Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Функция ХевисайдаФункцией Хевисайда называют функцию, равную нулю приx  0 и единице при x  0 : 0, при x  0, ( x)  1, при x  0.Найдем изображение от функции Хевисайда: e p x d x 011,  ( x)  .ppОднако в операционном исчислении принято более компактное обозначение:11 .p(19.8)Вообще функции, заданные как-либо аналитически (формулой), при применении к ним преобразования Лапласа считают замененными на  ( x) f ( x) . Однако соответствие «оригинализображение» записывают в видеf ( x)  F ( p).19.2.6. Изображение степеней xnОпределить изображение от xпо частям175nможно, n раз интегрируяx e0n  pxe  px x ndx  p0n n 1  pxn!x e dx  ...  n 1 .p0pОднако гораздо проще использовать формулу для производной преобразования Лапласа от функции Хевисайда:(  x) n 1 d n F ( p) d n  1 n!n! n    (1) n n 1 , x n  n 1 .ndpdp  p pp19.2.7.

Изображение функции(19.9)e λxИзображение экспоненты — «почти» изображение от функции Хевисайда (последнее можно получить как частный случайпри   0 ):e x  pxedx 011x., e pp(19.10)19.2.8. Изображение функции −Формулу для изображения от функции несложно получить,используя формулу для производной преобразования Лапласа отe x :(  x) n e x dn  1 n!n,  (1)n dp  p   ( p   ) n 1n xxe(19.11)n!.( p   ) n 119.2.9.

Изображение и Используем формулы Эйлера и линейность преобразованияЛапласа. Получим176 cos  xe px01dx   (ei x  e i x )e  px dx 201 11 p , 22  p  i p  i  p   2 sin  xe px01dx   (ei x  e i x )e  px dx 2i 01 11 , 22i  p  i p  i  p   2cos  x p. sin  x  2.2p p  22(19.12)Для определения изображений от x k cos x и x k sin xиспользуем формулу для производной преобразований Лапласа отcos x и sin x . В частности, получимx cos  x p2  2p22 2, x sin  x 2 p. (19.13)( p   2 )2219.3. Решение задачи Коши методами операционногоисчисленияОперационными методами можно решить задачу Коши дляоднородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и для нормальных однородных и неоднородных линейных систем с постоянными коэффициентами.При этом задача сводится к алгебраической для изображений, а затем с помощью таблиц преобразований Лапласа можновернуться к оригиналу.

Для справки дадим формулу обращения:b  if ( x) 1v. p.  e px F ( p)dp.2b  i177(19.14)Интегрирование ведется вдоль прямой Re p  b , котораярасположена правее всех особых точек функции F ( p) (см.рис. 19.2).Рис. 19.2Символ v.p. перед интегралом означает, что он берется всмысле главного значения.

Подобные интегралы — расширение понятия несобственных интегралов: стремление к пределам x  и x   осуществляется не независимо, а согласованно:v. p.  ( x)dx  limN N ( x)dx,(19.15)Nчто позволяет целый класс интегралов, расходящихся как несобственные, считать сходящимися в смысле главного значения.В случае правых частей неоднородных уравнений в видеквазимногочленов требуется весьма небольшой набор типовыхизображений, являющихся рациональными функциями, т.е.

частными от деления многочлена на многочлен. После решения алгебраической задачи для изображений последние также оказываютсярациональными функциями от p . Эти рациональные функцииможно представить в виде суммы простых дробей, а далее пользоваться таблицами, по существу, «составленными» выше.Рассмотрим задачу Коши для уравнения n -го порядка:y ( n )  a1 y ( n 1)  a2 y ( n 2)  ...

 an 1 y   an y  f ( x ),y (0)  y0 , y(0)  y1,..., y ( n 1) (0)  yn 1.178Применим к обеим частям дифференциального уравненияпреобразование Лапласа. Считаемy( x)  Y ( p),f ( x)  F ( p).Получим p Y ( p)  pnn 1y0  p n 2 y1  pyn 2  yn 1   a1  p n 1Y ( p)  p n 2 y0  pyn 1  yn 2   anY ( p)  F ( p),A( p)Y ( p)  B( p)  F ( p),где A( p)  p  a1 p ... an — характеристический многочлен nnn1-й степени, а B ( p) — многочлен степени не выше ( n 1) . Решаяуравнение, для изображения получимY ( p) F ( p)  B ( p).A( p)(19.16)Наконец, восстанавливая оригинал по изображению, найдемрешение задачи Коши:y( x)  Y  p  .Пример 1. Решить операционным методом задачу Коши:y  y  sin x  cos 2 x  xe x  e2 x , y  0   1, y  0   1 .Применим к обеим частям уравнения преобразование Лапласа с учетом начальных условий:y  x   p 2Y  p   p  1, y  x   Y  p  ,1p11sin x  2, cos 2 x  2, xe  x , e2 x .2p 1p 4p2 p  1Получимp 1 Y  p  1p11 2 p  1,2p  1 p  4  p  1p21p1Y  p  2 22222 p  1  p  1 p  4   p  1  p  12211p 2 2. p  1  p  2  p  1 p  12179Второе, третье и четвертое слагаемые приведем (например,методом неопределенных коэффициентов) к видуpp, p  1 p  4  3  p  1 3  p  4 1p11,22 p 2  1  p  1 2  p  1 2  p  1 2  p  121p21.222 p  1  p  2 5  p  1 5  p  1 5  p  22p222Приведем подобные члены, получимY  p p12 1241 p3p22230  p  1 5  p  1 3  p  4 111.22  p  1 2  p  1 5  p  2 Прообразы всех слагаемых, кроме первого, — простые функции, для них имеем4131111cos x  sin x  cos 2 x  e x  xe x  e2 x .3053225Прообразом первого слагаемого является интегралx1x cos x sin x sin  d  .20221Действительно, образp2 12получаем, дифференцируя1с последующим делением на p (с точностью до множитеp 11лей).

Прообразом 2является sin x . Для прообраза производp 12ной имеем180d  1 2p  x sin x,222dp  p  1  p  1px sin x,222p1xи образом интегралаx sin xdx является201p1.222p  p 2  1p1Окончательно для решения задачи Коши получимx cos x 11411 sin x  cos x  cos 2 x 210303111 e x  xe x  e2 x .225y ( x)  В случае нормальной системы действия вполне аналогичны.Считаем по определению преобразованием Лапласа от векторфункции вектор, составляющие которого являются преобразованиями Лапласа от соответствующих составляющих данной векторфункции: y10  a11 a12 f1 ( x) dy a21 a22 f 2 ( x)  0  y 0  Ay  f ( x),f ( x)  , y   2 , A  dx y (0)  y 0 , y0  f n ( x)  an1 an 2 na1n a2 n .ann Применяя преобразование Лапласа к обеим частям линейнойсистемы с заданными начальными условиями — начальным вектором y 0 , получим( pE  A)Y ( p )  y 0  F ( p ),f ( x )  F ( p),y ( x )  Y ( p ).181Решая алгебраическую систему, получим для векторизображения следующее выражение:(19.17)Y ( p)  ( pE  A) 1 ( y 0  F ( p)) .Если составляющие функции f ( x ) — квазимногочлены, тои Y ( p) — вектор-функция, составляющие которой являются рациональными функциями параметра p , и задача принципиальноне сложнее задачи для одного уравнения n -го порядка.Пример 2.

Решить операционным методом задачу Коши длясистемыx   x  8 y,y   x  y,x  0  2,y  0  3.Применим преобразование Лапласа, получимpX  2   X  8Y ,pY  3   X  Y .Решая систему, имеем2 p  261610,2p  9 3  p  3 3  p  33p 145Y 2.p  9 3  p  3 3  p  3XДля решения задачи Коши получим16 3t 10 3te  e ,334 3t 5 3ty t   e  e .33x t  Замечание. Если начальные условия заданы не при x  0 , апри x  a  0 , то можно использовать формулу запаздывания.Однако при этом в изображении появляется экспонента, и еслиправые части — квазимногочлены, в исходных уравнениях следуетсделать замену x    a .182§20. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМАРЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯN-го ПОРЯДКА20.1.

Существование ФСРРанее было введено определение ФСР, однако вопрос о существовании ФСР до сих пор не рассматривался.Теорема. Для всякого линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка существует фундаментальная система решений.Доказательство. Возьмем достаточно произвольную систе2му n чиселaij , i, j  1, 2,, n , но такую, что определительa1 1 a1 2a21 a22... ...a n1 a n 2... a 1n...

a 2 n 0.... ...... a nnОпределим n частных решений y1 ( x) , y2 ( x) , …,дифференциального уравненияyn ( x)L[y ]  0с начальными условиями при x  x 0 :yi  a1i , yi  a2i , , yi( n1)  ami , i  1, 2, , n.Функции y1 ( x) , y2 ( x) , …,yn ( x)определены на некоторомпромежутке ( x 1, x 2 ) . Данный определитель есть определительВронскогоynW [ y1 , y2 , , yn ]при x  x 0 . Эти функции y1 , y2 , …,в силу того, что W ( x 0 )  0 линейно независимы и образуютфундаментальную систему решений, и W ( x )  0 x ( x 1, x 2 ) .18320.2. Построение ФСР как совокупности решенийзадачи КошиПростейшим способом задания системы n2 чисел какначальных условий, гарантирующих отличие от нуля определителяВронского (последний равен единице), является следующее задание начальных данных при x  x 0 :y1  1,y1  0,...( n 1)y1 0,y2  0,y2  1,...( n 1)y2 0,............yn  0,yn  0,...( n 1)yn 1.20.3.

Характеристики

Список файлов лекций