Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Здесь под модулем разностивектор-функций и далее под модулем самой вектор-функции понимается модуль соответствующего вектора (см. рис. 30.1).Рис. 30.1Рис. 30.2285Решение называется асимптотически устойчивым, если оноустойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует  1  0 такое, чтодля любого решения этой системы y (t ), которое в начальный момент времени удовлетворяет условиюy(t0 )   (t0 )  1 , в пределеоно стремится к  (t ), lim y (t )   (t )  0 (см. рис.

30.2).t Замечание. Исследование устойчивости движения (решения)можно свести к исследованию на устойчивость точки покоя, расположенной в начале координат. Для этого производится следующая замена:yi (t )  i (t )  xi (t ), i  1, 2, , n,и дляxi (t )это будет точка покоя.30.2. Автономная системаДля автономной системы, правая часть которой явно не зависит от t :dyi(30.1) i ( y1 , y2 , , yn ), i  1, 2, , n,dtточки покоя фиксированы в фазовом пространстве и не зависят отt . Для их определения решаем систему уравнений и находим всеточки покояy (0) :1 ( y1 , y2 ,, yn )  0, 2 ( y1 , y2 ,, yn )  0, n ( y1 , y2 ,, yn )  0.(30.2)В окрестности каждой точки покоя можно сделать заменуxi  yi  yi(0) , i  1, 2, , n,и свести задачу к исследованию положения равновесия системы вначале координат:dxi(30.3) Fi ( x1 , x2 , , xn ), i  1, 2, , n.dt286Положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову(см.

рис. 30.3), если для любого   0 существует   0 такое, чтодля любого начального значенияx(t0 ) , не выходящего за пределы -окрестности нуля, x(t0 )   , в последующие моменты временифазовая траектория не выйдет за пределы  -окрестности нуля:(t  t0 ) : x(t )   .Рис.

30.3Рис. 30.4Положение равновесия называется асимптотически устойчивым (см. рис. 30.4), если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того,(1  0)( x(t0 )  1 ) : lim x(t )  0 .t 30.3. Функция ЛяпуноваДля исследования устойчивости нелинейных систем, когданельзя ограничиться линейным приближением, можно привлечьпервые интегралы сиcтем (их анализ вполне конкретен и индивидуален) либо воспользоваться свойствами так называемой функцииЛяпунова.Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функцияфазовых координатV  V ( x1 , x2 , , xn ),287удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат (т.е.существует такая окрестность) следующим условиям:1)(0, 0,2)V  V ( x1, x2 , , xn )  0 ,причем V  0 лишь при, 0) , т.е. в начале координат имеется строгий минимум,ndVVfi (t , x1 , x2 ,dt i 1 xi, xn )  0 при t  t 0 ,(30.4)гдеdxi(30.5) fi (t , x1 , x2 , , xn ), i  1, 2, , n.dtdVПроизводнаяберется вдоль интегральной кривой —dtрешения системы — и называется производной в силу системы.Пример 1.dx  y  x3,dtdy x  y3,dt11 2  1  0 .В качестве функции Ляпунова можно выбратьV  x2  y2 .ИмеемdV 2 x( y  x3 )  2 y( x  y 3 )  2 x 4  2 y 4  0 ,dtи оба требования к функции Ляпунова выполняются.30.4.

Теорема Ляпунова об устойчивостиТеорема. Пусть в некоторой окрестности точки покоя, n , существует функция Ляпунова с указанными выше свойствами. Тогда точка покоя xi  0 , i  1, 2, , nустойчива.xi  0 , i  1, 2,Доказательство. Пусть эта окрестностьней существует функцияx   ,   0. ВV ( x)  C1 , V (0)  0 , V ( x)  0288x  0 иdV 0. Найдем   0 по заданному   0. Однаdtнельзя брать превышающим  , т.е. выбор  будем осу-в силу системыко этоществлять приФункциясом1  min  ,   .V  x  непрерывна и на n -мерной сфере S с радиу-x  1 достигает минимума по сфере в некоторой точкерис. 30.5):x  (см.min V  x   V  x   m  0.SРис.

30.5В силу непрерывностипри всехV  x  существует такое   0 , чтоx   выполняется V  x   m. На сфере S значенияV  x   m.Так как в силу системыdV 0, фазовая траектория не моdtжет достичь сферы S , если она берет свое начало в шареТеорема доказана.Пример 2. Рассмотрим уравнениеx  x  x2  0 .Оно сводится к нормальной системе заменой289x  .x  y,y   x  x2 .Одно из положений равновесия — начало координат.Исходное уравнение второго порядка x  x  x 2  0 имеетпервый интеграл:x 2  x 2 x3 x  x  x  x 2  x  0,     C , V  x, y   3 x 2  2 x 3  3 y 2 .2  2 3В данной задаче этот первый интеграл является функциейЛяпунова:dV VVxy   6x  6x2  y  6 y   x  x2   0 .dtxyПри0  x2  y 2  1 значения функции V  x, y   0 , а в нулеV  0;0   0 .Таким образом, выполнены условия теоремы Ляпунова обустойчивости положения равновесия.30.5.

Теорема Ляпунова об асимптотическойустойчивостиТеорема. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы,но к функции Ляпунова предъявлены дополнительные требования.Для любого   0 существует   0 такое, что (x, x   ) выdVполняется    0 (в случае автономной системы можноdtdVзаменить это требование более простым: 0 при t  t 0dt x  0 ). Тогда точка покоя xi  0 , i  1, 2, , n системы дифференциальных уравнений асимптотически устойчива.Доказательство. Так как условия предыдущей теоремы выполнены, то траектория, начавшись при t 0 в  окрестности, невыйдет в процессе движения за пределы  -окрестности при t  t 0 .290dV 0 , то вдоль траектории V монотонно убываdtет с ростом t , и так как V ограничена снизу нулем, то функцияV (t ) имеет предел при t   .

Этот предел обозначим  .Так какlim V ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ))    0 .t Докажем, что  не может быть положительным числом.Пусть   0 , но тогда траектория находится в области V   , азначит, вне некоторой  1 -окрестности точки (0, 0, , 0) . СогласdVно условию теоремы существует такое   0 , что    0 (вdtслучае автономной системы это легко доказывается, т.к. функцияdVзависит лишь от фазовых координат и в замкнутом множествеdt1  x  ,имеет максимум, меньший нуля, который и обозначимdV    0 ). Но тогда для разности функций Ляпунова поdtлучимV ( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ))  V ( x1 (t0 ), x2 (t0 ), max, xn (t0 )) dV(t  t0 )    (t  t0 ),dtи при достаточно больших t функция V оказывается меньше  .Этим доказано «пересечение» фазовой траекторией границы1 -окрестности нуля, зависящей от  (см.

рис. 30.6).В силу произвольной малости  и  1 асимптотическая устойчиупомянутойвость доказана.291Рис. 30.630.6. Исследование устойчивости по линейномуприближениюПусть (0, 0, , 0) — точка равновесия системы1dxin Fi ( x1 , x2 , , xn ) , Fi  C ( D) , D  , i  1, 2,dtВ силу дифференцируемости функции имеемdxi naij x j  i ( x1 , x2 ,dt j 1Faij  i (0, 0, , 0) ,x j, xn ) , i  1, 2,,n.,n,222i ( x1 , x2 , , xn ) 0 ,   x1  x2   xn , 0т.е.  i ( x1 ,..., xn ) — бесконечно малые выше первого порядка.Системаlimndxi  aij x j , i  1, 2,dtj 1,n,(30.6)с постоянными коэффициентами называется системой первого, илилинейного, приближения для нелинейной системы.Теорема. Если все корни характеристического уравнения292a11  a 21a n1a12a1na 22   a2n0an2 a nn  (30.7)имеют отрицательные действительные части, то тривиальноерешение нелинейной системы, xi  0, i  1, 2, , n , асимптотически устойчиво.Если хотя бы один корень характеристического уравненияимеет положительную действительную часть, то положениеравновесия нелинейной системы, xi  0, i  1, 2, , n , неустойчиво.Замечание.

Условия теоремы являются достаточными, т.е. вобоих случаях возможно исследование устойчивости по линейномуприближению, и каких-либо дополнительных исследований можноне проводить, чтобы сделать вывод о поведении исходной нелинейной системы.Исследование устойчивости по линейному приближениюнесостоятельно в следующем случае.Пусть для всех i действительная часть корней характеристического уравнения неположительна(i, i  1,2, , n) : Re 1  0и существует хотя бы один корень с нулевой действительной частью(j ) : Re  j  0 .Тогда исследование устойчивости по линейному приближению невозможно.

Для систем второго порядка такое исследованиенеправомочно в случае центра (см. рис. 30.7).293Рис. 30.7«Малые» изменения правых частей приводят к «малым» деформациям траектории: в итоге траектория может остаться замкнутой (типа центра), может оказаться раскручивающейся спиралью(типа неустойчивого фокуса) или закручивающейся спиралью (типа устойчивого фокуса) (см. рис. 30.8).Рис. 30.8Доказательство первой части теоремы для автономной системы в случае, когда все корни характеристического уравнениясистемы линейного приближения различны и отрицательны:ki  0 ,i  1, 2,,n,ki  k jРассмотрим автономную систему294при i  j.ndxi  aij x j  Ri ( x1 ,dtj 1, xn ), i  1, 2,, xn )  N   xi2  i 1 nRi ( x1 ,12, n,(30.8), N  0,   0.Доказательство проводится в дополнительном предположении о структуре «малого» второго слагаемого.В матричных обозначениях x1  R1  a11  xRadX AX  R, X   2  , R   2  , A   21 ..

 ..  ..dt   xn  Rn  an1a12 .. a1n a22 .. a2 n ... .. .. an 2 .. ann Система линейного приближения имеет видdX(30.9) AX .dtПроведем замену базиса, выбрав за новые базисные векторысобственные векторы матрицы A : b11 b12bbX  BY , B   21 22 .... bn1 bn 2.. b1n  y1  .. b2 n y, Y   2 , .. .. ..

 .. bnn  yn где — матрица перехода. Получим k1..dYdY11B ABY , B ABY , B AB   ..dtdt00k2..0.. 0 .. 0 ,.. .. .. kn так как матрица преобразованной линейной системы имеет диагональный вид. Сама система дифференциальных уравнений распадается на n независимых уравнений видаdyi ki yi , i  1, 2, , n.dt295Проведем такую же замену для «малых» слагаемых в нелинейной системе. Так как и в новых переменных правые части в нуле дифференцируемы, а главные линейные слагаемые имеют видki yi , то нелинейная система приобретает видdyi ki yi  R i ( y1 ,dt, yn ), i  1, 2,1Ri ( y1 , n2, yn )  N   yi2  i 1 , n,(30.10),N  0,   0.Проверим, что для этой системы функцией Ляпунова являетсяnV   yi2 .i 1Действительно,V ( y1, , yn )  0,причем V  0 только приy1  y2  ...

 0 . ПолучимnnnndVdyi 2 yi 2 ki yi2  2 yi Ri   ki yi2  0 ,dtdti 1i 1i 1i 1и приy  0 выполняется также требование теоремы Ляпунова обасимптотической устойчивости автономной системы:dV n  ki yi2  0.dt i 130.7. Глобальный фазовый портретЗнание первого интеграла позволяет построить глобальныйфазовый портрет, т.е. дать принципиальную схему фазовых траекторий на всей плоскости. Для этого строится семейство кривыхV  x, y   C , на этих кривых в соответствии с системой уравненийпо их правым частям определяются знаки производных x и y , после чего на кривых стрелками определяют направление движения.Пример 3.

Рассмотрим систему296x  y,y   sin x.Точки покоя системы — n;0 . Анализ показывает, что прилинеаризации системы в случае нечетных n положение равновесиянеустойчивое типа седла и линеаризация дает верную картину длялокального поведения фазовых траекторий. В случае четных n прилинеаризации положение равновесия оказывается типа центра иисследование по линейному приближению не позволяет обоснованно определить характер поведения фазовых траекторий вблизиэтих точек.Найдем первый интеграл.

Характеристики

Список файлов лекций