Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

 не целое и не полуцелое),то формула для бесселевой функции годится и для отрицательногопорядка (   ).Общим решением дифференциального уравнения Бесселяявляется при не целом 2 следующее выражение — линейная комбинация бесселевых функций  и (  ) порядков:Еслиy  C1 J ( x)  C2 J  ( x).(28.11)— целое, то при    формально коэффициентыпри n  0, 1, 2, , (v  1) в выражении для J  (x) равны нулю,так как стоящий в знаменателе множитель равен бесконечности:(n  1  )   ,и суммирование можно начать ссацию, получимJ  ( x)  n 0n   .

Проводя также переиндек-(1) n x Г (n  1) Г (n  1  )  2 (1) n x n  Г ( n  1) Г ( n  1  )  2 2 n n  m(1) m x (1)  m  0 Г ( m  1   ) Г ( m  1)  2 2 n 2 m  (1) J ( x).Функции J  (x) и J (x) линейно зависимы и второе линейно независимое решение имеет другой вид.1В случае, если  — полуцелое,   k  , то J  (x) и2J (x)также линейно независимы, что следует, в частности, изасимптотики при x  0 , и общее решение уравнения такжеимеет видy  C1J ( x)  C2 J  ( x) .При  целом второе решение может быть получено в принципе по формуле Лиувилля. Рассмотрим ниже другой прием, кото265рый приведет к новому классу функций. Приемцелом,  n , име-J  n ( x)  (1)n J n ( x)  cos  nJ n ( x) .Пусть сперва   n , тогда линейная комбинацияcos  J ( x)  J  ( x)sin  также является решением. У этого выражения есть предел при ncos  J ( x)  J  ( x).(28.12)sin Функция N ( x) называется функцией Неймана или функциейБесселя второго рода:cos  J ( x)  J  ( x)(28.13)N ( x) sin (при   n так обозначается предельное значение выраженияN ( x) после применения правила Лопиталя).N n ( x)  lim nОбщим решением уравнения Бесселя при произвольномявляетсяy( x)  C1 J ( x)  C2 N ( x) .(28.14)Функциями Бесселя третьего рода являются следующиефункции:H(1)  J  iN , H(2)  J  iN .(28.15)Их также называют функциями Гаммеля первого и второгорода соответственно.

Эти функции комплексно-значны даже придействительном аргументе.В случае функции Бесселя первого рода с полуцелым индексом ее можно выразить через элементарные функции, причем этоединственный класс бесселевых функций, который обладает этимзамечательным свойством (последнее принимаем без доказатель1ства). Для    в этом можно убедиться достаточно просто.2266Докажем, что эти функции ведут себя почти как синус и косинус, с теми же нулями, но амплитуда уменьшается как1x(см.рис.

28.3 и 28.4).Рис. 28.3Рис. 28.4J 1 ( x) 22sin x,x(28.16)2J  1 ( x) cos x.2xПри доказательстве используем2n n!  2  4  6(2n)  (2n)!!,2671 3  5(2n  1)  (2n  1)!!,     ,  n   n!,1 3 2n  1(2n  1)!! 1 n       ,2 222n 21(2n  1)!! n  1    .22n1Получим2n1x 2(1) n  2  (1) n x 2 n 122J 1 ( x) sin x,21 x n 0 (2n  1)!xn 0Г (n  1) Г  n  1  22n1x 2(1)  2  (1) n x 2 n22J  1 ( x) cos x.21 x n 0 (2n)!xn0Г (n  1) Г  n  1  2n28.1. Асимптотическое поведение функций БесселяВ уравнении Бесселя сделаем замену функцииx 2 y  xy  ( x 2  p 2 ) y  0 ,yu .xК такой замене в данном случае сводится преобразованиеЛиувилля, приводящее уравнение Бесселя к уравнению с «почтипостоянными» коэффициентами при больших значениях аргументаx .

Получим12 p 4u  1 u  0.x2 Ранее было установлено, что два линейно независимых решения уравнения такого типа ведут себя при больших значенияхаргумента следующим образом:26811u1 ( x)  cos x  O   , u 2 ( x)  sin x  O   .x  xНапомним, что если коэффициент приuведёт себя как 1 1  O 1  , то добавочный член в решении ведёт себя какx  1O x . Возвращаясь к функции y( x) , получим с добавлениеммножителяy1 ( x) 2 1 cos x  O  3/ 2  ,xx 2 1 y2 ( x ) sin x  O  3/ 2  .xx (28.17)Дадим без доказательства выражения для функций Бесселяпри больших значениях аргумента при конкретных значениях индекса:J ( x ) 2  cos  x    O  x 3/2  ,x2 42n 3/2J 1 ( x) sin  x   O  x .nx2 2(28.18)В частном случае n  0 и n  1 дополнительный член равеннулю.

Для функции Неймана имеем оценкуN ( x) 2   sin  x    O  x 3/ 2  .x 2 4(28.19)Из структуры асимптотических представлений видно, чторасстояние между последовательными нулями стремится к  , аамплитуда плавно уменьшается с увеличением аргумента как1 ,xт.е. функции Бесселя ведут себя как «испорченные» синус или косинус.28.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям БесселяВ уравнении Бесселя269x 2 y  xy  ( x 2  p 2 ) y  0произведем простую одновременную замену аргумента и функцииx   t  , y  t u ,(28.20)в которую входят три постоянных параметра  ,  ,  , четвертымпараметром является параметр p самого уравнения Бесселя.

После подстановки придем к уравнению видаt 2u  atu  (b  ct m )u  0 ,(28.21)где штрих означает производную по аргументу t , а константыa, b, c, m связаны с параметрами  ,  ,  , p следующими соотношениями:a  2  1, b   2   2 p2 , c   2 2 , m  2 .Полученная алгебраическая система служит для определенияпараметров, конкретизирующих замену переменных  ,  ,  , ипараметра самого уравнения Бесселя p .Замечание. Не при всяких параметрах a, b, c, m уравнениеприводится к уравнению Бесселя. Так, необходимо потребоватьm  0, c  0 .Это позволит определить  0,   0 .Затем по a найдём  , а по  ,  , b найдём p .

Однако может оказаться, что p  0 , и тогда появляется третье ограничение напараметры a, b, c, m .2270§29. НОРМАЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯСИСТЕМАНормальная система дифференциальных уравнений, праваячасть которых не зависит от аргумента, называется автономной:x  f ( x), t  (t1 , t2 ),x1  f1 ( x1 , x2 ,, xn ),x2  f 2 ( x1 , x2 ,, xn ),.................xn  f n ( x1 , x2 ,x n(29.1), xn ),, f ( x)  C1    , x0  , t0  (t1 , t2 ).Рис. 29.1При данных условиях, предъявляемых к функции f ( x) , выполняются требования теоремы существования и единственностирешения задачи Коши. Функция f ( x) определяет поле направлений — через t 0 , x0 проходит единственная интегральная кривая,или траектория, в n1 (хотя бы локально).

Проекция траекториина пространство n называется фазовой траекторией, а само проn, x1 , x2 , ..., xn , называется фазовым пространством.странствоНа рис. 29.1 стрелкой отмечается направление возрастания «времени» t , или ориентация кривой.271параметру t траектории не ограничены, заменане приводит к какому-либо изменению полянаправлений — происходит лишь сдвиг по времени:Поt  Cx    t      C      ,dx d  t  f   t   ,dtdtdx d   f     .ddДве фазовые траектории, содержащиесовпадают, различаясь лишь меткой времени:x1    t  , x2    t  ,общиеточки, t1 , t2  :  t1    t2     t  C     t  , C  t2  t1.Таким образом, через каждую точку a единственная фазовая траектория.При увеличении или уменьшении параметратраектория либо не имеет ограничения попроходитt фазоваяt , t1  t  t2 , t1   ,или t2   , либо достигает границы области  .Рассмотренные выше простые свойства позволяютсформулировать теорему, если   n .Теорема.

Любая фазовая траектория принадлежит одномуиз трех типов:1 —у траектории нет самопересечений,2 —t  ,   t   a  const, f  a   0 — положение рав-новесия,3 —  (t )  const, T  0 t  ,  (t  T )   (t ) ,  t — периодическая функция, Т — период, такая траектория называетсяциклом.Поопределению:еслии t   const t1    t2 , t2  t1  0 , то С  t2 t1 — период.29.1. Теорема о множестве периодовТеорема. Пусть C — множество всех периодов, причемнепустое. Тогда существует c  min C .272Доказательство.

Рассмотрим все возможности:1) infC  minC  0 , по определению периода такого бытьне может, т.к. период — положительное число.2) inf C = 0, min C не существует. Но тогда существует последовательность периодов Ck :lim Ck  0 .k Рис. 29.2Любое число можно представить как сумму его целой идробной частей: V  V   V  .Для любого t имеем t  t t     C k      C k Ck   Ck  t   t    C k      C k    0,Ck    Ck   t    0 и  t   const, чтопо свойству непрерывностипротиворечит условию (понятие период лишь для функций  t   const ) (см.рис.

29.2).3) inf C  min C  0, что и требуется доказать, и будетдоказано от противного после исключения четвертой возможности.4) inf C  0, min C не существует. ПустьТогдасуществуетпоследовательностьlim Ck  C0 . Для любогоk t{C k }inf С  C0  0 .такая,чтоимеем  t  C0     t  lim Ck   lim   t  Ck     t k k по свойству непрерывности   t  . Получим, что C0 являетсяпериодом, что противоречит предположению четвертого пункта(см.

рис. 29.3).273Рис. 29.3Следствие. Пусть T  0 — минимальный период. Тогдамножество всех периодов описывается формулой mT , m  N .Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Пусть C — период, не принадлежащий этому множеству,т.е. существует такое натуральное число m , чтоmT  C  m  1T .Вычтем из неравенства mT , получим0  C  mT  T .Но этого не может быть, так как положительная разностьпериодов — тоже период, а эта разность оказалась меньшеминимального периода.29.2.

Характеристики

Список файлов лекций