Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Применим к полученному выражению дважды теорему о среднем:( y   )  Fy ( x, y, q)  Fy ( x, y, y)   ( y   )( y  q) Fyy ( x, y, q ).Рис. 23.8Рис. 23.9В рассматриваемом выражении зафиксированы первые двааргумента функции F ( x, y, y) , значение q лежит между   иy  , а значение q лежит между q и y  . На рис. 23.8 приведёнпример возможного расположения   и y  . Если y     , тоy   q  q    и два первых множителя положительны. Если приэтомFyy ( x, y, q )  0,(23.3)то равенство нулю вариации возможно лишь при y     , т.е. экстремаль касается граничной кривой при x (см.

рис. 23.9).23.3. Вариационная задача для нескольких функцийРассмотрим функционал, зависящий от нескольких функций:V [ y1 , y2 ,, yn ] x1 F ( x, y , y ,12, yn , y1, y2 ,, yn ) dxx0со следующими условиями закрепленияy1 ( x0 )  y0(1) , y2 ( x0 )  y0( 2 ) , ..., y n ( x0 )  y0( n ) ,y1 ( x1 )  y1(1) , y2 ( x1 )  y1( 2 ) , ..., y n ( x1 )  y1( n ) ,227т.е. рассмотрим вариационную задачу для вектор-функции.

Ясно,что если зафиксировать все функции, кроме одной, то для неедолжно выполняться уравнение Эйлера как необходимое условиеэкстремума (при произвольных варьированиях одним из возможных является варьирование лишь одной функции). Так как данноетребование должно выполняться для всех функций, то в итоге получим систему дифференциальных уравнений Эйлера:F d F 0, y1 dx  y1F d F 0, y2 dx  y2(23.4)F d F 0. yn dx  ynРешая его, получим 2n -параметрическое семейство векторэкстремалей, 2n краевых условий определят эти константы.23.4. Задача с производными высших порядковРассмотрим функционал, где подынтегральная функция зависит от производных вплоть до порядка n :x1V [ y( x )]  F ( x, y( x ), y ( x ), y ( x ),..., y(n)( x ))dx .x0Функции y и F — функции высокого порядка гладкости:y  C 2 n ( x0 , x1 ), F  C n2 ( D), D  n2 .В точках x 0 и x1 задаётся значение не только функций, но ипроизводных:y( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 , ..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1) ,y( x1 )  y1 , y ( x1 )  y1 , ..., y ( n1) ( x1 )  y1( n1) .Близость кривых рассматривается в смысле близости n -гопорядка:y( x,  )  y( x )  [ y( x )  y( x )]  y( x )  y .228Здесь, как и ранее, исходная кривая обозначена y( x ) , кривые сравнения y ( x ) ,  y — вариация,  — малый параметр, позволяющий сделать кривые сколь угодно близкими.

Необходимымусловием экстремума является равенство нулю вариации функционала:V [ y ( x, )] V  0 . 0Эта вариация имеет видx1V   ( Fyy  Fy y ... Fy y ( n ) )dx .(n)x0Интегрируя каждое слагаемое k раз по частям ( k — порядок варьируемой производной) и учитывая условия на концах, получимx1x1F y dx  Fy  y(k )y( k )(k )0x0x1d  Fy( k )  y ( k 2)dx0x0x1dFy ( k )  y ( k 1)dx dxx0( k 1)x0x1d2  2 Fy( k )  y ( k 2)dx dxx0x1dk ( 1)  k Fy( k )  ydx.dxx0kОкончательно для вариации интеграла получимx1ndd2n dV    Fy Fy   2 Fy  ( 1)n Fy ( n )  ydx ,dxdxdxx0и в силу известной леммы необходимое условие экстремума имеетвидndd2n dFy F F ( 1)F ( n )  0 .

(23.5)dx y  dx 2 y dx n yДанное уравнение является уравнением 2n -порядка и называется уравнением Эйлера-Пуассона. Его решение зависит от 2nконстант, определяемых из 2n краевых условий.229§24. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ(продолжение 2)24.1. Изопериметрическая задачаПоставим задачу на условный экстремум для функционалаx1J [ y ]   F ( x, y, y )dxx0при условии, что другой функционал того же типа постоянен:x1K [ y ]   G( x, y, y  )dx  l .(24.1)x0Функции G, F и y считаются принадлежащими следующим классам гладкости:y  C 2 [ x0 , x1 ] , F  C 3 ( D) , G  C 3 ( D ) , D  3 .Выполняются также условия на концах промежуткаy( x0 )  y0 , y( x1 )  y1 .Задачи такого типа называются изопериметрическими.Введём множитель Лагранжа  , заранее неизвестный,определяемый в процессе решения задачи.

Задача сводится к задаче на безусловный экстремум для функционала(24.2)L[ y ]  J [ y ]  K[ y ] .В качестве подынтегральной функции рассматриваетсяфункция Лагранжа ( F  G) .Теорема. Пусть y ( x) — экстремаль задачи на условныйэкстремум (т.е. равна нулю вариация для допустимых кривых), иона не является экстремалью для функционала K [ y ] . Тогда существует такое число  , что y ( x) удовлетворяет уравнению Эйлера дляL[ y ]  J [ y ]   K [ y ],Fy  G y d( Fy  G y )  0.dx230(24.3)Доказательство. Пусть y ( x) — искомая экстремаль. Рассмотрим для y  x  приращения вида h( x)  1h1 ( x)   2 h2 ( x) , где1 ,  2 — малые параметры, а h1 и h2 удовлетворяют условиям закрепления:h1 ( x0 )  h1 ( x1 )  h2 ( x0 )  h2 ( x1 )  0 .Такая сложная структура приращения (вариации) функциинужна для последующего «маневра» с целью обеспечения изопериметрического условия K  y   l.Функция ( 1 ,  2 )  J ( y   1h1   2 h2 ) как функция двухпеременных имеет экстремум при 1   2  0 при условии, чтодругаяфункциядвухпеременныхпостоянна (1 ,  2 )  K ( y  1h1   2 h2 )  l  0 .

Найдем частные производ-ные от  и  по 1 и  2 при 1   2  0 . При этом функции h1 иh2 считаются заданными допустимыми функциями:1  1 21 2x12 0  ( Fy h1  Fyh1)dx   y J (h1 ),x0x11   2  0  ( Fy h2  Fyh2 )dx   y J (h2 ),x0x11   2  0  (G y h1  G yh1)dx   y K (h1 ),x0x11   2  0  (G y h2  G yh2 )dx   y K (h2 ).x0Здесь обозначения в правой части подчеркивают, что вариациифункционаловвычисляютсяпрификсированныхh1  x  , h2  x  .Выберем функцию h2 ( x) так, чтобы  y K (h2 )  0 . Это можно сделать, так как y ( x) не является экстремалью для K [ y ] , т.е.231не для всех вариаций функций вариация функционала равна нулю. (0, 0) 0. 2Имеем для данного h2 ( x)Теперь для тоже фиксированной функции h1  x  подберемсвязь между  2 и  1 так, чтобы выполнялось изопериметрическоеусловие  1 ,  2   0 , т.е.  1 ,  2 1    0.Рассмотрим неявное уравнение  (1,  2 ) =0 в окрестноститочки (0 ,0 ) .

Его можно разрешить относительно  2 по теореме онеявной функции, и для производной имеем    1   2d 2.d 1   011  2 0Таким образом, параметры  2 и  1 связаны. Найдем полнуюпроизводную от функции (1,  2 (1 )) по  1 при 1  0 :dd 1  1  112 0 21  2  0d 2d 11  0   21   0 1   0  1212  2 0.1  2 0и для функции ( F  G) получим уравнение Эйлера, так как длявсех допустимых вариаций функции h 1 вариация функционаларавна нулю (при каждой допустимой вариации h 1 заданная вариа-ция h 2 и согласованное изменение  2 и 1 позволяют соблюстипостоянство K [ y ] ):232Fy  G y d( Fy  G y )  0.dxЗамечание. Имеет место так называемая теорема обратимости: Экстремаль для функционала J [ y] при заданном K [ y ] является одновременно экстремалью для K [ y ] при заданном J [ y] ,если y( x) не экстремаль ни для K [ y ] , ни для J [ y] .24.2.

Задача ЛагранжаПоставим вариационную задачу для двух функций с ограниченияминавектор-функцию.Средивсехкривыхy  y( x), z  z( x) , лежащих на поверхности g (x , y , z )  0 ,найти ту, которая дает экстремум функционалуbJ [ y, z ]   F ( x, y, z, y, z )dx.(24.4)aРис. 24.1Концы кривой закреплены и лежат на поверхности (см.рис. 24.1):y(a)  A1 , y(b)  B1 , z (a)  A2 , z (b)  B2 ,g (a, A1 , A2 )  0 , g (b, B1 , B2 )  0 ,Функции y , z , g , F принадлежат некоторым классам гладкости:233y  C 2(a, b), z  C 2(a, b), g  C1 (D1 ), D1  3, F  C 3 (D), D  5.Кроме того, на поверхности нет особых точек, что гарантируется выполнением следующего условия: g  g , (0, 0) ,  y  z  g 0т.е.g gиодновременно в нуль не обращаются при g  0 .y zСформулированная выше задача называется задачей Лагранжа с голономными связями.

Так называется связь, если в ееуравнение не входят производные.Теорема. Пусть кривая  : y  y( x), z  z( x) — экстремаль задачи Лагранжа. Тогда существует такая функция(x ) C (a , b ) , что  является стационарной точкой функциоbнала ( F   g )dxи функция ( F   g ) удовлетворяет системеaуравнений Эйлера:dFy  0,dxdFz   g z  Fz  0.dxFy   g y (24.5)Эти уравнения следует дополнить уравнением связи g  0 ,которое можно формально рассматривать как третье уравнение Эйлера, если в подынтегральной функции добавить к составляющимвектор-функции y (x ) и z (x ) еще и  (x ) .

Характеристики

Список файлов лекций