Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Изолированные положения равновесия. Линейнаясистема второго порядка с постояннымикоэффициентамиЕслиf  a  0 , тоx xa  0 и точкаaявляетсяположением равновесия (нулем системы). Нули могут бытьизолированными и неизолированными. Рассмотрим систему, длякоторой точка0,0 — положение равновесия:x  ax  by,ay  cx  dy,c db 0.(29.2)При отличном от нуля определителе системаax  by  0,cx  dy  0 имеет единственное решение, именно 0,0 .Замечание. Если при тех же требованиях к определителюсистема имеет вид274x  ax  by  e,y  cx  dy  f ,то задача легко сводится к предыдущей: решим системуax  by  e  0,cx  dy  f  0и перенесем начало координат в точку x0 , y0 — решение системы— (см.

рис. 29.4), получим систему с теми же коэффициентами прифазовых переменных:  a  b ,   x  x0 ,  c  d ,   y  y0 .Рис. 29.4Рассмотрим сначала случаи, когда решения уравненияabcd  0,1 и 2 , удовлетворяют условиям 1 2  0, 1  2 , т. е.   0 —не собственное значение — требование изолированности положения равновесия, а корень характеристического уравнения — неявляется кратным.29.3. УзелПусть, 1 2  0, т.е. 1 и 2 одного знака, и 1  2  0 .Собственным значениям 1 и 2 соответствуют собственныевекторы (естественно, различные).

Общее решение имеет вид275 x1  1t x2  2t x   C1  y  e  C2  y  e . y 1 2При C1  0 ,C2  0и C1  0 ,C2  0(29.3)траекториями являютсяx x лучи, на которых лежат собственные векторы  1  и  2  y2  y1  соответственно. Точке 0,0 для всех траекторий отвечает t .Данное положение равновесия называется неустойчивым узлом(см. рис. 29.5).Рис. 29.5Рис. 29.6Пусть теперь 1   2  0 . Общее решение имеет тот же видx x  x   C1  1 e 1t  C 2  2 e 2t . y y1  y2 Лучи по-прежнему являются траекториями, но направление их противоположное, к точке 0,0 приустойчивый узел (см.

рис. 29.6).t   . Точка  0,0 —Если одновременно C1  0 , C2  0 , то траектории, как вслучае неустойчивого узла так и устойчивого, располагаютсямежду лучами,являютсяискривленнымитраекториями.276Траектории в0,0касаются луча, вдоль которого расположенx вектор  2  , а на бесконечности они почти «параллельны» y2 x вектору  1  . y1 29.4. СедлоПусть 1 2  0, т.е. 1 и 2 разного знака, 2  0  1 ,Общее решение имеет вид x1  1t x2  2t x y   C1  y  е  C2  y  е .  1 2ПриC1  0 ,C2  0иC1  0 ,C2  0траекториямиx являются лучи, на которых лежат собственные векторы  1  и y1  x2   соответственно (см. рис.

29.7). На луче, соответствующем y2 x собственному вектору  1  , «движение» идет от положения y1  равновесия 0,0 , на другом луче — к положению равновесия.Лучи являются асимптотами для остальных траекторий. Данноеположение равновесия называется седлом. Эти остальныеx траектории при t   «почти» параллельны вектору  1  , а y1 приxt   «почти» параллельны вектору  2  . y2 277Рис. 29.729.5. ФокусПусть корни характеристического уравнения комплексные,причем и действительная и мнимая части не равны нулю:1,2  p  iq, p  0, q  0 .Комплексному корню соответствует комплексный собственный вектор, а комплексно-сопряженному корню — комплексно-сопряженный собственный вектор, что непосредственно следует придействительныхкоэффициентахнормальнойсистемыдифференциальных уравнений из системы линейных однородныхалгебраических уравнений для определения составляющихсобственного вектора:b   x0   0 a      .d     y0   0  cЧтобы убедиться в этом, следует поставить знак операциисопряжения над системой алгебраических уравнений ивоспользоватьсясвойствомперестановочностиоперацийсопряжения и арифметических.

Комплексному корню   p  iqотвечает решение278 x     i  ( p iq )t y      i  е    cos qt   sin qt    sin qt   cos qt  е pt i .  cos qt   sin qt    sin qt   cos qt  Действительная и мнимая части решения — тоже решения —линейно независимые решения. Запишем обшее решение: x  cos qt   sin qt   sin qt   cos qt  pt  y   е C1   cos qt   sin qt   C2   sin qt   cos qt   .  Выражение в квадратных скобках является периодическимвектором с периодом 2 .

Без учета множителя е pt имеем дляqвектора — решения:x  A cos qt  B sin qt ,y  C cos qt  D sin qt ,cos qt xD  yBxC  yA, sin qt .AD  BCBC  AD(29.4)В координатах   xD  yB,   xC  yA получим уравнение окружности или дважды проходимого при изменении t от 0 до2 / q отрезка. Докажем, что это уравнение окружности, чтогарантируетсяAD  BC  0 . Подсчитаем непосредственноAD  BC , получимAD  BC  (C1  C2 )(   ) .22Первый сомножитель отличен от нуля.

Второй сомножительне может быть нулем, так как если бы он был равен нулю, тосоставляющие комплексного собственного вектора различались быдействительным множителем, а значит, имелся бы идействительный собственный вектор.При возвращении к координатам x, y получим такжезамкнутую траекторию — кривую второго порядка — эллипс,проходимый против или по часовой стрелке.

После умножения нае pt получим спираль, раскручивающуюся при p  0 . Такоеположение равновесия называется неустойчивым фокусом (см.рис. 29.8).279Рис. 29.8Рис. 29.9При p  0 получим закручивающуюся сприраль. Такоеположение равновесия называется устойчивым фокусом (см.рис. 29.9).Направление раскручивания или закручивания (т.е. по илипротив часовой стрелки) можно определить по исходной системеx  ax  by,y  cx  dy,полагая в ней, например x  1, а y  0 . Если c  0 , то y  c  0, и движение происходит против часовой стрелки. Если c  0 , то  c  0 , и движение происходит по часовой стрелке.

При c  0y(как и при b  0 ) комплексных корней быть не может.29.6. ЦентрВ этом случае чисто мнимых корней характеристическогоуравнения1, 2  iqтраектории являются замкнутыми —кривыми второго порядка — эллипсами. Направление движенияопределяется аналогично фокусу. Такое положение равновесияназывается центром. Если в точке (1,0) определить не только y ,но и x , то этим определится наклон траектории, а значит, и«наклон» эллипса к осям координат (см. рис.

29.10).280Рис. 29.1029.7. Кратные корниКратные корни 1  2 могут быть только действительными.Если существует базис из собственных векторов, то общеерешение имеет вид xt  x1 t  x2  y   C1е  y   C2е  y  .  1 2(29.5)Любой ненулевой вектор является собственным. Такое положение равновесия называется дикритическим узлом, неустойчивымпри   0 и устойчивым при   0 (см.

рис. 29.11).Рис. 29.11Если базиса из собственных векторов нет, то общеерешение имеет вид281 x  x t  x  t   x1    е C1    C 2  2 1  , y y 2  y1t   y1 (29.6)x x где  1  и  2  — соответственно собственный и присоединен y2  y1 ный векторы.

При   0 такое положение равновесия называетсянеустойчивым узлом, а при   0 — устойчивым узлом. Приизображении фазовых траекторий исследуют знаки и величинупроизводныхx 1;0  и y 1;0  (см. рис. 29.12).Рис. 29.12Замечание. При исследовании устойчивости положения равновесия в случае одного уравнения второго порядка последнее сводится к нормальной системе заменой x  y и фазовый портретрассматривается в координатах x , y  x .

Так, для уравненияx  ax  bx  0после замены получимx  y,y  bx  ay.Пример 1.x  6x  9x  0 .x  y,y  9 x  6 y, 2  6  9     3  0, 1,2  3.2282Положение равновесия является неустойчивым узлом. Собственный и присоединенный векторы равны соответственно 1 0h1    , h2    , и общее решение имеет вид 3 1 x   1 t   3t   C1    C2  e . y    31  3t  29.8. Неизолированные положения равновесияРассмотрим систему, определитель матрицы которой равеннулю:x  ax  byy  cx  dy,a bc d ad  bc  0 .(29.7)Одним из корней характеристического уравнения 2  (a  d )  (ad  bc)  00является 1  0 , другим корнем — 2  a  d .Пусть 2  0 .

Прямая ax  by  0 представляет множествоточек — положений равновесия. Это неизолированные положения равновесия. Общее решение имеет вид x bb   C1    C 2 е 2t   . y a d (29.8)Движение происходит параллельно собственному вектору,соответствующему  2 , от прямой ax  by  0 при 2  0 или кпрямой ax  by  0 при 2  0 (см.

рис. 29.13).283Рис. 29.13Пусть теперь оба корня равны нулю 1  2  0 . Тогдаa  d  0 , bc  a2 . Общее решение имеет вид x b  0  bt  y   C1  a   C2  1  at  .  (29.9)Движение происходит параллельно прямой ax  by  0 (см.рис. 29.14). Какой из двух вариантов выбрать, определяем по знакам компонент x или y .Рис. 29.14Наконец, в случае системыx  0,y0все точки фазовой плоскости — положения равновесия.284§30. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ30.1. Устойчивость решения по ЛяпуновуРассмотрим нормальную систему (не обязательно автономную)dyi i (t , y1 , y2 ,dtРешение этой системыi  1, 2,, yn ), i  1, 2, t , n.c компонентамиi (t ) ,, n , называется устойчивым по Ляпунову, если для лю-бого   0 существует   0 такое, что для любого решения этойсистемыy  t  с компонентами yi (t ) ,начальныймоментвремениi  1, 2,, n , которое вудовлетворяетусловиюy(t0 )   (t0 )   , оно в любой более поздний момент t  t 0 удо-влетворяет условиюy(t )   (t )   .

Характеристики

Список файлов лекций