Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Последнюю функциюможно представить в видеy  x  y  x   y  x ,208где функция  y  x  принадлежит линейному нормированномупространству и носит название вариация функции. Малому изменению функции соответствует малое изменение функционалаV  y  x   .В зависимости от допустимого класса функций оцениваетсястепень их близости.Близости нулевого порядка соответствует малая разностьy x   y1  x  (см. рис. 22.3).

Это можно рассматривать как близость по норме  .0Рис. 22.3Рис. 22.4Близости первого порядка соответствует малость разностейy  x   y1  x  , y  x   y1  x  (см. рис. 22.4). Это можно рассматривать как близость по норме  .1Близость k порядка — малы разностиy  x   y1  x  , y  x   y1  x  , ... , y k x   y1 k   x  .Вариацией функционала называется главная, линейная по отношению к  y часть его приращения.Дадим другое формальное определение вариации функционала, которое вполне эквивалентно предыдущему, т.е. приводит ктому же аналитическому выражению для вариации, но более удобное при выводе ряда соотношений вариационного исчисления:209(22.2)V  y x   y  . 0При последнем подходе  y не является малой величиной, аV задаёт «форму» приращения.

Малость приращения, или близостьисходной и изменённой кривой, придаёт множитель  , которыйстремится к нулю.Поставим задачу — найти кривую y x  , на которой функционал достигает максимума или минимума по сравнению с близки-ми кривыми. Если функционал, имеющий вариацию, V y x  , достигает максимума или минимума при y  y0  x , где y0 ( x) —внутренняя точка области определения функционала, то приy  y0  x должно выполняться V  0 . Докажем это необходимое условие экстремума.

Обозначим    V  y0  x    y  x  ,     0 V  y0  x    y  x   0.(22.3) 0При нарушении этого условия в силу линейности вариацииотносительно вариации функции вариация функционала меняетзнак при изменении знака вариации функции сразу во всех точках.Сильный максимум или минимум рассматривается по отношению к кривым, близким в смысле близости нулевого порядка.Слабый максимум или минимум рассматривается по отношению к кривым, близким в смысле близости первого порядка.В настоящем курсе ограничимся рассмотрением слабого экстремума.Операции варьирования и дифференцирования перестановочны:  y  x     y  x  .21022.4. Уравнение ЭйлераРис.

22.5Рассмотрим задачу с закреплёнными концами. Среди всехкривых, соединяющих две точки на плоскости, найти кривую, прикоторой реализуется экстремум функционала видаx1V  y x    F  x, y x . y  xdx,x0где y  x0   y0 , y  x1   y1 (см. рис. 22.5), а функции принадлежатследующим классам гладкости:y  x   C 2  x0 , x1  , F  x, y, y  C 3  D  , D Замечание.Повышенныйкласс3гладкости.функцииF  x, y, y  требуется при анализе второй вариации функционала,которая в настоящем курсе не рассматривается. Требования к существованию непрерывной второй производной y  x  , не входящей в подынтегральную функцию, необходимы для вывода основного необходимого условия — уравнения Эйлера.Пусть экстремум достигается на кривой y x  .

Кривая, с которой происходит сравнение, обозначена ниже y  x  . Эта допу211стимая кривая задаёт новую форму кривой, а разность задаёт форму изменения кривой. Эта разность называется вариацией  y ,множитель  позволяет сделать изменение функции сколь угодномалым:y  x,    y  x     y  x   y  x   , y  y  x   y  x  , y  x,    y  x    y ,V  y  x,        .Необходимым условием экстремума является равенство нулю производной   0  0 . Интегрируя по частям и используяусловия закрепления концов, получимx1 ( )   F  x, y ( x,  ), yx ( x,  ) dx,x0x1 FF ( )     y   y dx,yyx 0x1 (0)    Fy ( x, y, y) y  Fy ( x, y, y) y dx x0x1 Fy  y 0 x0x1d   Fy  Fy   ydx.dx x0 Необходимым условием экстремума является равенство нулю интегралаx1  Fyx0dF  ydxdx y  при всех допустимых вариациях  y .

Оказывается, что последнеевозможно лишь при подынтегральной функции, тождественно равной нулю.212Докажем основную лемму. Если для каждой непрерывнойx1  x  x  dx  0 , x  интегралгде  x непрерывна наx0 x , x  , то  x  0 на  x , x  .0011Доказательство проведём методом от противного.Рис. 22.6   0 . Тогда в силу непрерывности она сохраняетПусть  x*знак на x0  x  x1 . Выберем  x  следующим образом (см.рис. 22.6):33k  x  x0   x1  x  , x0  x  x1 ,  x  x   x0 , x0 0, x1, x1 .Функция  x  сохраняет знак на промежутке x , x  , ма01лость  x  достигается за счёт параметра k .

Очевидно, что при таком выборе  x  интеграл отличен от нуля, что противоречитпредположению.В итоге имеем следующее необходимое условие экстремума:Fy dF  0,dx y (22.4)которое называется уравнением Эйлера. В этой формуле производная по x — полная производная и при дифференцировании по xвторой и третий аргументы функций y, y являются функциямиx . Запишем уравнение Эйлера в видеFy  Fxy  Fyy y   Fyy y   0 .(22.5)213Уравнение Эйлера является дифференциальным уравнениемвторого порядка. Его выполнение — необходимое условие экстремума.

Интегральные кривые уравнения Эйлера зависят от двух не-зависимых параметров y  y x, C1 , C2 и называются экстремалями.Константы для каждой конкретной задачи найдутся послеучета краевых условий: y( x0 )  y0 , y( x1 )  y1 .Замечание. Решение краевой задачи, как известно, возможноне при всяких условиях, а выполнение необходимого условия негарантирует наличие экстремума.Рассмотрим частные случаи задания подынтегральной функции, в том числе тривиальные.Пусть функция не зависит отy  , F  F  x, y  . ТогдаFy  0 и лишь в исключительных случаях кривая пройдёт черезточки x0 , y0 , x1 , y1 .неёПусть функция F имеет вид F  M x, y  N x, y y  . Дляуравнение Эйлера тоже сводится к алгебраическому,M N0y xирешение,проходящеечерез x , y ,  x , y  , имеется в исключительных случаях.Пусть функция F имеет вид F  F  y  . Тогда F001точки1yyэкстремалями являются прямые y  C1 x  C2 .y  0 , иПусть функция F имеет вид F  F x, y  .

В этом случаесуществует первый интеграл Fy  x, y   C .Наконец, самый интересный случай, часто встречающийся вприложениях, когда функция F имеет вид F  F y, y  . Запишем уравнение Эйлера:Fy  Fyy y   Fyy y   0 .Если его домножить на y  , то оно будет являться производной214y Fy  Fyy y   Fyy y  dF  yFy   0 ,dxчто легко проверяется. Значит, имеет место первый интеграл(22.6)F  y Fy  C .22.5.

Исследование на минимум или максимумДостаточные условия экстремума весьма сложны и в настоящим курсе не доказываются. Однако в ряде частных случаев исследование можно довести до конца. Рассмотрим функционал видаV  y x  x1 F  x, y, y dx ,x0F  A x   B x  y  C x  y   D x  y 2  2E x  yy   F  x  y  2 .Точное значение приращенияV  V  y ( x)   y ( x)   V  y ( x)  x1   B y  C y  2 Dy y  2 Ey y  2 Ey y   2Fy  y dx x0x1   D( x) y 2  2 E ( x) y y  F ( x) y2 dxx0Если y x  — экстремаль, то первый интеграл, являясь первой вариацией, обращается в ноль, и остаётся проанализироватьвторой интеграл, подынтегральная функция которого при каждомx — квадратичная форма относительно y, y  .Достаточным условием экстремума является выполнениекритерия Сильвестра в каждой точке x 0 , x1 .

Именно:D( x ) E ( x)E ( x)F ( x) 0 x,D( x)  0 x  min,D( x)  0 x  max.Если вышеупомянутые условия не выполняются, это не означает, что экстремума нет, так как вариации  y и y  не являютсянезависимыми. Избавимся от второго слагаемого в подынтегральном выражении, проинтегрировав его по частям. Получим215x1V    D y 2  2 E y y  F y2 dx x0x1 E y02x0dE  22   D   y  F y dx.dx x0 x1(22.7)В таком виде исследование на экстремум значительно проще.Если  D  E  и F одного знака и не меняют его на всем промежутке, то имеем минимум или максимум. В противном случаеможно попытаться придумать контрпример, т.е.

придумать дветакие вариации, согласующиеся с условиями закрепления:1 y  f1  x  ,  2 y  f 2  x  , f1  x0   f1  x1   f 2  x0   f 2  x1   0 ,что в одном случае приращение интеграла окажется больше нуля, ав другом меньше нуля, и тогда экстремума нет.Пример 1. Найти экстремаль и исследовать на экстремум12J  y     x5/ 2 y2  x1/ 2 y 2  x5/ 2 y  2 x1/ 2 y  dx , y(1)  14, y(4)  6.514Запишем уравнение Эйлера:d  12 5/25/2 x  2 x y    0,dx  55x 2 y   xy   y  1  3x.22 x1/2  2 x1/2 y Общее решение этого уравнения имеет видy  C1 x1/ 2 C2 2x 1 .x2С учетом краевых условий получим уравнение экстремали:y  x1/ 2 равно16 2x 1 .x2Исследуем на экстремум, полное приращение функционала422J  y   y   J  y     x5/ 2  y   x1/ 2  y   dx  0 .1Функционал достигает своего минимума на экстремали.21622.6.

Достаточные условия слабого минимума(без доказательства)x1Для слабого минимума функционала F  x, y, y dxв зада-x0че с закрепленными концами такими условиями являются усиленные условия Лежандра и Якоби. Пусть найдена экстремаль (т.е.решение уравнения Эйлера), проходящая через точки  x0 , y0  и x1 , y1  .Далее функция F  x, y, y  и ее частные производныерассматриваются на экстремали, т.е. как уже известные функцииx. Усиленным условием Лежандра является выполнение длявсех x   x0 , x1  следующего неравенства:2 F 0.y2(22.8)Затем следует найти нетривиальное решение уравненияЯкоби, обращающееся в ноль приx  x0 , u( x0 )  0 : 2 F d 2 F d  2 F uu   0 . 2dx yy dx  y2  y(22.9)Если это решение, кроме x0 , на промежутке  x0 , x1  нигде вноль не обращаетсяx   x0 , x1  : u  x   0,(22.10)то считается выполненным усиленное условие Якоби.Замечание.

Характеристики

Список файлов лекций