Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Подставимi  1, 2, , (n  1) .Но на фазовой траектории(n  1) и, таким образом,U i ( x) ,U1 ( x)  yi  const ,j  1 , 2, …,i  1 2, …, (n  1) являются первы-ми интегралами, причем, как ранее показано, независимыми. Теорема доказана.Замечание.

Рассматривались фазовые траектории, которыепри t  0 пересекали плоскость xn  const . Однако метка времени для автономной системы не имеет значения, и вместо t  0 наxn  constможно взять t  t 0 .Следствие. Для любого первого интеграла U (x ) в окрестности точки a существует функциякая, чтоF ( y1 , y2 , , yn1 )  C1та-U ( x)  F (U1 ( x), U 2 ( x), , U n1 ( x)) .Или: Любой первый интеграл есть суперпозиция (n  1) независимых первых интегралов.Доказательство.

Функции как первые интегралы удовлетворяют уравнениям306 U1 U1 U1f1 ( x ) f 2 ( x )  ... f ( x )  0, x1 x2 xn n U2 U2 U2f1 ( x ) f 2 ( x )  ... f ( x )  0. x1 x2 xn n............................................. U n 1 U n 1f1 ( x ) f 2 ( x )  ... f ( x )  0, x2 xn n(31.5) U n 1 x1UUUf1 ( x ) f 2 ( x )  ... f ( x )  0. x1 x2 xn nТак как f (x )  0 в окрестности точки a , то в каждой точкеэтой окрестности существует нетривиальное решение системы однородных уравнений (относительно f1 ( x) , f 2 ( x) , …, f n ( x) ).

Значит, определитель функциональной матрицы с элементами Ui  Uравен нулю во всех точках и градиенты, xj  xjgrad Ui ( x) ,i  1 , 2, …, n  1 , grad U ( x) линейно зависимы во всех точках. Но,так как U1 ( x) , U 2 ( x) , …,U n1 ( x)являются независимыми, тоU (x ) выражается через U1 ( x) , U 2 ( x) , …, U n1 ( x) .31.2.

Первые интегралы и фазовые траекторииВ условиях доказанной выше теоремы любая фазовая траектория x  g (t , b) является пересечением поверхностей уровняU1 ( x)  C1 , U 2 ( x)  C2 , …,U n1 ( x)  Cn1 .(31.6)Доказательство. Фазовая траектория лежит на каждой изповерхностей уровня, а они пересекаются по линии, ортогональнойвсем градиентам grad U i ( x ) , i  1 , 2, …, n  1 . Такая линия однапри фиксированныхC1 ,C2 ,…,Cn1( Ci— «уровень»Ui ( x), Ui ( x)  Ci ), так как градиенты grad U i ( x) , i  1 , 2, …,307n  1 , линейно независимы в каждой точке, и в n -мерном пространстве (фазовом) им ортогонален один вектор.Пример 1. Найти первые интегралы нормальной системыx  xy ,y  y 2  2z3,z  2 zy.Для данной системы существуют два независимых интеграла.Разделим второе уравнение на третье:y dy y 2  2 z 3y z2  .z dz2 zy2z yДанное уравнение является уравнением Бернулли.

Умножимуравнение на 2 y и обозначим y 2  t . Получимdtt   2z2 .dzzC.zЧастное решение неоднородного уравнения ищем в виде t  az 3 ,Решение однородного линейного уравнения имеет вид t 1, и общее решение2C z3неоднородного уравнения запишется в виде t  . Получимz 2z4z42C  tz   zy  ,22z4u1  x, y , z   zy 2  .2На всех фазовых траекториях u1  x, y, z  сохраняет постоянпосле подстановки в уравнение получим a ное значение u1  x, y, z   C1 . Последнее обстоятельство можноиспользовать при нахождении второго первого интеграла. Однакопри решении данной системы этого не потребуется. Разделим третье уравнение на первое, получим308z dz2 zy2 z dz 2dx , 0, d  ln z  2ln x   0 ,x dxxyxzxln( zx2 )  const, C2  zx2 , u2 ( x, y, z)  x2 z.Производные функций u1  x, y, z  и u2  x, y, z  в силу системы равны нулю.

Проверим, например, производную второйфункции:du2 u2uux  2 y  2 z  2 xz  xy  0   y 2  2 z 3   x 2  2 zy   0.dtxyzЛюбой другой первый интеграл — произвольная дифференцируемая функция двух первых интегралов:z4u  x , y , z   W  y 2 z  , x 2 z  , W  C 1.2309§32. УРАВНЕНИЯВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХУравнение, содержащее частные производные функции отсвоих аргументов, называется уравнением в частных производных.В простейшем случае теория дифференциальных уравнений вчастных производных связана с интегрированием систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений общее решение зависитне от произвольных констант, а от произвольных функций.

Этоестественным образом получается при нахождении первообразныхпо какой-либо одной переменной. Число таких функций равно порядку дифференциального уравнения.Пример 1. Рассмотрим простейшее уравнение2 z0,xy  z 0,x  y U   ( y) ,z  ( y ),yzU ,yU 0,xz   ( y )  f ( x ).Общее решение является суммой двух произвольных дифференцируемых функций.32.1. Теорема Ковалевской существованияи единственности решения задачи КошиТеорема (приводится без доказательства, носит локальный характер). Существует единственное аналитическое вокрестности точки x10 , x20 , …, xn 0 решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка:Pzz p 1 z z  2 z  2 z  p z fx,...,x,z,,...,,,, 2 ,.., p , (32.1)np 1 1xxxxx1pxxn 1212 x 21удовлетворяющее условиям приz  0 ( x2 ,, xn ),z 1 ( x2 ,x1x1  x10 :, xn ),310, p 1 z  p 1 ( x2 ,x1p 1, xn ),если функции0 , 1 , ,  p1являются аналитическими в окрест-ности начальной точки x20 , , xn 0 , а f является аналитическойфункцией в окрестности начальных значений своих аргументов:x10 , x20 , …, xn0 ,z0  0 ( x20 , z , xn 0 ),    1 ( x20 , x1 , xn 0 ),,  p z    p 0  p  p . xn 0  xn 0(32.2)Решение0 , 1 ,определяется заданием начальных функций,  p 1 , меняя которые в классе аналитических функций,получим совокупность аналитических решений исходного уравнения, зависящую от p произвольных функций.Замечание.

Начальные условия вместе с самим дифференциальным уравнением позволяют последовательно определять производные любого порядка, являющиеся коэффициентами кратногостепенного ряда. Аналитическими считаются функции, разлагаемые в кратные степенные ряды с конечной областью сходимости.32.2.

Квазилинейное уравнение первого порядкаРассмотрим уравнение, линейное относительно частных производных первого порядка, коэффициенты которого зависят и отаргументов, и от функции:zz  X n ( x1 , x2 , , xn , z )x1xn (32.3) Z ( x1 , x2 , , xn , z ).X 1 ( x1 , x2 , , xn , z )Такое уравнение называется квазилинейным.32.3. Линейное однородное уравнениеУравнение типа311X 1 ( x1 , x2 ,, xn )z X 2 ( x1 , x2 ,x1z x2z, xn ) 0.xn, xn ) X n ( x1 , x2 ,(32.4)называется линейным однородным. Оно может быть сведено к квазилинейному уравнению с одновременным уменьшением на единицу числа независимых переменных, также может быть проделанаобратная операция:U ( x1, x2 , , xn , z)  0нейного уравнения, тогда zUxixi— интеграл квазили-Uи т.д.zРассмотрим простейшее квазилинейное уравнение первогопорядка от двух независимых переменных:zz Q( x, y, z)  R( x, y, z), P, Q, R  C (),   .

(32.5)xyСчитаем, что P ,Q , R одновременно в ноль не обращаются.P( x, y, z)Получим геометрическую интерпретацию этого дифференциального уравнения. Для этого рассмотрим векторное поле:F  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k .(32.6)Каждой точке в  поставлен в соответствие вектор, а значит, и его направление. Векторными линиями поля называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора F .

Пусть t — касательный вектор к векторной линии:t  idx  jdy  kdz.312Рис. 32.1Запишем условие коллинеарности этого вектора векторуполя:dxdydz.P (x , y , z ) Q (x , y , z ) R (x , y , z )(32.7)Векторной поверхностью называется поверхность, целикомсодержащая векторные линии, имеющие с поверхностью хотя быодну общую точку (см.

рис. 32.1).Пусть N — вектор нормали к векторной поверхности. Равенство нулю скалярного произведения ( N , F )  0 есть условиеортогональности вектора нормали к векторной линии, лежащей навекторной поверхности. Рассмотрим различные случаи (формы) задания векторной поверхности.Пусть поверхность задана явно z  f (x , y ) .

Вектор нормали к поверхности запишется в виде N zzij  k , а услоx yвие ортогональности векторным линиям, лежащим на поверхности,имеет видP( x, y, z )zz Q( x, y, z )  R( x, y, z )  0 ,xyилиP( x, y, z )zz Q( x, y, z )  R( x, y, z ) .xy313При неявном задании поверхности U (x , y , z )  0 , векторнормали к ней имеет вид N UUUijk , а условие ортоxyzгональности к векторным линиям поля, лежащим на этой поверхности, сводится к уравнениюP( x, y, z )UUU Q( x, y, z ) R( x, y, z ) 0.xyzТаким образом, определение векторных поверхностей, отвечающих одному векторному полю, сводится к решению либо квазилинейного, либо линейного однородного уравнения в частныхпроизводных в зависимости от явного или неявного представленияповерхности.

Более удобен вид линейного однородного уравнения,так как при этом представление поверхности более универсально (апространственные переменные «равноправны»).32.4. ХарактеристикиВекторные поверхности составлены из векторных линий, иинтегрирование дифференциального уравнения в частных производных — определение его решения — начинается с интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей векторные линии, которые называются уравнениями характеристик:dxdydz.P (x , y , z ) Q (x , y , z ) R (x , y , z )Сами векторные линии, удовлетворяющие этим уравнениям,называются характеристиками.

Каждая из них представляет собойлинию пересечения двух поверхностей, входящих в двухпараметрическое семейство поверхностей — решений системы.Систему дифференциальных уравнений можно представитькак автономную нормальную систему третьего порядка, введядополнительную переменную — аргумент (время):x  P( x, y , z ),y  Q ( x, y , z ),z  R( x, y , z ).314Такая система имеет, как известно, два независимых первыхинтеграла: 1 ( x, y, z)  C1 ,  2 ( x, y, z)  C2 .

Характеристики

Список файлов лекций