Главная » Просмотр файлов » Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П.

Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 29

Файл №1238781 Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П.) 29 страницаКурс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781) страница 292020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Действительно,(F  g ) d(F  g )   g  0 .dxДоказательство. Пусть сначала уравнение поверхностиg (x , y , z )  0 задано в явном виде z   ( x, y) . Тогдаg  z  (x , y )  0 , а J можно рассматривать как функционал,зависящий от одной функции y (x ) . Распишем подробно подынтегральную функцию234bJ [ y ]   F  x, y ( x),  ( x, y ( x)), y( x),  x ( x, y( x))   y ( x, y( x)) y( x) dx ab  G  x, y, y dx.aНовая, с учетом зависимости z от x , y , функция удовлетворяет уравнению Эйлера, а полученная при его решении криваяy (x ) является экстремалью:Gy dG 0.dx y Распишем это уравнение в терминах исходной подынтегральной функции.

ПолучимddFy  ( Fzy ) dxdxdd Fy  Fz y  Fz (xy  yy y )  Fy   y Fz  Fz (xy  yy y )  0,dxdxddFy  Fy   y ( Fz  Fz )  0.dxdxFy  Fz y  Fz (xy   yy y ) Перейдёмкслучаюнеявногозаданияповерхностиg (x , y , z )  0 . По теореме о неявной функции имеемgz  y . Последняя формула оправдана, если g z  0 . Однакоygzесли g z  0 , то z и y можно «поменять местами» и все рассуждения останутся в силе. Важно лишь, чтобы одновременно не обратились в ноль g z иg y , а это предусмотрено условием теоремы.Заменяя в уравнении Эйлера y  (g y / g z ) , приведемуравнение к симметричному относительно y и z виду:ddFy  Fz Fdxdx z .gygzFy 235Вектор-функция — экстремаль — является функцией x .

Поэтому обе части уравнения будут функциями x , неизвестными дорешения задачи. Обозначая эту функцию ( ( x)) , получим окончательноdFy  0,dxdFz   g z  Fz  0.dxFy   g y 24.3. Вариационная задача для функции двухпеременныхРис. 24.2Рассмотрим функционал, зависящий от функции двух переменных. Областью интегрирования является некоторая односвязная ограниченная область на плоскости. Функцию z( x, y ) можнорассматривать как поверхность, натянутую на кривую в пространстве, проекцией которой на плоскость x, y является граница Cобласти D (см.

рис. 24.2):236z zV [ z ( x, y )]   F  x, y, z,,dxdy .(24.6) x  y DВ данном функционале функции F и z принадлежат неко-торому классу гладкостиz  C 2 (D), F  C 3 (D1 ), D1 5, D2.Значения функции z  z (x , y ) заданы на границе — задача с закрепленной границей. Обозначимzz p,q.xyДля поверхности сравнения имеемz( x, y, )  z( x, y)   ( z ( x, y)  z( x, y))  z( x, y)   z .Здесь исходная поверхность, предполагаемая экстремалью,обозначена z ( x, y), z ( x, y) задает форму поверхности сравнения,удовлетворяющую условиям закрепления, параметр  при егостремлении к нулю делает изменение поверхности сколь угодномалым,  z — вариация функции.Необходимым условием экстремума является равенство нулю вариации функционала при всех допустимых вариациях функции:V [ z ( x, y, )] V  0 . 0Имеем V   ( Fz z Fp p  Fq q)dxdy .DЗдесьz ( x, y ,  )  z ( x, y )   z,p ( x , y ,  )  p ( x , y )    p,q( x, y ,  )  q( x, y )    q.Пользуясь свойством перестановочности операций варьирования и дифференцирования( z )   p,( z )   q, можноxyзаписать:237[ Fp z ] [ F ] z  Fp p,xx p[ Fq z ] [ F ] z  Fq q.yy qВ этих формулахиобозначены так называемыеyx«полные частные производные», т.е.

при дифференцированиичастным образом по x или по y функции z, p, q считаются зависящими от x и y .Преобразуем интеграл от двух последних слагаемых в выражении для вариации  V : ( F  p  F  q)dxdy pqD   ( Fp z )  ( Fq z )  dxdy    ( Fp )  ( Fq )   zdxdy xyxyD D    ( Fq zdx  Fp zdy )    Fp  Fq   zdxdy.xy CD Выше при преобразовании первого слагаемого воспользовались формулой Грина, связывающей интеграл по области и интеграл по контуру.

В силу условия закрепления  z C  0 получим,подставляя в выражение для вариации функционала найденное соотношение для двух последних слагаемых и приравнивая вариациюфункционала нулю, следующее необходимое условие экстремума:  F   x FzDpFq  zdxdy  0 .y Для функции двух переменных имеется аналог основнойлеммы: необходимым и достаточным условием обращения в нольинтеграла: (x , y )(x , y )d x d yD2380,где функция ( x, y) непрерывна, а  ( x, y) — произвольная непрерывная функция, является тождественное равенство нулю в области D функции ( x, y) . Лемму легко доказать от противного,построив специальную функцию  ( x, y) , перейдя к локально полярной системе координат, с центром в точке, где по предположению ( x0 , y0 )  0 .

Зададим   x, y  в следующем виде:3k  r0  r  , r  r0 ,  x, y   r  r0 , 0,где при r  r0 функция   x, y  сохраняет знак, а k — малый постоянный параметр. Но тогда ( x, y ) ( x, y )dxdy  0Dи получим противоречие. Лемма доказана.Для того чтобы  F   x FzDpFq  zdxdy  0y выполнялось при произвольных допустимых вариациях  z , необходимо, чтобы выполнялось уравнение Остроградского — необходимое условие экстремума:Fz Fp Fq  0 .xy(24.7)В развернутом виде уравнение Остроградского имеет следующую форму:zpq Fz   Fpx  Fpz Fpp Fpqxxx zpq   Fqy  Fqz Fqp Fqq  0.yyy Пример 1.

Рассмотрим функционал z 2  z 2 V [ z ( x, y )]         dxdy .D  x   y  239(24.8)На границе ставим условие закрепления z  f ( x, y) . Получим следующее уравнение как уравнение Остроградского:2 z 2 z0,x 2 y 2и решение вариационной задачи свелось к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Замечание. На практике приходится сталкиваться с решением обратной задачи — ищут решение задачи Дирихле вариационными методами сведением последней к вариационной задаче.24.4. Задача БольцаПоставим задачу об экстремуме суммы некоторого функционала и некоторой функции, зависящей от координат концевых точек:x1V   F  x, y, y dx  G  x0 , y0 , x1 , y1  .x0Функция F отвечает известным требованиям гладкости, афункция G — дифференцируемая функция своих аргументов.

Координаты концевых точек (или часть из них) свободны. Используявыражение для вариации функционала в случае подвижных концов, получимV   F  Fy y  x1   F  Fy y  x0  Fy x  y1  Fy x  y0 x1x110GGGG x1  x0  y1  y0 .x1x0y1y0Уравнение Эйлера для функции F  x, y, y по-прежнемувыполняется, но граничные условия меняются, Если, например, закреплены x0 , x1 , y1 , то вместо «естественного» условия на левомконце на нем появляется другое:G Fy  0.x0y0В процессе решения некоторых прикладных задач есть примеры, когда задача об экстремуме функционала не имеет решения,240а переформулированная в задачу Больца оптимизационная задачарешается.Рассмотрим задачу о минимуме лобового сопротивления телавращения под нулевым углом атаки при больших сверхзвуковыхскоростях, когда для оценок сопротивления можно использоватькорпускулярную теорию Ньютона, согласно которой коэффициентдавления равенc p  2sin 2  ,где  — местный угол атаки.

Для сопротивления тела вращения сострым носком заданных габаритов получена формулаyy3X  4 q dx,1  y20ly  0  0,y  l   R,где q — скоростной напор набегающего потока, а интегрированиеосуществляется по боковой поверхности (см. рис. 24.3).Подынтегральная функция не зависит явно от x и в этомслучае у уравнения Эйлера имеется первый интегралF  yFy  const . Получим для рассматриваемого функционалаyy 31  y2 Рис. 24.32 C.Рис.

24.4241При x  0 значение y  0 и значение постоянной C  0 .Поэтому во всех точках поверхности либо y  0, либо y  0 , чтонельзя выполнить при заданных краевых условиях. Задача не имеетрешения в данной постановке.Откажемся от условия закрепления y0  0 . Тогда приy0  0 к сопротивлению боковой поверхности добавляется сопротивление носового затупления и задача переформулируется в задачу Больца (см. рис. 24.4).Для сопротивления получимyy3X  4 q dx  2 q y02 ,21  y0lДанная задача уже имеет решение.242y  l   R.§25.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕУРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАРассмотрим частный случай линейного однородного уравнения — уравнение второго порядка:(25.1)A(x )y   B (x )y   C (x )y  0 ,где x  (a, b) : A  0 , A, B, C  C (a, b) . Приведем это уравнение ктак называемому самосопряженному виду, что возможно лишьпри дополнительном ограничении на коэффициент при старшей1производной A  C  a, b  :d p( x) y  q( x) y  0,dxp  C 1 ( a, b) .(25.2)Умножим уравнение на неизвестный заранее множитель ( x) и получим уравнение для определения  ( x) : Ay   By  Cy  0,  B d( A),dxd ( A) B dx .AAРешая его, найдем (константа интегрирования положена равной единице, так как достаточно отыскать какое-либо частное решение): ( x) 1   B / Adx.еAЕсли A  0 , последняя операция всегда возможна, а приA  0 в уравнении появляется особая точка (кроме того, для приведения A  C1 (a, b) ).Привести уравнение к виду, не содержащему первой производной, можно разными способами. В первом способе следуетсперва привести уравнение к самосопряженному виду:ddy( p )  qy  0 .dx dxУмножая уравнение на p , получимddyp ( p )  pqy  0 .dx dx243Обозначим pddи pq  Q и перейдем к новому аргуdx dtменту.

Получим новое уравнениеd2y Q(t ) y  0 ,dt 2где dt (25.3)dxdx, t   . К недостаткам метода относится трудностьppопределения обратной замены, что необходимо для нахожденияфункции Q(t ) . К преимуществу метода следует отнести сохранение знака коэффициента перед y , так как можно всегда сделать,что при отсутствии особенностей на промежутке p( x)  0 (иначеумножим уравнение на ( 1 )). Ясно, что и t ( x) , и x(t ) — монотонные функции.При втором способе проводится замена функции.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
6,01 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее