Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

. 0  0 2 . . 0 A .. . . . . .. . . . 0 0 . .  nkТогда матрица A — тоже диагональная: 1k 0 . . 0  0 k . . 0 2kA  .. . . . . .. . . . k  0 0 . . n Матричная экспонента также является диагональной матрицей: e(t t0 ) 10. .0 ( t t0 ) 2 0e..0 ( t  t0 ) Ae... .. . ... .. ( t t0 ) n 0. . e 0Если матрица A не является диагональной, то для вычисле-ния матричной экспоненты можно сначала заменой базиса привести матрицу A к простейшему виду: диагональной или нормальной жордановой формы, а затем вернуться к исходному базису.Пусть задана нормальная система и найдена матрица перехода S, приводящая матрицу системы к простейшему виду:x  Ax , x  Sx .ИмеемSx   ASx , x   S 1 ASx  Ax .166Решение задачи Коши в новом базисе дается формулойx  e(t t0 ) A x0 ,гдеx  S 1 x , x0  S 1 x0 .Вернемся к исходному базисуS 1 x  e(t t0 ) A S 1 x0 , x  Se(t t0 ) A S 1 x0 ,и для матрицы e(t t0 ) A получим формулу(18.6)e(t t0 ) A  Se(t t0 ) A S 1 .Особенно просты вычисления, если матрица A — диагональная.Пример 3.

Найти матрицу e At , если2A144.2Приведем матрицу A к диагональному виду:21442  2  4  3     1   3 .Собственный вектор, соответствующий   1, находится изуравнения x0  4 y0  0 и равен 41. Собственный вектор, соот-ветствующий   3, находится из уравнения  x0  4 y0  0 и ра-1вен 4 . Матрица перехода и обратная к ней равны11 2 .S  4 4 , S 1   81 11 1 8 2 Матрица e A t в новом базисе имеет диагональный вид te At   e0Вернемся к исходному базису1670 .e3t  4 4ee At  Se At S 1   1 1   0t1 10  8 2 e 3t   1 1 8 2 1   e t e 3t  22 21   e t e 3t 2   8 82et  2e3t  4e. tt3teee2 2 Рассчитаем матричную экспоненту для матрицы A нормальной жордановой формы, для простоты выкладок примем t0  0 .t14e   8e 3t   183tДля каждого жорданова блока J k    найдем матричнуюэкспоненту e k   как составляющую блочной матрицы etA  etJ .Докажем сперва некоторое свойство коммутирующих матриц, именно:t A Be    etAetB .(18.7)В справедливости данной формулы можно убедиться с помощью прямого перемножения рядов:tJ t2 2 E  tA  A 2t2 2 E  tB  B 2t2 2A  2 AB  B 2  2t2 E  t ( A  B)  ( A  B) 2 2 E 2  t ( A  B) Матрицу J k    жорданова блока можно представить каксумму двух коммутирующих матриц J k    =  Ek  J k  0 :16800000 0  0 0 00 0 0  1 00    01 0 10 0 00 00 0  00 0  00 0  0  0  00    00 0 00 0 00 01 00 10 00 00 00 00 00 0 .0 10 0 Так как матрицы коммутируют, имеемtJ tJ 0e k    et Ek e k   .Матрица et Ek диагональная.

Она равнаet Ek e t00 ..0000.. 0e t0.. 0t0e...... ..00.. et00.. 0.. 0(18.8)0 0 0 ... 0 et Умножение на эту матрицу слева равносильно умножениюкаждого элемента матрицы (в нашем случае матрицы et Ek ) на et .Рассчитаем матрицуetJ k  0  Ek tt2t k 1J k  0  J k2  0  ...

J kk 1  0 .1!2! k  1!Данный ряд обрывается, так как при умножении J k  0 насебя его укороченная диагональ из единиц каждый раз смещаетсявправо. Так,000001 00 10 00 00 0Матрица e0 0  00 0  00 0  00 1  00 0  0tJ k  0 0 0 00 0 00 0  0 0 1 00 0   01 00 10 00 00 0равна1690 10 00 00 00 00 00 00 0 .0 00 0 10000tt22!1t010000Наконец, матрица e te00 ..00t k 2t k 1 (k  2)! ( k  1)! t k 3t k 2 (k  3)! (k  2)! t k 4t k 3  .(k  4)! ( k  3)! 1t01 tJ k   равнаtett te2!..t k 2e t k  2 !e ttet..t k 3e t k  3!0e t..t k 4e t k  4 !......

..0000.. et.. 02t k 1 t e k  1! t k 2e t  k  2 !  . (18.9)t k 3te  k  3! ..tete tМатричную экспоненту можно использовать для полученияобщего решения линейной неоднородной нормальной системы и длярешения задачи Коши.Запишем задачу Коши:x  t   Ax  t   f  t  , x  t0   x0 , t0  T , T  .Представим формальноx  t   etA y  t  ,y  t   etA x  t и подставим в дифференциальное уравнение170AetA y  t   etA y  t   AetA y  t   f  t  , e tA y  t   f  t  ,y t   e tAf t  ,ty  t   C   e   A f   d  .t0Общее решение линейной неоднородной нормальной системызапишется в видеtx  t   etAC  etA  e  A f   d  ,(18.10)t0где первое слагаемое — общее решение однородной системы, авторое — частное решение неоднородной системы уравнений.Положим t  t0 , получимx  t0   x0  et0 AC, C  et0 A x0и, подставляя C в общее решение, найдем решение задачи Коши:tx  t   et t0  A x0  etA  e  A f   d  .t0171(18.11)§19.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСАВ основе так называемого операционного исчисления лежитинтегральное преобразование Лапласа, которое, в частности, сводит решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами к решению линейных алгебраических уравнений и систем, т.е. к решению принципиально более простой задачи.Назовем оригиналом функцию f ( x) со следующими свойствами: она определена на всей действительной оси, при x  0функция f ( x)  0 , она непрерывна при x  0 , кроме конечногочисла точек разрыва первого рода, при положительных значенияхx растет «не быстрее» экспоненциальной функции, именно(M  0)(a)(x  0) : f ( x)  Meax .Тогда преобразованием Лапласа называется следующий интеграл:F ( p)   f ( x)e px dx ,(19.1)0а сама функция F ( p) называется изображением функции f ( x) .В интеграле параметр p является комплексным числом.Принято писать:(19.2)f ( x)  F ( p ) .Рис.

19.1172Исследуем область сходимости несобственного интеграла. Всилу того, что e px  e Re px , имеем оценку00 px( a  Re p ) xdx   e f ( x)dx  M  eпри Re p  a , и интеграл заведомо сходится (даже абсолютно) вправой полуплоскости Re p  a (см. рис. 19.1).Рассмотрим свойства преобразования Лапласа.19.1. Линейность преобразования ЛапласаИз свойства линейности интеграла непосредственно следуетлинейность преобразования Лапласа:f ( x)  F ( p), g ( x)  G( p), f ( x)   g ( x)   F ( p)   G( p).19.2.

Основные изображения19.2.1. Изображение производнойПусть f ( x) непрерывна, а производная удовлетворяет свойствам, сформулированным для класса функций, к которым можноприменить преобразование Лапласа. Интегрируя по частям, получимe pxf ( x)dx   f (0)  p  e  px f ( x)dx, f ( x)  pF ( p)  f (0) .00Далее,00 px px2 e f ( x)dx   f (0)  p  e f ( x)dx  p F ( p)  pf (0)  f (0).По индукции несложно получить формулу для изображенияпроизводной любого порядка:f ( n ) ( x) (19.3) p n F ( p)  p n 1 f (0)  p n 2 f (0)   pf ( n 2) (0)  f ( n 1) (0).173Таким образом, дифференцированию интеграла соответствует умножение изображения на параметр p и явный учет в видедополнительных слагаемых начальных условий при x  0 .19.2.2. Изображение интегралаИнтегрирование по частям, но в другом порядке позволяетполучить формулу для изображения интеграла:xx  px1  px1  pxfxdxedxefxdx0  000 e f  x  dx,pp0(19.4)x f  x  dx 0F  p,pи интегрированию оригинала соответствует деление изображенияна параметр p .19.2.3.

Формула запаздыванияЕсли начальные условия на функцию f (x ) задаются не внуле, то используется так называемая формула запаздывания.Пусть параметр a  0 , имеем f (x0 a )ep xd x   f (x  a )e  p x d x ,aи, произведя замену   x  a , получим f ( )e  p ( a )d   e  p a  f ( )e  p d  ,00 paf ( x  a)  e F ( p).(19.5)Использование «запаздывающего» (сдвинутого на a) аргумента в оригинале приводит к умножению изображения на экспоненту.19.2.4.

Производная преобразования ЛапласаЕсли в подынтегральную функцию интеграла Лапласа ввестидополнительный множитель — любую степень x, это в силусвойств экспоненциальной функции никак не отразится на сходи174мости интеграла. Поэтому возможно дифференцирование по параметру под знаком интеграла. ПолучимF (p )    x f (x )e  p x d x ,0 xf ( x)  F ( p) ,(19.6)и дифференцированию изображения соответствует умножениеоригинала на ( x) .Многократному дифференцированию соответствует многократное умножение на ( x) :( x)n f ( x)  F ( n) ( p).(19.7)19.2.5.

Характеристики

Список файлов лекций