Учебник - Аналитическая теория дифференциальных уравнений - Ильяшенко Ю.С. (1238784), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. отображение g является симметрией векторногополя F.Симметрии (обычные и орбитальные) негиперболического векторногополя допускают следующее простое описание. Не умаляя общности, будем рассматривать только векторные поля в полиномиальной нормальной форме (6.8).Предложение 6.16. Группа симметрий G, ⊂ Diff(C, 0) векторного поляF = F, имеет видG, = b · exp tF, : b ∈ C∗ , b = 1, t ∈ C ' Z × C.(6.9)Нетривиальные (с λ 6= 1) орбитальные симметрии могут существоватьтолько при a = 0 (т. е. когда поле однородно), и тогда группа орбитальныхсимметрий имеет вид полупрямого произведения:0G,0= b · exp tF,0 : b ∈ C∗ , t ∈ C ' C∗ o C.(6.10)112Глава 6. Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийСледствие 6.17. Централизатор Z( f ) параболического элемента f ∈∈ Diff 1 (C, 0) порядка p в группе Diff(C, 0) формально эквивалентен групперостков G, ' Z × C вида (6.9).Доказательство.
Это следует из предложения 6.16 и леммы 6.15.Следствие 6.18. Централизатор любого параболического ростка f ∈∈ Diff(C, 0) является коммутативной подгруппой в Diff(C, 0).0Замечание 6.19. Группа орбитальных симметрий G,0разрешима, но неабелева: умножение в этой группе имеет вид(b, t) ◦ (b0 , t 0 ) = (bb0 , tb0−+ t 0 ) 6= (b0 , t 0 ) ◦ (b, t).(6.11)00Однако коммутатор [G,0, G,0] состоит из всех отображений потока и потомукоммутативен.Доказательство предложения 6.16. Отметим прежде всего, что все отоб0ражения из множества G, (соответственно G,0) действительно являютсясимметриями (соответственно орбитальными симметриями) поля F. Нам,однако, будет удобнее работать с аналитически эквивалентным ему полем∂z +1Fe, = ·1 − az∂zс теми же p ∈ N и a ∈ C (см.
замечание 4.25). Легко убедиться, что еслив формулах (6.9) и (6.10) заменить F, на Fe, , то все элементы получающихсяe, и Ge0 будут (обычными или орбитальными) симметриями полямножеств G,0Fe = Fe, .Далее мы покажем, что у поля Fe других симметрий, кроме указанныхв предложении, нет. Отсюда следует, что и поле F других симметрий не имеет.Действительно, рассмотрим биголоморфное отображение h, переводящееполе F в поле Fe. Если g — некоторая симметрия поля F, то h переводитеё в симметрию eg поля Fe, причём Tg = T eg , т. е.
eg = b · exp t0 Fe, где Tg = b.Далее, симметрия b · id поля F переходит в некоторую симметрию b · exp τ Fe.Наконец, отображение потока exp tF переходит в отображение потока exp t Fe.Следовательно, и g, и b · exp(t0 − τ)F переходят в одну и ту же симметриюb · exp t0 Fe поля F, т. е. они равны.Итак, осталось доказать, что поле Fe = Fe, не имеет других симметрий.Пусть eg ∈ Diff(C, 0) — аналитический росток, задаваемый в карте z росткомфункции g = w(z)∈O (C, 0).
Этот росток является орбитальной симметрией поля Fe тогда и только тогда, когда функция w(z) удовлетворяет обыкновенномудифференциальному уравнениюdwz+1w +1·. =λ·1 − aw dz 1 − az(6.12)Переменные в этом уравнении разделяются, и его можно переписать в видеравенства пфаффовых форм:(1 − az ) dz(1 − aw ) dw=λ·.+1zw +1§ 6.2. Первые шаги формальной классификации113Заметим, что равенство двух мероморфных 1-форм возможно только в том случае, когда совпадают их вычеты в нуле. В нашем случае они равны −a и −λaсоответственно, поэтому нетривиальные (с λ 6= 1) орбитальные симметриимогут быть только у однородного векторного поля (у которого a = 0).Чтобы найти все «настоящие» симметрии (с λ = 1), проинтегрируемвышеприведённое равенство, получая11+ a ln z =+ a ln w − t,pz pw (6.13)где t ∈ C — константа интегрирования.
Рассмотрим семейство ростков g ^ == g ◦ (exp ^t Fe). Если w^ — соответствующие им функции, то уравнение (6.13)выполнено для них с заменой t на t − ^t . Отметим также, что, поскольку Fedw^негиперболично, b =(0) не зависит от ^t .dzВыберем ^t следующим образом. Уравнение (6.13) можно переписать какw 11^−=aln+ a ln b − t + ^t .pzbzpw^В этой записи зафиксируем ветви логарифмов так, что первый из них обращается в нуль при z = 0, и положим ^t = t − a ln b.
После замены w^ (z) = bzu(z)последнее уравнение примет вид1(1 − b− u− ) = a ln u(z),pzu(0) = 1.Правая часть голоморфна в нуле, а для голоморфности левой необходимо,чтобы 1 − b− u− (0) = 1 − b− равнялось нулю. Итак, b является корнемстепени p из единицы, и имеется две возможности: либо u(z) тождественноравно единице, либо нет. В первом случае w(z) = exp(^t Fe)(bz) = b exp(^t Fe)(z)(b · id является симметрией Fe и коммутирует с отображениями потока).Во втором же случае выполнено равенствоapz =1 − u−.ln u(z)Левая его часть обращается в нуль при z = 0, а предел правой равен p.Следовательно, этот случай невозможен.6.2.3. Формальная классификацияразрешимых подгрупп группы ростковФормальная классификация циклических абелевых групп ростков совпадает с классификацией их образующих, которая была дана в § 4.9 (теорема 4.26).Первой нетривиальной задачей здесь является классификация нециклическихабелевых групп.Теорема 6.20.
Коммутативная группа G, которая не содержит нетривиальных параболических ростков, формально линеаризуема, т. е. формальноэквивалентна подгруппе в группе линейных отображений C∗ ⊂ Diff(C, 0).Доказательство. Если группа G содержит росток с нерезонансным мультипликатором µ ∈/ exp 2πiQ, то этот росток формально линеаризуем. В силу114Глава 6. Конечно порождённые группы ростков конформных отображенийзамечания 6.14, группа должна быть коммутативной, поскольку любой росток, коммутирующий с линейным отображением z 7→ µz, сам линеен. Этонемедленно следует из (6.7)Таким образом, единственная остающаяся возможность состоит в том, чтоTG ⊆ exp 2πiQ.
Но все такие ростки должны быть периодическими, посколькуих подходящие степени должны быть параболическими, а значит, по условию теоремы, тождественными. По теореме 6.9 такая группа аналитическилинеаризуема.Отметим, что мультипликативную группу C∗ можно описать похожимна (6.9) образом как группу потока любого гиперболического ростка векторного поля, например, F(z) = z,C∗ = {g(z) = (exp t) · z; t ∈ C} ⊂ Diff(C, 0).(6.14)Теорема 6.21 (классификация абелевых нелинеаризуемых групп). Есликонечно порождённая группа G коммутативна и содержит нетривиальный параболический элемент некоторого порядка p, то G формально эквивалентнаподгруппе группы G, ' Z × C вида (6.9) для некоторого a ∈ C.Доказательство.
Поскольку группа G коммутативна, она должна принадлежать централизатору (в Diff(C, 0)) своего нетривиального параболическогоэлемента f, описанному в следствии 6.17.Теорема 6.22 (классификация некоммутативных метабелевых групп).Любая метабелева некоммутативная группа G формально эквивалентна0подгруппе группы G,0вида (6.10) с некоторым конечным порядком p.Доказательство. Шаг 1. Параболическая подгруппа G1 = G ∩ Diff 1 (C, 0)должна быть коммутативной по лемме 6.13 и нетривиальной по замечанию 6.14. Следовательно, G1 лежит в централизаторе (в Diff 1 (C, 0)) любогосвоего нетривиального элемента f ∈ G1 и потому формально эквивалентна подгруппе в exp(CF) = {exp tF : t ∈ C}. Без потери общности мы можемпредположить с самого начала, что G1 ⊆ exp(CF), где F — векторное полев формальной нормальной форме (6.8).Шаг 2.
Поскольку G некоммутативна, существует элемент h ∈ G, не коммутирующий с f = exp F. Действительно, централизатор f в большей группеDiff(C, 0) всё ещё коммутативен по следствию 6.18. Но G некоммутативна,так что G\Z( f ) 6= ∅.Шаг 3. Подгруппа G1 = G ∩ Diff 1 (C, 0) параболических элементов G нормальна, поэтому h ◦ G1 ◦ h−1 ⊆ G1 ⊆ exp(CF). Следовательно, f 0 = h ◦ f ◦ h−1 == exp λF; по нашему выбору h константа λ отлична от единицы. Другимисловами, h является нетривиальной орбитальной симметрией поля F.Тогда из второй части предложения 6.16 следует, что F однородно, а h0принадлежит группе G,0.Шаг 4. Любой другой элемент h0 ∈ G может либо коммутировать с f, либо0нет.
В первом случае по следствию 6.17 мы заключаем, что h0 ∈G,0 (G,0, а во00втором, применяя рассуждения шага 3 доказательства, — что h ∈ G,0 .§ 6.3. Интегрируемые ростки115Замечание 6.23. Из доказательства теоремы 6.22 немедленно следует, чтометабелева некоммутативная группа аналитически эквивалентна подгруппегруппы C · exp(CF,0 ) для некоторого p, если хотя бы один параболическийросток аналитически вложим в векторное поле.§ 6.3.
Интегрируемые росткиКонечно порождённые группы могут иметь определённые симметрии.Из-за глубоких связей с геометрией слоений такие группы называютсяинтегрируемыми.Определение 6.24. Группа симметрий ростка аналитической функцииu ∈ O (C, 0) — это подгруппа S = {g ∈ Diff(C, 0): u ◦ g = u} голоморфизмов,сохраняющих u.Наоборот, аналитический росток u называется первым интегралом группы G ⊆ Diff(C, 0), если G ⊆ S . Группа G, имеющая нетривиальный первыйинтеграл, называется интегрируемой.Если G — циклическая группа, порождённая голоморфным отображением g, то u называется также первым интегралом ростка g, а сам росток g(если u нетривиален) — интегрируемым.Предложение 6.25. Голоморфное отображение периодическое тогда итолько тогда, когда оно интегрируемо.Более точно, h ∈ Diff(C, 0) имеет первый интеграл u(z) = cz + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
