Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Действительно,(F g ) d(F g ) g 0 .dxДоказательство. Пусть сначала уравнение поверхностиg (x , y , z ) 0 задано в явном виде z ( x, y) . Тогдаg z (x , y ) 0 , а J можно рассматривать как функционал,зависящий от одной функции y (x ) . Распишем подробно подынтегральную функцию234bJ [ y ] F x, y ( x), ( x, y ( x)), y( x), x ( x, y( x)) y ( x, y( x)) y( x) dx ab G x, y, y dx.aНовая, с учетом зависимости z от x , y , функция удовлетворяет уравнению Эйлера, а полученная при его решении криваяy (x ) является экстремалью:Gy dG 0.dx y Распишем это уравнение в терминах исходной подынтегральной функции.
ПолучимddFy ( Fzy ) dxdxdd Fy Fz y Fz (xy yy y ) Fy y Fz Fz (xy yy y ) 0,dxdxddFy Fy y ( Fz Fz ) 0.dxdxFy Fz y Fz (xy yy y ) Перейдёмкслучаюнеявногозаданияповерхностиg (x , y , z ) 0 . По теореме о неявной функции имеемgz y . Последняя формула оправдана, если g z 0 . Однакоygzесли g z 0 , то z и y можно «поменять местами» и все рассуждения останутся в силе. Важно лишь, чтобы одновременно не обратились в ноль g z иg y , а это предусмотрено условием теоремы.Заменяя в уравнении Эйлера y (g y / g z ) , приведемуравнение к симметричному относительно y и z виду:ddFy Fz Fdxdx z .gygzFy 235Вектор-функция — экстремаль — является функцией x .
Поэтому обе части уравнения будут функциями x , неизвестными дорешения задачи. Обозначая эту функцию ( ( x)) , получим окончательноdFy 0,dxdFz g z Fz 0.dxFy g y 24.3. Вариационная задача для функции двухпеременныхРис. 24.2Рассмотрим функционал, зависящий от функции двух переменных. Областью интегрирования является некоторая односвязная ограниченная область на плоскости. Функцию z( x, y ) можнорассматривать как поверхность, натянутую на кривую в пространстве, проекцией которой на плоскость x, y является граница Cобласти D (см.
рис. 24.2):236z zV [ z ( x, y )] F x, y, z,,dxdy .(24.6) x y DВ данном функционале функции F и z принадлежат неко-торому классу гладкостиz C 2 (D), F C 3 (D1 ), D1 5, D2.Значения функции z z (x , y ) заданы на границе — задача с закрепленной границей. Обозначимzz p,q.xyДля поверхности сравнения имеемz( x, y, ) z( x, y) ( z ( x, y) z( x, y)) z( x, y) z .Здесь исходная поверхность, предполагаемая экстремалью,обозначена z ( x, y), z ( x, y) задает форму поверхности сравнения,удовлетворяющую условиям закрепления, параметр при егостремлении к нулю делает изменение поверхности сколь угодномалым, z — вариация функции.Необходимым условием экстремума является равенство нулю вариации функционала при всех допустимых вариациях функции:V [ z ( x, y, )] V 0 . 0Имеем V ( Fz z Fp p Fq q)dxdy .DЗдесьz ( x, y , ) z ( x, y ) z,p ( x , y , ) p ( x , y ) p,q( x, y , ) q( x, y ) q.Пользуясь свойством перестановочности операций варьирования и дифференцирования( z ) p,( z ) q, можноxyзаписать:237[ Fp z ] [ F ] z Fp p,xx p[ Fq z ] [ F ] z Fq q.yy qВ этих формулахиобозначены так называемыеyx«полные частные производные», т.е.
при дифференцированиичастным образом по x или по y функции z, p, q считаются зависящими от x и y .Преобразуем интеграл от двух последних слагаемых в выражении для вариации V : ( F p F q)dxdy pqD ( Fp z ) ( Fq z ) dxdy ( Fp ) ( Fq ) zdxdy xyxyD D ( Fq zdx Fp zdy ) Fp Fq zdxdy.xy CD Выше при преобразовании первого слагаемого воспользовались формулой Грина, связывающей интеграл по области и интеграл по контуру.
В силу условия закрепления z C 0 получим,подставляя в выражение для вариации функционала найденное соотношение для двух последних слагаемых и приравнивая вариациюфункционала нулю, следующее необходимое условие экстремума: F x FzDpFq zdxdy 0 .y Для функции двух переменных имеется аналог основнойлеммы: необходимым и достаточным условием обращения в нольинтеграла: (x , y )(x , y )d x d yD2380,где функция ( x, y) непрерывна, а ( x, y) — произвольная непрерывная функция, является тождественное равенство нулю в области D функции ( x, y) . Лемму легко доказать от противного,построив специальную функцию ( x, y) , перейдя к локально полярной системе координат, с центром в точке, где по предположению ( x0 , y0 ) 0 .
Зададим x, y в следующем виде:3k r0 r , r r0 , x, y r r0 , 0,где при r r0 функция x, y сохраняет знак, а k — малый постоянный параметр. Но тогда ( x, y ) ( x, y )dxdy 0Dи получим противоречие. Лемма доказана.Для того чтобы F x FzDpFq zdxdy 0y выполнялось при произвольных допустимых вариациях z , необходимо, чтобы выполнялось уравнение Остроградского — необходимое условие экстремума:Fz Fp Fq 0 .xy(24.7)В развернутом виде уравнение Остроградского имеет следующую форму:zpq Fz Fpx Fpz Fpp Fpqxxx zpq Fqy Fqz Fqp Fqq 0.yyy Пример 1.
Рассмотрим функционал z 2 z 2 V [ z ( x, y )] dxdy .D x y 239(24.8)На границе ставим условие закрепления z f ( x, y) . Получим следующее уравнение как уравнение Остроградского:2 z 2 z0,x 2 y 2и решение вариационной задачи свелось к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Замечание. На практике приходится сталкиваться с решением обратной задачи — ищут решение задачи Дирихле вариационными методами сведением последней к вариационной задаче.24.4. Задача БольцаПоставим задачу об экстремуме суммы некоторого функционала и некоторой функции, зависящей от координат концевых точек:x1V F x, y, y dx G x0 , y0 , x1 , y1 .x0Функция F отвечает известным требованиям гладкости, афункция G — дифференцируемая функция своих аргументов.
Координаты концевых точек (или часть из них) свободны. Используявыражение для вариации функционала в случае подвижных концов, получимV F Fy y x1 F Fy y x0 Fy x y1 Fy x y0 x1x110GGGG x1 x0 y1 y0 .x1x0y1y0Уравнение Эйлера для функции F x, y, y по-прежнемувыполняется, но граничные условия меняются, Если, например, закреплены x0 , x1 , y1 , то вместо «естественного» условия на левомконце на нем появляется другое:G Fy 0.x0y0В процессе решения некоторых прикладных задач есть примеры, когда задача об экстремуме функционала не имеет решения,240а переформулированная в задачу Больца оптимизационная задачарешается.Рассмотрим задачу о минимуме лобового сопротивления телавращения под нулевым углом атаки при больших сверхзвуковыхскоростях, когда для оценок сопротивления можно использоватькорпускулярную теорию Ньютона, согласно которой коэффициентдавления равенc p 2sin 2 ,где — местный угол атаки.
Для сопротивления тела вращения сострым носком заданных габаритов получена формулаyy3X 4 q dx,1 y20ly 0 0,y l R,где q — скоростной напор набегающего потока, а интегрированиеосуществляется по боковой поверхности (см. рис. 24.3).Подынтегральная функция не зависит явно от x и в этомслучае у уравнения Эйлера имеется первый интегралF yFy const . Получим для рассматриваемого функционалаyy 31 y2 Рис. 24.32 C.Рис.
24.4241При x 0 значение y 0 и значение постоянной C 0 .Поэтому во всех точках поверхности либо y 0, либо y 0 , чтонельзя выполнить при заданных краевых условиях. Задача не имеетрешения в данной постановке.Откажемся от условия закрепления y0 0 . Тогда приy0 0 к сопротивлению боковой поверхности добавляется сопротивление носового затупления и задача переформулируется в задачу Больца (см. рис. 24.4).Для сопротивления получимyy3X 4 q dx 2 q y02 ,21 y0lДанная задача уже имеет решение.242y l R.§25.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕУРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАРассмотрим частный случай линейного однородного уравнения — уравнение второго порядка:(25.1)A(x )y B (x )y C (x )y 0 ,где x (a, b) : A 0 , A, B, C C (a, b) . Приведем это уравнение ктак называемому самосопряженному виду, что возможно лишьпри дополнительном ограничении на коэффициент при старшей1производной A C a, b :d p( x) y q( x) y 0,dxp C 1 ( a, b) .(25.2)Умножим уравнение на неизвестный заранее множитель ( x) и получим уравнение для определения ( x) : Ay By Cy 0, B d( A),dxd ( A) B dx .AAРешая его, найдем (константа интегрирования положена равной единице, так как достаточно отыскать какое-либо частное решение): ( x) 1 B / Adx.еAЕсли A 0 , последняя операция всегда возможна, а приA 0 в уравнении появляется особая точка (кроме того, для приведения A C1 (a, b) ).Привести уравнение к виду, не содержащему первой производной, можно разными способами. В первом способе следуетсперва привести уравнение к самосопряженному виду:ddy( p ) qy 0 .dx dxУмножая уравнение на p , получимddyp ( p ) pqy 0 .dx dx243Обозначим pddи pq Q и перейдем к новому аргуdx dtменту.
Получим новое уравнениеd2y Q(t ) y 0 ,dt 2где dt (25.3)dxdx, t . К недостаткам метода относится трудностьppопределения обратной замены, что необходимо для нахожденияфункции Q(t ) . К преимуществу метода следует отнести сохранение знака коэффициента перед y , так как можно всегда сделать,что при отсутствии особенностей на промежутке p( x) 0 (иначеумножим уравнение на ( 1 )). Ясно, что и t ( x) , и x(t ) — монотонные функции.При втором способе проводится замена функции.