Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Разделим второе уравнение системы на первое, получимdysin x, ydy  sin xdx  0,dxyy2 cos x  const.2Придадим этому интегралу форму функции Ляпунова:V ( x, y)  y 2  2cos x  2.ИмеемV  0,0  =0, а в проколотой малой окрестности точки(0,0) функцияV  x, y   0 . Производная по времени в силу систе-мы равнаdV 2sin x  y  2 y ( sin x)  0.dtТе же свойства выполняются в окрестности точекТаким образом, положения равновесия 2 n;0 2 n;0 .устойчивы по Ля-пунову.Нетрудно убедиться, что кривые V  const обладают симметрией относительно прямых y  0 и x  2 n для всех целыхn. При V  4 кривые V  const не замкнуты и состоят из двухветвей при y  0 и y  0 соответственно.

При V  4 имеетсямножество замкнутых кривых — циклов, охватывающих точки 2 n;0  . При V  4 имеем счетное множество дуг конечной дли297ны, ограниченных точками 2 n   ;0(см. рис. 30.9). ЛинииV  4 отделяют области с различным характером фазовых траекторий (в данном примере замкнутые и незамкнутые). Такие линииносят название сепаратрис.Рис. 30.930.8. Предельные циклыСвоеобразным типом фазовых траекторий являются предельные циклы, т.е. замкнутые траектории, в окрестности которых всетраектории являются спиралями. Если близкие к предельному циклу траектории приближаются к нему при t   , то такие предельные циклы называются устойчивыми, если удаляются от него,то неустойчивыми, если же находящиеся с одной стороны от предельного цикла траектории приближаются к нему, а с другой —удаляются от него, то такие предельные циклы называются полуустойчивыми.Анализ предельных циклов удобно проводить в полярныхкоординатах.

Рассмотрим системуr  f r ,     ,(30.11)где либо     0 (движение против часовой стрелки), либо    0 (движение по часовой стрелке). Если     a  0 , топериодом цикла является число 2 . Корни уравнения f  r   0|a|дают значения радиусов окружностей, вдоль которых происходитциклическое движение. При тех r , когда f  r   0, имеем раскру-298чивающуюся спираль, а при тех r , когда f  r   0 , имеем закручивающуюся спираль.Конечно, в системе (30.8) значение f  0   0 .Пример 4. Рассмотрим системуr  r  r  1 r  2  r  3 ,  1.Здесь r  0 — точка неустойчивого равновесия, r  1 —устойчивый предельный цикл, r  3 — неустойчивый предельныйцикл, r  2 — полуустойчивый предельный цикл (см. рис.

30.10).Рис. 30.10Пример 5. Рассмотрим системуrdV,dr  1,где 3 1 3 4 r sin  r  r , r  0,V r0, r  0.Получим счетное множество вложенных циклов, устойчивыхи неустойчивых, с точкой сгущения в нуле. Функция V — своеобразный аналог функции Ляпунова, но не для нуля, а для устойчивого предельного цикла. Для нее производная по времени в силу системы равнаdV V    0.dt r 2299§31. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫАВТОНОМНЫХ СИСТЕМПусть дана автономная система x  f ( x ) , f ( x )  C1 () ,nx1  f1 ( x1 , x2 ,, xn ),x2  f 2 ( x1 , x2 ,, xn ),xn  f n ( x1 , x2 ,, xn ),Рис.

31.1Обозначим g (t , b) фазовую траекторию, которая при t  0проходит через точку x  b фазового пространства. Первым интегралом автономной системы n -го порядка x  f ( x) в   nназывается функция U ( x)  C 1 () , если она постоянна на любойфазовой траектории:U ( x)  U ( g (t , b))  U ( g (0, b))  U (b)  const.На рис. 31.1 изображены поверхности уровня функции U ( x). Фазовая траектория, попав на некую поверхность уровня приt  0 , U ( x)  const , остается на ней при всех последующих допустимых значениях t  0 .Необходимым и достаточным условием того, что функцияU ( x) является первым интегралом системы x  f ( x) (то есть налюбой фазовой траекторииона постоянна,x  g(t , b)300U ( g (t , b))  const ), является выполнение следующего соотноше-ния:nU xk 1f k ( x)  0 .(31.1)kПусть U ( x) — первый интеграл, тогда проверкой его постоянства на фазовой траектории является равенство нулю производной по времени в силу системы x  f ( x) , что и доказывает приведенное выше соотношение.

С другой стороны данное соотношениеявляется производной по t функции U ( x) в силу системыx  f ( x) :nndU ( g (t , b))U dx kUf k ( x)  0 .dtdtk 1 x kk 1 x kФункции U1 ( x) , U 2 ( x) , …, U m ( x)  C () , m  n , называются зависимыми в области  , если одну из них можно выразитьчерез остальные, например,1Um ( x)  W (U1 ( x), U 2 ( x), , U m1 ( x)) , W  C1(заметим, что речь идет о зависимости, а не о линейной зависимости).При этом в каждой точке градиенты функций линейно зависимы.

Докажем это. Запишем выражения для частных производных функций U m ( x ) :U m W U 1 W U 2W U m1,...x1U 1 x1 U 2 x1U m1 x1U m W U 1 W U 2W U m1,...x2U 1 x2 U 2 x2U m1 x2……………………U m W U 1 W U 2W U m1....xnU 1 xn U 2 xnU m1 xn301Умножим каждое из уравнений на единичный ортогональныйвектор i1 , i2 , …,функцииUk ,inсоответственно и сложим. Так как для градиентаk  1, 2,, m  1, m , имеемgrad U k то в итогеgrad U m U kUi1  k i2 x1x2U kin ,xnWWWgrad U1 grad U 2  grad U m1. (31.2)U1U 2U m1Заметим, что в каждой точке x1 , x2 , …, xn коэффициентыперед градиентами разные.Если градиенты линейно независимы в области, то функцииU1 ( x) , U 2 ( x) , …,U m ( x)называются функционально независимыми в области.

При этом линейной независимостью градиентов вобласти считается нарушение линейной зависимости хотя бы водной точке.Если система x  f ( x) имеет k независимых первых интегралов U1 ( x) , U 2 ( x) , …, U k ( x) , то она допускает (локально) понижение порядка на k путем введения новых криволинейныхкоординат.Опишем процедуру понижения порядка. Введем вместо x1 ,x2 , …,xnдругие фазовые координаты следующим образом:y1  U 1 ( x) ,y2  U 2 ( x) ,………y k  U k ( x) ,y k 1  x k 1 ,………yn  xn .Первые k дифференциальных уравнений запишем, используя постоянство U i ( x), i  1, 2, , k , на фазовой траектории:302y1  0 ,y 2  0 ,…..y1  y10 ,y2  y20 ,…..y k  0 ,y k  y k0 ,и первые k фазовых координат постоянны. Последующие (n  k )дифференциальных уравнений есть последние (n  k ) уравненийисходной системы после замены в их правых частях фазовых координат x1 , x2 , …, xn на новые фазовые координаты y1 , y2 , …,В итоге получим систему (n  k ) уравненийyn .yk 1   k 1 ( yk 1 ,..., yn ),(31.3)yn   n ( yk 1 ,..., yn ).При этом первые k фазовых координат войдут в систему какпостоянные параметры.31.1.

Теорема о существовании − независимыхпервых интеграловТеорема. Рассмотрим нормальную системуx  f ( x ) , f ( x )  C1 () ,   n .Пусть в точке a  , f (a)  0, т.е. точка a не являетсяположением равновесия. Тогда существует некоторая окрестность точки a ,   O (a), в которой существуют независимыепервые интегралыU1 ( x) , U 2 ( x) , …,U n1 ( x) .Доказательство.

Пусть f n (a)  0 . Если это не выполняется, то перенумерацией компонент вектора x (а значит, и f ( x ) ) наместо n -й компоненты f n ( x ) всегда можно поместить ту, для которой составляющая вектора f ( x ) не равна нулю. Обозначим через b  ( y1 , y2 , , yn1 , an ) начальную точку траектории, лежащую на плоскости xn  an и близкую к точке a . В силу непре303рывности f n ( x ) в точке a в близкой точке f n (b)  0 , и траектория x  g  t , b  «протыкает» гиперплоскость xn  an при t  0(см. рис.

31.2). Распишем подробнее решение x  g(t , b) , где b —переменная точка на плоскости xn  an , близкая к a :x1  g1 (t , y1 , y2 ,..., yn1 , an ) ,x2  g2 (t , y1 , y2 ,..., yn1 , an ) ,……………….(31.4)xn1  gn1 (t , y1 , y2 ,..., yn1 , an ) ,xn  gn (t , y1 , y2 ,..., yn1 , an ) .Рис. 31.2Будем рассматривать эти соотношения как систему уравнений для определения y1 , y2 , …, yn 1 , t .При x1  a1 , x2  a2 , ..., xn1  an1 , xn  an система имееточевидное решениеy1  a1 , y2  a2 , ..., yn1  an1 , t  0 .Найдем функциональный определитель в этой точке, дляразрешимости системы относительно y1 , y2 , …, yn 1 , t этотопределитель должен быть отличен от нуля. Отличие определителяот нуля в одной точке (в нашем случае в точке y1  a1 , y2  a2 ,..., yn1  an1 , t  0 ) гарантирует в силу непрерывности его отли-304чие от нуля в некоторой окрестности этой точки.

Запишем очевидные, следующие из начальных условий, соотношения:y1  g1 (0, y1 , y2 ,..., yn1 , an ) ,y2  g2 (0, y1 , y2 ,..., yn1 , an ) ,……………..yn1  gn1 (0, y1 , y2 ,..., yn1 , an ) ,an  gn (0, y1 , y2 ,..., yn1 , an ) .Отсюда следует, что для всех i  j и j  n выполняетсяg i (0, a) gi (0, a) 0, а для всех i  n выполняется 1. Кромеy j yiтого, так как x  g(t , b) — уравнение траектории при фиксации b ,для всех i выполняетсяравенj 1 j  20i 1 101i2g i (0, a) f i (a) .

В итоге определительtj  n 1f1 (a)0f 2 (a)0 f n (a)  0.f(a)001i  n 1n 1in 000f n (a)Функциональный определитель отличен от нуля в точкеy1  a1 , y2  a2 , ..., yn1  an1 , t  0 .Значит, он отличен от нуля и в некоторой окрестности этойточки и система в этой окрестности разрешима относительно y1 ,yn1 , tи y1 , y2 , …, yn 1 , t являются некоторыми дифференцируемыми функциями x :y1  U 1 ( x), y2  U 2 ( x), ..., yn1  U n1 ( x), t  V ( x) .В левом верхнем углу функциональной матрицы записанаy2 , …,функциональная матрица зависимости x1 , x2 , …,xn 1 , отy1 , y2 ,…, yn 1 .

Эта матрица является единичной (в точке). Поэтому единичной (в точке) является и обратная функциональная матрица с305элементамиU i, i, j  1, 2,x j, (n  1) . Эта обратная матрица оста-ется неособенной (с ненулевым определителем) и в некоторойокрестности точки. В связи с этим функции U1 ( x) , U 2 ( x) , …,U n1 ( x)являются независимыми, так как «удлинение» столбцов засчет добавления Uiне меняет поточечной линейной независимо xnсти столбцов — градиентов.U n1 ( x) являются первымиx  g (t, y1, y2 , , yn1, an ) в U i ( x),Покажем, что U1 ( x) , U 2 ( x) , …,интегралами.

Характеристики

Список файлов лекций