Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Действительно, в этом случае существует столбец констант такой, что B1    t  B  0, B   B2  ,...B  nпричем хотя бы одна константа Bi отлична от нуля. Это непосредственно следует из определения линейной зависимости векторфункций. Но равенство нулю определителя det   t   0 являетсяусловием существования нетривиального решения системы относительно B1 , B2 ,..., Bn . А такое решение существует, более того,оно одинаково при всех t .det   t называется определителем Вронского системы вектор-функций.Докажем, что в случае линейно независимой системы вектор-функций — решений однородной системы, т.е.

ФСР,det   t   0, t   t1 , t2  .157Доказательство проведем методом от противного. Пусть внекоторой точке t0 , где t0   t1 , t2  — произвольная точка промежутка, det   t0   0. Тогда для этой точки существует нетривиальное решение алгебраической системы: B1    t0  B  0, B   B2  ....B  nСоставим вектор-функциюx    t  B,гдеB — найденное выше нетривиальное решение системы  t0  B  0 . Эта вектор-функция как линейная комбинация реше-ний тоже является решением: x1  t   x11  t   x12  t   x1n  t   x t   x t   x t   x t   2...   B1  21...

  B2  22...   ...  Bn  2 n...  . xn  t   xn1  t   xn 2  t   xnn  t  Но при t  t0 эта вектор-функция обращается в нулевой век-тор: x1  t0    0  x t    0  2 ... 0    ...  . 0 xn  t0    Вследствие единственности решения задачи Коши таким решением является вектор-функция, равная тождественно нулю: x1  t    0  x t    0  2...    ...  . 0 xn  t    Но это значит, что в силу существования нетривиальногорешения B1 , B2 , …,Bn , причем одинакового для всех158t:det (t )  0а функции x1t  (t1 , t2 ), t  , x t  ,..., x t  2 nлинейно зависимы.

Получимпротиворечие. Значит, det (t )  0 t  (t1 , t2 ) .Умножая слева соотношение   t  C  t   f  t  на обратнуюматрицу 1 t  , получимC  t    1  t  f  t  ,и после интегрирования найдем C  t  , а затем и x  t     t  C  t  .Замечание. Напомним, что по определению интегралом отматрицы (а в частности, и от вектора) принимается матрица(вектор), каждый элемент которой является интегралом от соответствующего элемента исходной матрицы (вектора).Пример 1. Найти общее решение системы методом вариациипостоянных:x  3x  2 y,3ety  2 x  y .tНайдем решение однородной системы. Характеристическоеуравнение имеет видdet 3  22  2  2  1  0, 1,2  1 .1  Собственный вектор найдем из системы 22 22    00 ,12 h1  1 .1Присоединенный вектор найдем из системы   12 2 1  1 , h    .222 2  210 Решение однородной системы имеет вид  1 x  C 1 et  C   t  e t .1 12 2y 0t 159Система уравнений для определения C1  t  и C2  t  имеетвид 0 1 tC1 1 et  C2  2  t  et   3e  .1 t  t Решаем систему1 C1  C2   t   0,2 3C1  C2t .tПолучим36 6 t,C2 ,ttC1  6 t  4t 3/2  A, C2  12 t  B.C1  Общее решение неоднородной системы получим в виде  1 x  A 1 et  B   t  et   8t 3/ 2  et . 6 t  8t 3/ 2 y1 2t 160§18.

МАТРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕРассмотрим, помимо системы дифференциальных уравненийвидаx  A(t ) x,матричное дифференциальное уравнениеX  A(t ) X ,(18.1)где A(t ) — квадратная матрица размерности n  n , а X и X —прямоугольные матрицы размерности n  m .Матрица X является производной матрицы X . По определению некоторая матрица является производной другой матрицы,если их размерности совпадают, а каждый элемент продифференцированной матрицы является производной от соответствующегоэлемента исходной матрицы: x11 x12 x21 x22n xn1 xn 2mx1m   a11 a12 x2 m   a21 a22  xnm   an1 an 2a1n  x11 x12a2 n  x21 x22ann  xn1 xn 2nmx1m  x2 m  n. xnm  Предполагаем, чтоaij  C (t1 , t2 ) , i, j  1, 2,xij  C1 (t1 , t2 ) , i  1, 2,, n,, n , j  1, 2,, m.Нетрудно убедиться, что матрица A «действует» независимона каждый столбец и в результате получим соответствующий столбец производных.

По сути дела, матричное дифференциальноеуравнение рассмотренного типа — компактная запись для m одинаковых однородных систем n уравнений.В частности, при m  n в качестве X может выступатьФМР. Тогда ее столбцы составляют ФСР нормальной системы:x  A(t ) x .16118.1. Матричная экспонентаДалее ограничимся рассмотрением систем с постояннымикоэффициентами.

Рассмотрим задачу Коши для системы n однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами ирешим ее методом последовательных приближений:dx Ax , x(t0 )  x0 .dt(18.2)Эта задача эквивалентна интегральному уравнениюtx(t )  x 0   Ax( )d .(18.3)t0Построим процедуру последовательных приближенийtx0 (t )  x0 , x k (t )  x 0   Ax k 1 ( )d ,t0где k — номер приближения. Напомним, что интегралом от матрицы по определению является матрица той же размерности, что иисходная матрица, элементами которой являются интегралы от соответствующих элементов исходной матрицы.Последовательно интегрируя, получим (номер приближенияявляется верхним индексом):(t  t0 )2 2 0Ax ,x (t )  x  (t  t0 ) Ax , x (t )  x  (t  t0 ) Ax 2100200и, предполагая справедливымx k (t )  x 0  (t  t 0 ) Ax 0  ...

(t  t 0 ) k k 0A x ,k!найдем для следующего приближения:xk 1(t  t 0 ) k 1 k 1 0(t )  x  (t  t 0 ) Ax  ... A x ,(k  1)!00т.е. получено доказательство такого представления методом математической индукции.Докажем, что последовательность вектор-функций {x k (t )}равномерно сходится к решению задачи Коши на любом отрезке.Запишем выражение для x k (t ) в виде162(t  t0 )2 2(t  t0 ) k k 0x (t )  ( E  (t  t0 ) A A  ... A )x ,2!k!kа предполагаемую предельную матрицу обозначимe(t t0 ) A  E (t  t0 )(t  t0 )2 2(t  t0 ) k kAA  ... A  ....1!2!k!(18.4)Тогдаx(t )  e(t t0 ) A x0 .(18.5)Полученную предельную матрицу называют по определениюматричной экспонентой.

Дадим оценку членам ряда, а именнокаждому элементу матрицы. Обозначим a  max aij . Тогда оценi, jка сверху для нулевого и первого членов для элементов матрицыдает соответственно 1 иt  t0 a.1!Для последующих членов получим| t  t0 |2 na 2 | t  t0 |3 n2 a3,,2!3!| t  t0 |k nk 1a k,,k!,Домножим все слагаемые полученных оценок, кроме первого, на n .

В итоге данный ряд мажорируется рядом, сумма которогоt t naравна e 0 .Ряд e( t t0 ) A сходится на всей действительной оси, а на любомконечном промежутке t  t0  C, C  0 сходимость равномерная,и ряд можно почленно дифференцировать.Начальные условия легко проверяются. Действительно, приt  t0 имеемe( t t0 ) A  E, e( t t0 ) A x 0  x 0 .Найдем производную(t  t0 )k 1 kd (t t0 ) Ae A  (t  t0 ) A2  ... A  ...  Ae(t t0 ) A ,dt(k  1)!и x(t ) удовлетворяет дифференциальному уравнению163d (t t0 ) A 0dex  e(t t0 ) A x0  Ae(t t0 ) A x 0 .dtdtВернемся к матричному дифференциальному уравнениюX  AX .Как уже показано,d (t t0 ) Ae Ae(t t0 ) A ,dtт.е.

матрица e(t t0 ) A удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению, причем e t t0  At t0 E . Таким образом, матрицаe(t t0 ) A является решением задачи Коши для матричного дифференциального уравнения при специальных начальных условиях.Столбцы матрицы e(t t0 ) A являются решениями задачи Кошидля нормальной системы при специальных начальных условиях,именно1  0 , ...  00  1 , ...

 00 0... ,   , ...  1что может служить способом вычисления матрицы e 0  .Пример 1. С помощью матричной экспоненты решить задачуКоши для системыt t Ax  Ax, x  0   1 ,1A 1 4 .1 5Решим задачу Коши для матричного уравнения X  AX приначальном условии X  E. Для этого решим две задачи Коши для 0нормальной системы x  Ax с начальными условиями x  0   11и 0 . Сначала найдем общее решение системы. Характеристическое уравнение имеет вид1644   2  6  9    3 2  0 .det 1  1 5  Собственный вектор определяется уравнением21 42    00 ,1  1, 2  2, h1  12 .12Присоединенный вектор определяется уравнением21 42    12 ,12 1  1, 2  0, h2  01 .Общее решение имеет вид xx   C e 12  C e  1t 2t C 2  C  1  1 , C  0, C  1,1003t13t12.2Для первой задачи Коши получаем1212 1  2t  e3t 3t. teи первый столбец матрицы e At имеет вид Для второй задачи Коши получаем   C1 2  C2 1  0 , C1  1, C2  2,1014te3tи второй столбец матрицы e At имеет вид 3t  . 1  2t  e В итоге 1  2t  e3te At  3t te4te3t .1  2t  e3t Решение задачи Коши: xx    1 te2t  e123t3tx  e At x  0 ,4te3t  1  1  2t  e3t .1  2t  e3t  1  1  t  e3t Конечно, для решения одной задачи Коши, т.е.

при заданныхначальных условиях, проделано много «лишней» работы. Но,найдя один раз матрицу e At , можно решать сколь угодно многодругих задач Коши (при любых других начальных условиях) с по165мощью простой операции умножения матрицы e At на столбец 3 4  4  20t  e 4te31  2t  e   3  10t  e начальных условий. Так, при x  0   4 3tx1   1  2t  e3tx2  teимеем3t3t3t3t.Рассмотрим специальный случай матричной экспоненты.Пример 2. Пусть A является диагональной матрицей: 1 0 .

Характеристики

Список файлов лекций