Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Запишем условие, которому удовлетворяюткоэффициенты уравнения, если z  1 — решение уравненияM [z ]  0 :an  an1  an2 ...( 1) n a0( n)  0 . L y  сопряжено(20.8)Свойство сопряжённости M  z  и L y является взаимным, т.е. если M  z  сопряжено L y , то инепосредственно следует из соотношения M  z  , что  zL y  yM zdx    y, z  . Если L y = M y , то такой дифференциальный оператор называется самосопряженным, а уравнение L y  0 называетсясамосопряженным дифференциальным уравнением. Из-за наличиямножителя   1 перед старшей производной в выражении M  z самосопряженным может быть лишь оператор четного порядка.Пример 4.

Найти общее решение дифференциального уравненияn x 1 y   x  2 y  2 y  0191с помощью решения сопряженного уравнения. Таким сопряженным уравнением является2 z    x  2  z     x  1 z   0, x  1 z  xz  z  0.Решениями этого уравнения являютсяz1  e x , z2  x.Составим билинейную форму:y ( x  2) z  (( x  1) z )  y( x  1) z  y ( x  1) z  ( x  1) z  y( x  1) z.Подставляя сюда z1  e x , получим первый первый интегралC1  e x 2 y   x  1 y .Подставляя z2  x, получим второй первый интегралC2  y  x 2  1  yx  x  1 .Исключая y  из последних двух соотношений, получим общее решение:y  C1xe  x x  12 C21 x  12.Нетрудно видеть, что ни одно из частных решений не относится к легко «угадываемым».192§21. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦАРЕШЕНИЙ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ21.1.

Формула Остроградского–Лиувиллядля нормальной системыРассмотрим нормальную системуx  At x , a 1 1 t  a 2 1 t A(t )  ........ a n 1 t a 1 2 t a 2 2 t ........a n 2 t ... a 1n t   x1   aij  C  t1 , t2 ... a 2 n t   x 2  , x  C1 t , t,x 1 2 ...  i...

........  i, j  1, 2,..., n.... a nn t   xn Найдём производную от определителя матрицы, столбцы которой являются составляющими вектор-функции — решения нормальной однородной cистемы:x11  t  x12  t x 21  t  x 22  t D t  ........ ........x n1  t  x n 2  t D(t ) x11 x12x21 x22x1nx2 nxn1 xn 2xnn............x1n  t x 2 n  t  xij  t   C1  t1 , t2  ,,(21.1)........i, j  1, 2,..., n.x nn  t x11 x12x21 x22x1nx2 nx11 x12x21 x22x1nx2 n..xn1 xn 2xnnxn1 xn 2xnnВычислим каждый из n определителей по отдельности. Дляэтого заменим строчки, где расположены производные. Напишемматричное уравнение x11 x12 x21 x22 xn1 xn 2x1n   a11 a12x2 n   a21 a22 xnn   an1 an 2193a1n  x11 x12a2 n  x21 x22ann  xn1 xn 2x1n x2 n .xnn Первая строка матрицы слева совпадает с первой строкойпервого определителяили x11 x12x11  a11 x11  a12 x21  a1n xn1 ,x12  a11 x12  a12 x22  a1n xn 2 ,x1n  a11 x1n  a12 x2 n  a1n xnn ,x1n   a11  x11 x12x1n   a12  x21 x22 a1n  xn1 xn 2x2 n  xnn  .Откуда видно, что она является линейной комбинацией строкопределителя D t  с коэффициентами a11 , a12 , …, a1n .

Если какаялибо строка определителя — сумма строк, то этот определительравен следующей сумме определителей:x11x12...x21x22... x2 nx1n..... ..... ... .....xn1 xn 2 ... xnn a12 a11x21x22... x2 nx21x22... x2 n..... ..... ... .....xn1xn 2 ...x11x12...x21x22... x2 nx1n..... ..... ... .....xn1 xn 2 ... xnn ...  a1nxnnxn1xn 2 ... xnnx21x22... x2 n..... ..... ... .....xn 1xn 2 ....xnnПервый определитель суммы совпадает с исходным определителем, а остальные равны нулю, имея совпадающие строки.

В tитоге получим для первого определителя в выражении для Dзначение a11 Dt  . Аналогично рассуждая, для остальных опреде-  t  получим a D(t ) , …,лителей выражения для D22  t  получимчательно для производной Dann D(t ) . Окон-D t   a11 t   a22 t ...ann t   Dt 194илиD(t )  spur A(t )  D(t ).Сумма диагональных членов матрицы называется следомматрицы и обозначается spur A(t ) .

Интегрируя уравнение дляD t  , получим формулу для D t  , которая носит название формулы Остроградского–Лиувилля:tD(t )  D(t 0 )e ( a11 ( )  a22 ( ) ... ann ( )) dt0.(21.2)Замечание. Соответствующего названия формула для определителя Вронского линейного однородного уравнения n -го порядка может считаться частным случаем последней формулы.

Действительно, приведя уравнение n -го порядка к нормальной системе, нетрудно убедиться, что все диагональные члены матрицы системы будут нулями, кроме одного:ann  a1 , a11  a22 ...  an1,n1  0 .Из формулы Остроградского–Лиувилля непосредственноследует доказанное ранее свойство:– либо D t 0  0 , тогдаt  (t1, t2 )  :D(t )  0 и вектор-функции — решения системы линейно зависимы,– либо D t 0  0 , тогдаt  (t1, t2 )  :D(t )  0 и вектор-функции составляют ФСР.21.2.

Существование фундаментальной матрицырешенийТеорема. Фундаментальная матрица решений нормальнойлинейной однородной системы существует для всех значенийt  t1 , t 2  , на котором A t   C t1 , t2  .Доказательство. Возьмём любое t 0  t1 , t 2 и любую невы-рожденную числовую матрицу B размерности n  n с определителем det B  0 . Решим задачу Коши для матричного уравнения  A,   t0   B .195Его решение существует как совокупность решений систем x  Ax,x(t0 )  b,где b — столбец матрицы B . По формуле Остроградского–Лиувилля имеемtdet   t   det   t0  eиматрица t является spurA dt00,невырожденнойt  t1 , t 2  ,det  t   0 .

Её столбцы линейно независимы для каждого фикси-рованного значения t .Следствие. Если det   t0   0, t0   t1 , t2  , то существуетобратная матрица  1  t  .21.3. Обратная задача определения матрицы системыпо ФМРПусть дана невырожденная матрица(t ) :t  (t1 , t2 )(t )  C1 (t1, t2 ).Предположим, что она является фундаментальнойматрицей решений некоторой нормальной системы  A .x  Ax, Умножим справа данное выражение на обратную матрицу1 , которая, как известно, существует.

Получим t  1 t  .At   (21.3)21.4. Структура общего решения однородной системыТеорема. Пусть  t  является некоторой ФМР нормальнойлинейной однородной системы x  Ax , t  (t1 , t2 ) .Тогда для любого решения этой системыx t   C1  t1 , t2 существуют такие константыC1 , C2 , , Cn , что196 C1  C2x  t    t  C, C   ...  Cn и x(t ) является линейной комбинацией столбцов матрицы (t ) :xt   C1 x1 t   C2 x 2 t Cn x n  t  . x11 (t ) x12 (t ) x21 (t ) x22 (t ) xn1 (t ) xn 2 (t )x1n (t )   C1  x11  x12 x x2 n (t ) C2x    C1  21   C2  22     xnn (t )   Cn  xn1  xn 2 x(1)x( 2) x1n x  Cn  2 n  .  xnn x( n )Доказательство. Вычислим выражениеy t    1  t  x t (нам заданы x t ,  t  и известно, что  1  t  существует).

Найдёмпроизводную от произведенияy t    1 t  xt    1 t x t  .Производную от обратной матрицы найдём следующим приёмом. Произведение прямой и обратной матриц — единичная матрица E , производная от которой — нулевая матрица:  1 . (21.4)E   1, E  0    1     1 ,  1    1  A , и подставляя выраженияУчитывая, что x  Ax , для производных в формулу для у  t  , получимy (t )   1 (t )(t ) 1 (t ) x(t )   1 (t ) x(t )   1 A 1 x   1 Ax  0.Значит, y  t  является нулевым столбцом, а y t  — столбцом констант:197 C1 0  0C y t    , y t    2  ......  0 Cn Умножая слева выражение для y t  на матрицу  t  , получимx t    t  y t    t C .(21.5)Теорема доказана.21.5.

Общее решение неоднородной системы. Методвариации постоянныхПусть задана нормальная линейная неоднородная системаx t   At xt   f t , At   C t1 , t 2 , f t   C t1 , t 2 и найдена каким-либо образом матрица (t ) — фундаментальнаяматрица решений однородной системы. Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, что и однородной, т.е.

умножаяФМР справа на столбец C , но будем считать этот столбец нестолбцом констант, а столбцом функций — вектор-столбцом дифференцируемых функций: C1  t  C2  t x t    t  C t , C t   , C  t   C1  t1 , t 2 , i  1,2,..., n .....  i Cn  t Подставляя предполагаемое решение в систему, получим выражение для производной от вектор-функции:x  C  C  AC  C  Ax  f ,  A,Интегрируемx  C , C  f , C   1 f .tC t   C t 0     1   f   dt0198и, наконец, подставляя выражение для C t  в формулу предполагаемого решения, получимtx t    t  C t 0     t   1   f   d .(21.6)t0 Здесь C t 0 — произвольный числовой столбец.

Первое слагаемое — общее решение однородной системы, зависящее от nконстант числового столбца. Второе слагаемое — частное решениенеоднородной системы специального вида, а именно, обращающееся в 0 при t  t 0 .Замечание. Интересно отметить, что выражение под знакоминтеграла t   1  не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений, что, конечно, не очевидно.

Характеристики

Список файлов лекций