Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Любой другой первый интеграл  (x , y , z ) есть произвольная дифференцируемаяфункция этих первых независимых интегралов:(32.8) ( x, y, z)  W ( 1 ( x, y, z), 2 ( x, y, z))  C .32.5. Общее решение уравнения в частныхпроизводныхИз двухпараметрического семейства векторных линий1 ( x, y, z)  C1 ,  2 ( x, y, z)  C2составим произвольное однопараметрическое, задавая непрерывную дифференцируемую зависимость между параметрами C 1 иC 2 : (C 1,C 2 )  0 . Исключая C 1 и C 2 , получим новое уравнениевекторных поверхностей(1(x , y , z ),  2 (x , y , z ))  0(исходные первые интегралы 1 ( x, y, z)  C1 ,  2 ( x, y, z)  C2также являются векторными поверхностями при задании констант).Выражение(32.9)(1(x , y , z ),  2 (x , y , z ))  0является общим интегралом квазилинейного уравнения, зависящим от произвольной дифференцируемой функции двух переменных.В случае однородного линейного уравненияP( x, y, z )UUU Q( x, y, z ) R( x, y, z )0xyzполучим общее решение:U (x , y , z )  F (U1(x , y , z ),U2 (x , y , z )) ,(32.10)F  C1 — произвольная функция первых интеграловU1(x , y , z ),U2 (x , y , z ) автономной нормальной системы, которые также являются решениями:U  U1 ( x, y, z), U  U 2 ( x, y, z ) .В случае n независимых переменных однородного линейного уравнения для общего решения получим следующее выражение:где315U ( x)  F (U1 ( x), U 2 ( x), , U n1 ( x)),(32.11)где F — произвольная дифференцируемая функция независимыхпервых интегралов - решений системы.32.6.

Задача КошиПусть требуется найти не произвольную векторную поверхность, а поверхность, проходящую через кривую, заданную как пересечение двух поверхностей(32.12)1 ( x, y, z)  0, 2 ( x, y, z)  0 .Эти два уравнения вместе с первыми интегралами нормальной автономной системы(32.13)1 ( x, y, z)  C1 ,  2 ( x, y, z)  C2определяют связь между C 1 и C 2 .

Для этого из трех уравненийнаходим x , y , z как функции C 1 и C 2 и подставляем в четвертоеуравнение (C 1,C 2 )  0 . Последняя связь определяется исходнойкривой, через каждую точку которой проходит одна векторная линия, принадлежащая и некоторой поверхности  1  C 1 , и одновременно некоторой поверхности  2  C 2 , т.е.

каждой точке кри-вой соответствует одно значение C 1 и одно значение C 2 . В итогенайдём вид зависимости (C 1,C 2 )  0 , а значит, и интеграл уравнения (частный интеграл):(32.14)(1(x , y , z ),  2 (x , y , z ))  0 .Аналогично находится и частное решение по общему:(32.15)U (x , y , z )  F (U1(x , y , z ),U2 (x , y , z )) ,где вид F не произвольный, а найден исходя из условий задания,т.е.

прохождения поверхности через кривую.Задача Коши становится неопределённой, если сама заданная линия является характеристикой, её можно включать в различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.На рис. 32.2 и 32.3 изображены разные случаи задания кривой, через которую проводится векторная поверхность.316Рис. 32.2Рис. 32.3Пример 2. Найти общее решение и решить задачу Коши: y  z  ux   x  z  uy  z uz  0,33u  x, y ,1  y 2  x 2 ,y  0, z  0.Составим уравнения характеристикdxdydz.33yzxzzИспользуя свойство пропорции, получимdx  dydzd ( x  y ) dz  0,  0,33yz  x zzx yzd (ln( x  y)  ln z )  0,и первый первый интеграл имеет видC1   x  y  z .Еще раз используя свойство пропорции, получимdx  dydz,33y  z   x  z  zd  x  ydz ,3 x  y   2z zd  x  y x  y 2 z 2 , x  y  C2 z  z 3 ,dzzи второй первый интеграл равенC2 x y z2 .z317Последний результат можно получить по-другому.

Запишемсоотношениеdxdzи подставим в него выражение для y из3yzzпервого интеграла (на фазовой траектории первый интеграл —константа):yC1 x,zdxC1 x  z3zdz,zdx x 2 C1 z  2 .dz zzОбщим решением последнего уравнения являетсяz 3 C1.2 2zПодставляя в него C1   x  y  z, получимx  Az z3 x  yx  y z2x y 2x  Az  , A , C2 z .222z2zОбщее решение имеет видx yu  x, y, z   f   x  y  z, z2  .zДля определения вида зависимости функции f от своих аргументов используем начальное условие u  x, y,1  y  x .

Име2ем2y 2  x 2  f  x  y, x  y  1 .Обозначим первый и второй аргументы  и  соответственноx  y   , x  y 1   .Получим   1   1x, y,22y 2  x 2   (  1), f ( , )   (  1).Подставляя вместо  ,  выражения этих аргументов черезx, y, z , получим решение задачи Коши:318 x yu  x, y, z     x  y  z  z 2  1   x  y   z 3  z  y  x  .zПример 3. Решить задачу Коши для квазилинейного уравненияyzzz xz  xy, x  1,xyy2  z2  1 ,т.е. поверхность, удовлетворяющая квазилинейному уравнению,проходит через окружность.

Запишем уравнение характеристикdx dy dz .yz xz xyПервыми интегралами являютсяC1  x2  y 2 , C2  y 2  z 2 .Найдем связь между первыми интегралами на окружности:x  1, y 2  z 2  1 .Для этого исключим из системы уравненийC1  x 2  y 2 ,C2  y 2  z 2 ,x  1,2y  z2  1аргументы x, y, z . Получимx  1,y 2  x2  C1  1  C1 , z 2  y 2  C2  1  C1  C2 .2Подставим y 2 и z в последнее уравнение1  C1  1  C1  C2  1, 2C1  C2  1 .На искомой поверхности, являющейся решением задачи Коши, имеемC1  x2  y 2 , C2  y 2  z 2 .В итоге получим2 x2  2 y 2  y 2  z 2  1, 2 x2  y 2  z 2  1 .Поверхность является двуполостным гиперболоидом, точнеетой его частью, которая расположена при x  0.319ЗаключениеВ настоящем учебном пособии представлены все основныеразделы курса «Дифференциальные уравнения».

В нем достаточномного рисунков и задач, способствующих углубленному восприятию теоретического материала. Более подробно изложены разделы,востребованные в последующих учебных дисциплинах, в частности в «Уравнениях математической физики», а также в дальнейшейнаучно-исследовательской работе. Особое внимание уделено вопросам поведения решения линейных уравнений при малых и больших значениях параметров и влиянию на постановки оптимизационных задач класса допустимых функций.

Для более прочногоосвоения курса и долговременной памяти о нем студентам необходимо самостоятельно решить большое количество задач, не пренебрегая утомительными выкладками.320Литература1. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М.: Наука, 1980.2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационноеисчисление. М.: Наука, 1969.3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос.изд. физ.-мат.

лит., 1958.4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Гос. изд.техн.-теор. лит., 1953.5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.7. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.-СПб.: Физматлит, 2000.8. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.9. Егоров А.И.

Обыкновенные дифференциальные уравнения сприложениями. М.: Физматлит, 2005.10. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983.11. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / под ред. В.К. Романко. М.: Физматлит,2002.12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1985.321Учебное изданиеКупцов Леонид ПетровичНиколаев Владимир СтепановичКУРС ЛЕКЦИЙПО ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ2-е издание, переработанное и дополненноеРедактор И.

А. Волкова. Корректор О. П. КотоваКомпьютерная верстка: А. В. Полозов, Н. Е. Кобзева.Подписано в печать 21.05.2015. Формат 60  84 1/16. Усл. печ. л. 20,25.Уч.-изд. л. 19,55. Тираж 200 экз. Заказ № 197.Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Московский физико-технический институт (государственный университет)»141700, Московская обл., г.

Долгопрудный, Институтский пер., 9Тел. (495) 408-58-22, e-mail: rio@mail.mipt.ru___________________________________________________________Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9Тел. (495) 408-84-30, e-mail: polygraph@mipt.ru.

Характеристики

Список файлов лекций