Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Разделимуравнение на коэффициент при старшей производной:(25.4)y  p( x) y  q( x) y  0 .Пусть p, p, q  C (a, b) . Обозначим y( x)  u( x) z ( x) , гденовой функцией считаем z ( x) , а множитель, тоже зависящий отx, подберем так, чтобы коэффициент перед z  в уравнении для zобратился в нуль. Имеемy  uz  uz, y   uz  2uz  uz,uz  (2u  pu ) z  (u  pu  qu ) z  0,2u  pu  0,и для функции u получим (константа интегрирования несущественна, и мы полагаем ее равной единице):1  pdx2.ueЗаметим, что найденная функция не равна нулю для всехx  (a, b) .

Найдем производные от u , подставим их в коэффициент перед z и разделим уравнение на u :u  p p p 2 u , u      u,24  2244 p p 2z     q  z  0.(25.5)4 2Коэффициент перед z является инвариантом дифференци-ального уравнения. Если у двух дифференциальных уравнений совпадают эти инвариантыp12 p1p22 p2,q1   q2 4 242то уравнения(25.6)y  p1 y  q1 y  0 , y  p2 y  q2 y  0можно свести друг к другу путем последовательного использования прямой и обратной замены функции.Пример 1. Избавимся от слагаемого с первой производной:2 xy  y  2 xy  0а — заменой функции,б — заменой аргумента.Проведем замену y  x   u  x  z  x  , где функцию u  x определим из условия обращения в нуль коэффициента перед z  .Имеем2 x(uz  2uz  uz)  uz  uz  2 xuz  0,1.x1/ 4С учетом полученного выражения для u найдём4 xu  u  0, u z 2x  1  5  111 z  2 x      9 / 4  5/ 4  2 x 1/ 41/ 4x4xx  4  4  x 3z   z  1  0.2 16 x,В итоге уравнение свелось при больших значениях x к уравнению с почти постоянными коэффициентами.Приведем то же уравнение к самосопряженному виду, домножив его на некоторую функцию   x  .

Найдем эту функцию:245 2 x    ,d  2 x   dx1., 2 x2 x2 xПосле подстановки получимx y  x12 xy   x y  0,x y   xy  0,xx y   x y  0,dd ,dx dtxt2.4В итоге дифференциальное уравнение приобретает видd 2 y t2 y 0.dt 2 425.1.

Приведение к дифференциальному уравнениюпервого порядкаКак ранее установлено, у однородного и линейного относительно y и его производных дифференциального уравнения всегда его порядок может быть понижен на единицу:y  p( x) y  q( x) y  0 .Сделаемзаменуиподставимиy   yzy   y z  yz   y(z 2  z ) в дифференциальное уравнение, получимz  z 2  pz  q  0 .(25.7)При подстановке и делении на y потеряно тривиальное решение y  0 . Полученное уравнение является нелинейным уравнением типа Риккати.25.2. Изолированность нулей нетривиального решенияПростейшим свойством нетривиального решения уравненияy  p( x) y  q( x) y  0 , p, q  C (a, b)является невозможность одновременного обращения в ноль y иy .246Действительно,есливнекоторойточкепромежуткаy( )  y ( )  0 , то в силу теоремы существования и единственности y( x )  0 , и решение тривиально.Теорема.

Нули нетривиального решения дифференциальногоуравненияy  p( x) y  q( x) y  0 , p, q  C (a, b)изолированы на (a, b) , т.е. не имеют на (a, b) точек сгущения.Доказательство проведем способом от противного. Пусть влюбой окрестности точки  (a, b) есть нуль, отличный от (сама точка  по определению точки сгущения может и не бытьнулем).

Вследствие непрерывностиlim y ( x)  y ( )  0 ,x — ноль решения. Производная y ( ) существует, найдем ее,причем по точкам  n , которые являются нулями y( n )  0 ,y ( n )  y ( )y( )  lim 0, n  nи так как одновременно y( )  0 и y ( )  0 , y( x ) — тождественный ноль. Получено противоречие. Теорема доказана.Замечание. Нули могут сгущаться к концу интервала.Пример 2.

Общим решением уравненияx 2 cos111y   2 x cos  sin  y  0xxxявляется1y  C1  C2 sin .xНетривиальное решение этого уравнения y  sin1на проxмежутке  0;1 имеет точку сгущения на левом конце интервала.24725.3. Свойства нулей нетривиальных решенийуравненийВ зависимости от коэффициентов уравнения количество нулей нетривиального решения дифференциального уравнения на некотором промежутке и расстояние между нулями может быть самым разным.

Рассмотрим простейшие примеры уравненийy   a2 y  0 , y   a2 y  0 .Уравнение y   a2 y  0 имеет для любого нетривиальногорешения счетное множество нулей, отстоящих на x a. Урав-нение y   a2 y  0 имеет на (,) для любого нетривиальногорешения не более одного нуля. Действительно, в нетривиальномрешении y  Ae ax  Be  ax хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

ИмеемAy  Ae ax  Be ax  Be ax 1  e 2 ax  ,BBили y  Ae ax  Be ax  Ae ax 1  e 2 ax  ,Aи в обоих представлениях первый множитель нигде не нуль, а второй –монотонная функция, имеющая один ноль, если A и B разного знака, в противном случае нулей вообще нет.Назовём неколеблющимся на (a, b) такое нетривиальное решение y( x ) , которое имеет на (a, b) не более одного нуля, т.е.один или ни одного, причём на концах интервала нули не учитываются (см. рис. 25.1).248Рис.

25.1Рис. 25.2Колеблющееся на (a, b) — такое нетривиальное решение, укоторого более одного нуля на (a, b) (см. рис. 25.2).25.4. Достаточное условие неколеблющегося решенияДано дифференциальное уравнение с ограничениями на знаки коэффициентов:( py )  qy  0 , p( x ) C 1 (a, b) , q( x ) C (a, b) ,x (a, b) , p  x   0, q( x )  0 .(25.8)Тогда любое нетривиальное решение не колеблется на (a, b) .Рис. 25.3Доказательство.

Проведём доказательство способом от противного. Пусть  и  — два последовательных нуля нетривиального на (a, b) решения y( x ) , y( )  y( )  0 , a      b (см.рис. 25.3). Производные y ( ) и y (  ) отличны от нуля по свойству изолированности нулей, а так как это соседние нули, то они249ещёипротивоположныпознаку.Рассмотримv(x )  p(x ) yy  . Она обращается в ноль приv( )  v( )  0 . Найдём производнуюфункциюи ,v  ( pyy )  ( py ) y  py  2  py  2  qy 2  0 .Последнее неравенство возможно, лишь если v  0 , v  0 .Отсюдаyy  0 , ( y 2 )   0 , y  const  0.Так как y( x )  0 на ( ,  ) , то по свойству единственностирешения оно тождественный ноль на (a, b) . Получено противоре2чие.

Теорема доказана.25.5. Необходимое условие колеблющегося решенияВ силу того, что одновременно истинны или ложны прямаятеорема и противоположная обратной, необходимым условием колеблющегося на (a, b) решения является следующее условие:x 0 (a, b) , q( x 0 )  0 (разумеется, p( x )  0 на (a, b) ).Пример 3. Нетривиальное решение уравнения Эйриy   xy  0не колеблется на (,0) .250§26. ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ ШТУРМАРассмотрим два дифференциальных уравнения( pz )   qz  0 , ( py )   Qy  0со следующими условиями на коэффициенты:q, Q  C (a, b),p  C1 (a, b) x  (a, b),p( x)  0, Q( x)  q( x).(26.1)(26.2)Пусть  и  — два последовательных нуля на (a, b) нетривиального решения первого уравненияa      b,z( )  z( )  0 , а решение второго уравнения в этих точках отлично от нуля y( )  0 , y( )  0 .

Тогда существует точкаx 0 ( ,  ) , в которой y( x 0 )  0 .Рис. 26.1Доказательство проведем методом от противного. Пустьy (x) не имеет нулей на ( ,  ) . Для определенности считаемz ( x)  0 на [ ,  ] , а y( x)  0 на [ ,  ] (это один из четырех вариантов сочетания знаков y и z ) (см. рис. 26.1). Тогда z( )  0 ,z ( )  0 . Умножим первое уравнение на y , второе на z и вычтемиз первого уравнения второе, получим( pz) y  ( py) z  (q  Q) zy  0 .Первые два слагаемых можно представить как производную( p( z y  yz))  (q  Q) zy  0 .Проинтегрируем это уравнение от  до  , оценим знаки:251p( z  y  y z )  p ( z  y  y z )   (q  Q) z y dx  0.0 0 000 0 00000 0000Внеинтегральный член строго меньше нуля, а интегралменьше или равен нулю. Левая часть равенства (предполагаемого)меньше нуля, а правая равна нулю.

Получили противоречие. Теорема доказана.Рис. 26.2Следствие. Следствием доказанной теоремы является свойство перемежаемости нулей — между двумя последовательныминулями нетривиального решения дифференциального уравнения( py)  qy  0лежит ровно один ноль любого другого нетривиального решенияэтого уравнения (кроме, конечно, случая y2 ( x)  cy1 ( x) ) (см.рис. 26.2).26.1. Расстояние между нулями нетривиальногорешенияОценки дадим для дифференциального уравнения видаy  Q( x) y  0, Q( x)  C (a, b) .Пустьx  (a, b), m2  Q( x)  M 2 , m  0, M  0 .Тогда расстояние между соседними нулями  нетривиального решения удовлетворяет неравенствамM252m.(26.3)Рис. 26.3Доказательство проведём методом от противного. Пусть.

Тогда два соседних нуля решенияmпоместить междуме Штурма.Пусть  My   m2 y  0можнои  (см. рис. 26.3), что противоречит теоре. Тогда два соседних нуля решения уравненияy   M 2 y  0можно поместить вне промежутка ( ,  ) по разныестороны от ( ,  ) , что противоречит теореме Штурма (см.рис. 26.4).Рис. 26.426.2. Оценка числа нулей на промежуткеПусть дано дифференциальное уравнение с нулевым коэффициентом при y  и положительным при y :y  Q( x) y  0, Q( x)  C (a, b) ,x  (a, b), m2  Q( x)  M 2 , m  0, M  0 .Тогда число нулей N любого нетривиального решения этогоуравнения на (a, b) удовлетворяет следующим неравенствам:253 b  a b  am    1  N   M    1 ,(26.4)где квадратные скобки означают целую часть числа.Доказательство. По доказанной выше теореме расстояниемежду соседними нулями  :Mm.Рис. 26.5Дадим графическую оценку снизу.

На рис. 26.5 изображенсамый «неблагоприятный» случай взаимного расположения нулей,когда  максимально, кроме того, не учитываются два нуля, попадающие точно на концы промежутка, меньше нулей быть не мо- b  a 1.  жет. Получим оценку N  mДадим графическую оценку сверху. На рис.

Характеристики

Список файлов лекций