Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Докажем это замечательное свойство.Известно, что умножение матрицы справа на числовую матрицу B приводит к матрице, столбцы которой — линейные комби-~нации столбцов исходной матрицы  t    t  B : x11 x 21 ..... x n1x12x 22.....xn2............x1n   b11x 2 n   b21.....  .....x nn   bn1b12b22.....bn 2............b1n b2 n ......bnn Элементы некоторого столбца числовой матрицы B являются коэффициентами в линейной комбинации столбцов исходнойматрицы для столбца того же номера в полученной матрице. Линейные комбинации столбцов-решений также являются решениями, а если числовая матрица невырожденная, то матрица~ t    t  Bтакже является ФМР, так как её определитель не равен нулю:~det  t   det  t  det B .Таким образом, любую ФМР можно представить в силу про~извольности невырожденной матрицы B в виде   B .Докажем замечание:199~~ t    t  B,  1    B 1 1   ,~ ~ t  1     t  BB 1 1     t  1   .(21.7)21.6.

Задача КошиПусть задана нормальная линейная неоднородная система иначальные условия 1  x  A  t  x  f  t  , t   t1 , t2  , x  t0    ,   2 . ... A  t   C  t1 , t2  , f  t   C  t1 , t2  , t0   t1 , t2  ,  n Известно, что для любого начального условия  на t1 , t 2существует и единственно решение задачи Коши. Но любое решение неоднородной системы можно представить в видеtxt   t C t 0    t  1   f  d .   t0 (21.8) Приравнивая  t 0 C t 0   , получим C t 0   t 0  ирешение примет окончательный вид, явно зависящий от начальныхусловий  и вектор-функции f  t  :x t    t  t1 t     t 011  f   d .t0Из структуры решения следует его линейная и непрерывная зависимость от начального вектора  и вектор-функции f  t  .Обозначим K t ,     t   1   , которое не зависит от выбораФМР.

Получим ещё одно представление решенияtx t   K  t , t 0    K t ,   f   d .(21.9)t0Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы200x  3x  y    t  ,y  4 x  y   t  ,x  t0   x0 ,y  t0   y0 .Решая характеристическое уравнение341   2  2  1    1 2  0,1  получим 1,2  1. Собственный вектор находится из уравнения2    0, он равен 1 .

Присоединенный вектор определяется2уравнением 2    1, он равен 01.Поэтому двумя линейноttнезависимыми решениями являются  e t  ,  t te t  . ФМР 2e   e  2te равна t t    e t 2etettt .e  2te  t  получим et 1  2t  tet  1  t  .Для обратной матрицы 1 2etet 1Перемножая матрицы   t  и    , для ядра K  t ,  получим1  2  t      t    K  t ,   et  . 4 t   1  2 t   Для решения задачи Коши получим  t  t0    x0  x  t   t t0  1  2  t  t0  y  t    e  4  t  t  1  2  t  t    y0  00 t  t         1  2  t    et   d . 4  t    1  2  t        t0201§22.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ22.1. Функционалы на линейных нормированныхпространствахВариационное исчисление изучает методы решения экстремальных задач, связанных с оптимизацией функционалов.Функционалом, заданным на некотором множестве, называется отображение этого множества в множество действительныхчисел.Обозначим множество значений функционала на элементахмножества y через   y  , область его определения — через D , амножество его значений — через R .С целью решения задач оптимизации исследование функционала на элементе из D сводят к исследованию другого функционала, заданного на линейном нормированном пространстве S .В линейном нормированном пространстве любым элементамx, y  S сопоставляются элементыx  y  S ,  x  S , где   1 ,а любому x  S сопоставляется действительное число, или норма,обозначаемое x , при этом выполняются следующие аксиомы:1)x =0  x  0,2)  x   x ,3)x y  x  y .Это пространство является метрическим, если положить  x, y   x  y .Для одного и того же множества норму можно ввести поразному.

Пусть M — линейное пространство дважды непрерывнодифференцируемых функций   x  , заданных на отрезке  x1 , x2  иобращающихся в ноль на концах отрезка,   x1     x2   0 : нор-202ма C определяется как 0 max   x  , норма C1 определяется x1 , x2 как   max   x   max    x  .1 x1 , x2  x1 , x2 Пусть y( x) — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, заданных на отрезке  x1 , x2  , причемy  x1   y1, y  x2   y2 , и пусть y ( x) — одна из этих функций.Обозначимy  x  y  x   x ,      y    .При этом исследование функционала на элементе y  Dсводится к исследованию функционала    на линейном нормированном пространстве S .Функционал, заданный на линейном нормированном пространстве S , считается непрерывным по норме в точке x0  S ,если  0   0 x  S , x  x0    :   x     x0    .Длина дуги не непрерывна по норме  , но непрерывна по0норме  .1Введем понятие линейного функционала.

Функционал L  x называется линейным, если для любых элементов выполняется:L  x  y   L  x   L  y  , L  x    L  x .Функционал   x  , определенный на линейном нормированном пространстве S , называется дифференцируемым в точкеx  S , если существует линейный функционал Lx такой, что  x  h     x   Lx h     h  , limh0 hh 0.Функционал Lx  h  является главной линейной частью приращения и называется дифференциалом, или вариацией функционала, и обозначается203  x  Lx h.Функционал   y  , определенный не обязательно на линейном нормированном пространстве, считается дифференцируемымна элементе y , если функционал       y    , определенныйна линейном нормированном пространстве, дифференцируем наэлементе   0.Функционал   y  достигает абсолютного минимума наэлементе  y     y .y  D ,еслидлялюбогоy  DвыполняетсяСам элемент y при этом называется экстремалью, а значе-ние   y  является абсолютным минимумом.

Аналогично даетсяопределение абсолютного максимума.Рассмотрим простейшую вариационную задачу с функционалом  y x2 f  x, y  x  , y  x   dx .x1Приведем определяющие данные этой задачи. Во-первых, этообласть определения основной функции, функции трех аргументовf  x, y, y . Считается, что по первым двум аргументам это должнабыть выпуклая область, а по третьему аргументу — это  ,   .Во-вторых, это класс самой основной функции f  x, y, y . Достаточно часто рассматриваются аналитические функции, т.е.

бесконечно дифференцируемые функции трех аргументов. Наконец, этодве точки  x1 , y1  ,  x2 , y2  , принадлежащие вышеупомянутой выпуклой области.В качестве допустимых функций рассматриваются функцииy  x  , удовлетворяющие условиям закрепления: y( x1 )  y1 ,y( x2 )  y2 , ее график лежит в выпуклой области определения основной функции по первым двум аргументам. Степень гладкости204функции y  x  может быть принята самой разной, от этого зависитрезультат решения вариационной задачи и даже сама разрешимостьзадачи.

Постановка задачи обычно диктуется интересами конкретного исследования.Ограничения на класс допустимых функций очень существенны, так как классы допустимых функций, как правило, не замкнуты — предел последовательности допустимых функций может не быть допустимой функцией.Приведем пример.

Пусть основная функция равнаf  x, y, y  x 2 y2 , начальная точка  1,  1 , конечная точка1, 1(см. рис. 22.1).Рис. 22.1Рассмотрим последовательность функций (точнее системуфункций, зависящих от параметра   0 , положив  чим последовательность):y ( x) arctgarctgОценка сверху   y  дает205x.11, полуn1I [ y ]   x1dxx2  2   2 dx22x 2  2 1  arctg 1   2  x 2 21  2     1x2arctg,2 1 arctg 11 arctg lim   y   0 .211 arctg 2 0Но экстремум не достигается на гладких и даже непрерывных функциях. Для рассмотренного множества функций можнолишь утверждать, что inf   y   0.22.2. Лемма о скруглении угловемыхРасширение класса допустимых функций от дифференцируC1  x1 , x2  до кусочно-дифференцируемых функцийD1  x1 , x2  чрезвычайно существенно. Исследуем это на примере,что одновременно можно считать простейшим вариантом доказательства леммы о скруглении углов.

Проследим, как меняюется величина экстремума и сама функция при расширении класса допустимых функций.Рассмотрим функционал1 y 1  y22dx,y  1  0,y 1  1 (см. рис. 22.2).1В классе C1  x1 , x2  экстремума нет, в классе D1  x1 , x2  оночевиден, равен нулю и реализуется на функции 0, x  0,y x, x  0.206Рис. 22.2Построим функцию класса C1  x1 , x2  , удовлетворяющую темже условиям закрепления и почти на всем промежутке совпадающую с построенной выше функцией с разрывной в нуле производной. В окрестности нуля она представляет собой дугу окружности,вписанной в угол.11  2 , центр окружности расn11положен при x   , вторая точка касания — при x . Оцеnn 2ним функционал от новой функции yn  x  :Радиус окружности равен0    yn  1n 21 y 1  y22dx =11nyn2 1  yn  dx 22,nlim   yn   0 .nПри больших значенияхyn  y n мала и разность функций1.nНа данном примере видно, что при переходе к классу кусочно-дифференцируемых функций область значений функционаларасширилась на его точную нижнюю грань.207Доказательство нижесформулированной леммы в общем случае не представляет принципиальных затруднений — в угол вписывается дуга окружности и оценивается вклад интеграла по этойдуге (точнее разность интегралов на малом промежутке), оценивается и разность y  yn по этому промежутку.

Обе разности имеютпорядок радиуса вписываемой дуги окружности.Лемма о скруглении углов. Для любой функции y0  x  изD1  x1 , x2  можно найти функцию y  x  из C1  x1 , x2  , близкую ипо max y( x)  y0 ( x) , и по   y     y0  .[ x1 , x2 ]Дадим без доказательства три важных для решения оптимизационных задач предложения:1 — экстремальная в более широком допустимом классефункция, принадлежащая в то же время более узкому классу, будетэкстремальной и в этом более узком классе,2 — экстремальная в более узком допустимом классе функция будет экстремальной и в более широком классе,3 — любая дуга экстремальной кривой также является экстремалью.22.3. Простейшая задача вариационного исчисленияРассмотрим функционалV  y x  x1 F  x, y x , y  x dx .(22.1)x0Наложим дополнительное условие закрепления на функциюy  x :y  x1   y1,y  x2   y2 .Пусть экстремалью является функция y  x  , а также допустимой функцией является функция y  x  .

Характеристики

Список файлов лекций