства немедленно следуют из определения (упражнение 6.2).Лемма 6.33. Если росток g ∈ Diff(C, 0) непериодичен, т. е. если циклическая группа G = {g Z } бесконечна, то в любой открытой области U 3 0имеется несчётное множество бесконечных непериодических орбит Γ (x|U).Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый круг Dρ ={|x|¶ρ}и его граничную окружность Kρ = ∂Dρ , ρ > 0.Шаг 1.
Построение несчётного множества бесконечных орбит. Покажем,что в Dρ имеется несчётное множество точек с бесконечной орбитой, целикомлежащей в Dρ . Для этого мы докажем, что на каждой окружности K , r ¶ ρ,имеется по крайней мере одна точка с бесконечной орбитой в D ⊆ Dρ . Так каккаждая орбита может пересекать лишь счётное число окружностей, в круге Dρбудет несчётное множество орбит.Предположим, что все точки на окружности K имеют конечные орбитыв D , т. е.
функция ν(·) = ν (·) принимает лишь конечные значения на K .Поскольку окружность K компактна, полунепрерывная снизу функция ν ограничена сверху на K , т. е. все орбиты, пересекающие граничную окружность,имеют длину не больше некоторого числа N ∈ N.С другой стороны, поскольку g(0) = 0, орбита нуля x = 0 бесконечна иν(0) = +∞. Более того, вблизи нуля имеем ν(x) > N + 1. Из-за полунепрерывности ν на связном диске D функция ν должна иметь точку разрыва y ∈ D \K ,ν( y) > N, где-то внутри D .
Однако это значит, что орбита Γ ( y|D ), котораядлиннее N, пересекает граничную окружность K . Но функция ν постояннавдоль орбит, а потому на границе найдётся точка, в которой значение νбольше N, что противоречит определению N как верхней грани ν на K .Шаг 2. Исключение периодических орбит.
Для завершения доказательствалеммы заметим, что множество X = {ν (x) = +∞} точек с бесконечнымиорбитами состоит из периодических точек и бесконечных апериодическихорбит. Для каждого конечного n n-периодические точки в D являютсякорнями уравнения g (x) − x = 0, поэтому по теореме единственности дляаналитического ростка g их конечное число. Объединение всех этих конечных множеств не более чем счётно, поэтому остальная часть множества X ,которая состоит из непериодических бесконечных орбит в D , несчётна.
Таким образом, имеется следующая альтернатива.Теорема 6.34. Если G ⊂ Diff(C, 0) — конечно порождённая группа, то либоона интегрируема, либо любая псевдогруппа, соответствующая G, имеетнесчётное множество бесконечных непериодических орбит.Доказательство. Если G содержит непериодический росток g, то по лемме 6.33 этот росток имеет несчётное множество бесконечных непериодических орбит.
Обратно, если все элементы G имеют конечный порядок, то121§ 6.6. Замыкание псевдогруппы и плотность орбитпо теореме 6.9 такая группа является конечной циклической, а потому линеаризуемой. Её интегрируемость следует из предложения 6.25.§ 6.6. Замыкание псевдогруппы и плотность орбитТеперь, когда мы вместо группы конформных ростков рассматриваемпсевдогруппу, можно дать определения сходимости, замыкания и т.
п.Определение 6.35. Последовательность элементов {( f , U )}∞=1 псевдогруппы Γ сходится к пределу (g∗ , U∗ ), если U∗ ⊆ U для всех j (начиная с некоторого j0 ) и ограничения f |∗ сходятся к g∗ равномерно на U∗ .Замыканием Γ псевдогруппы Γ называется множество всех пределовсходящихся последовательностей элементов Γ.Очевидно, замыкание само является псевдогруппой. Следующее утверждение получается стандартным рассмотрением приближений.Предложение 6.36.
Пусть Γ — псевдогруппа конформных отображений,а Γ — её замыкание. Если орбита Γ (x) некоторой точки x плотна в открытом множестве U, то орбита Γ (x) этой точки относительно исходнойпсевдогруппы также плотна в U.Это предложение особенно полезно, когда замыкание псевдогруппы содержит подпсевдогруппу с плотными орбитами. Мы покажем далее, чтоэто так, когда группа ростков G содержит пару гиперболических ростков,мультипликаторы которых порождают плотную решётку в C.По теореме Шрёдера — Кёнигса 5.18 гиперболический росток всегда линеаризуем: существует биголоморфзм h, сопрягающий g с линейным отображением x 7→ µx. Заменив псевдогруппу Γ на эквивалентную, мы можем с самогоначала считать, что Γ содержит линейное гиперболическое отображение.Рассмотрим снова гомоморфизмы T : G →C∗ и Te : Γ →C∗ , сопоставляющиекаждому ростку fα ∈ G (или элементу ( fα , Uα ) ∈ Γ ) его мультипликатор в нуле(он не зависит от выбора карты).
Обозначим образы этих отображений черезΛ и ΛΓ ; они являются мультипликативными подгруппами в C∗ .Теорема 6.37. Если псевдогруппа Γ = {( fα , Uα )} содержит линейное гиперболическое отображение (µ0 x, D ), |µ0 | =6 1, то её замыкание Γ содержиттакже все линейные отображения (µα x, D/2 max(1,|µα |) ) для всех µα =dfα (0)∈ΛΓ .dxДоказательство. Если |µ0 | < 1, положим µ = µ0 . Если же |µ0 | > 1, то псевдогруппа содержит отображение (x/µ0 , Dµ0 ), обратное к (µ0 x, D ), поэтомудля µ = 1/µ0 мы получим (µx, D ) ∈ Γ.
Итак, в любом случае Γ содержитсжимающее линейное отображение, определённое на D .Пусть (g, V ) ∈ Γ — произвольный элемент псевдогруппы. Рассмотримотображения g = µ◦(−) ◦ g ◦ µ◦ . Убедимся, что если n достаточно велико,то g определено в замкнутом круге D = D/2 max(1,|µα |) . Сначала выберем кругV 0 ⊂ V, такой что g(V 0 ) ⊂ 2|µα |V 0. Умножения на µ переводят круг D в |µ|D,поэтому все отображения µ◦ определены на D. Если n велико, то |µ| D ⊂ V 0,122Глава 6.
Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийпоэтому g ◦ µ◦ определено в D и g ◦ µ◦ (D) ⊂ D|µ|− . Но на D|µ|− определеноотображение µ◦(−) .Чтобы доказать, что g (x) равномернок g 0 (0)x, рассмотрим разP ∞ сходятсяложения g в ряд Тейлора. Если g(x) = =1 a x , a1 = λ, то k-й коэффициентв ряде Тейлора для g равен a µ(−1) , что стремится к нулю при n → +∞,если k ¾ 2. Следовательно, g (x) равномерно на круге D сходятся к λx.Далее мы будем часто требовать выполнения следующего условия в группеконформных ростков или в псевдогруппе отображений.Определение 6.38. Конечно порождённая группа G ⊂ Diff(C1 , 0) (соответственно псевдогруппа Γ ) удовлетворяет условию плотности, если мультипликативная подгруппа Λ (соответственно ΛΓ ), порождённая мультипликаторами всех ростков (соответственно отображений), плотна в мультипликативнойгруппе C∗ :Λ = C ⊃ C∗ ,соответственноΛ Γ = C ⊃ C∗ .(6.16)Пример 6.39 (замкнутые подгруппы в C∗ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
