Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Общее решениеЕсли y1 , y2 , …, yn образуют ФСР дифференциальногоуравнения L [ y ]  0 , то его общее решение дается формулойy  C1 y1  C 2 y2 ...C n y n ,причем это решение не только зависит от n произвольных констант, но и включает в себя все решения. Каких-либо иных решений нет. Действительно, подбором констант можно решить любуюзадачу Коши.

Составим систему уравненийC1 y10  C2 y20  ...  Cn yn 0  y0 ,  C2 y20  ...  Cn yn 0  y0 ,C1 y10........................................( n 1)C1 y10  ...  Cn yn( n01)  y0( n 1) ,и так как W ( x 0 )  0 , то константы находятся из этой системы инаходятся однозначно при заданных начальных условиях.20.4.

Обратная задача построения дифференциальногоуравнения по фундаментальной системе решенийПусть функции y1 , y2 , …, yn образуют на ( x 1, x 2 ) фундаментальную систему решений некоторого дифференциального184уравнения, заранее неизвестного. Запишем определитель Вронского от системы функций и приравняем его нулю:y1y1, yn , y ] W [ y1 , y2 ,( n 1)1(n)1yyy2y2ynynyy( n 1)2(n)2( n 1)n(n)n( n 1)yyyy 0. (20.1)yy(n)Разложим определитель по элементам последнего столбца,получим дифференциальное уравнение n -го порядка относительно y :y(n)y1y1...y1( n 1)y2y2...y2( n 1)............yny1yn( n 1) y1...

 y...( n 1)yny1( n )y1y  ( 1) n y ...1y1( n )y2y2...y2( n )............y2y2...y2( n )............ynyn...  ...yn( n )ynyn...  0.yn( n )Это уравнение линейно и однородно, коэффициент пристаршей производной отличен от нуля как определитель Вронскогосистемы линейно независимых функций. Этому уравнению удовлетворяет каждая из функций y1 , y2 , …, yn , так как в исходномопределителе с последним столбцом совпадает один из предшествующих столбцов. Таким образом, уравнениеW [ y1, y2 ,..., y n , y ]  0решает поставленную задачу.Пример 1. Составить однородное линейное уравнениенаименьшего порядка, решениями которого являются функции 2 xи 4 x .

Данные функции линейно независимы на всей действительной оси, так как2x  eln 2  e x ln 2 , 4x  eln 4  e x ln 4 ,xxа по доказанному ранее e k1x и e k2 x при k1  k2 линейно независимы. Составим определитель и приравняем его к нулю:1852x4xy11yln 2  2 x ln 4  4 x y   2 x 4 x ln 2 ln 4 y   0,ln 2 2  2 x ln 2 4  4 x y ln 2 2 ln 2 4 y y   ln 4  ln 2   y   ln 2 4  ln 2 2   y  ln 2 4 ln 2  ln 2 2 ln 4   0,y  ln 2  3ln 2 2 y   2 ln 3 2 y  0,y   3ln 2 y   2 ln 2 2 y  0.Пример 2. Составить однородное линейное уравнениенаименьшего порядка, решениями которого являются функции3x2  5, x2  10 x, 6 x  1 .Хотя данные функции — линейные комбинации независимых функций 1, x, x 2 , они являются линейно зависимыми.

Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:C1 3x 2  5  C2 x 2  10 x  C3  6 x  1  0 .Приравняем нулю коэффициенты при 1, x , x 2 :5C1  C3  0,10C2  6C3  0,3C1  C2  0.Определитель этой системы равен нулю:5 0 10 10 6  0 .3 1 0Поэтому есть нетривиальное решение, например:C1  1, C2  3, C3  5.Составим дифференциальное уравнение по ФСР, именноx2  10 x, 6 x  1. Имеемx 2  10 x 6 x  1 y2 x  106y   0,20y  6 x 2  2 x  10  y  12 x  2  y  12 y  0, 3x 2  x  5 y   6 x  1 y  6 y  0.186РассмотримсвойствакоэффициентовуравненияW  y1 , y2 ,..., yn , y   0 и докажем, что первые два связаны операцией дифференцирования:y1y1...y1( n)y2y2...y2( n)............yny1y nd y1...dx ...( n)yny1( n1)y2y2...............y2( n1)yny n....y n( n1)Это следует из того обстоятельства, что производная определителя n -го порядка равна сумме определителей, в которых дифференцируются по очереди все строчки исходного определителя, ав этом случае во всех определителях, кроме одного, совпадают двесоседние строчки, и они обращаются в ноль.

Лишь при дифференцировании последней строчки образуется определитель, являющийся коэффициентом при y ( n1) .Таким образом, полученное дифференциальное уравнениеимеет видW ( x ) y ( n)  W ( x ) y ( n1) ...  0 ,или, разделив на коэффициент при старшей производной, получимy ( n)  a1 ( x ) y ( n1) ...an1 ( x ) y   an ( x ) y  0 ,a1 ( x )  W ( x ).W (x )(20.2)20.5. Формула Остроградского–ЛиувилляРешим дифференциальное уравнение a1 ( x )  W ( x ), вW (x )итоге получим формулу, которая носит название формулы Остроградского–Лиувилля:xW ( x )  Cex a1 ( x ) dxx0 W ( x 0 )e a1 ( x ) dxx0.(20.3)В случае дифференциального уравнения второго порядка последняя формула позволяет по одному известному частному реше187нию y1 найти второе частное решение и, значит, общее решение.Имеемy2 a1dxd y  Ce   y1 y2  y2 y1  y12  2  ,y2dx  y1  a1dx a1dxd  y2  Ce e  dx, y2  y1 . dx  y1 y12y12В последней формуле константа C положена равной единиy1y1це, а константа последнего интегрирования — нулю, так как мыищем какое-либо частное решение уравнения.

Если эти константыоставлять произвольными, то сразу получим общий вид второгорешения, совпадающего с общим решением: a dxe  1 dxy  By1  Cy1 .y12(20.4)Пример 3. Найти общее решение уравнения x 1 y  1  2 x  y  xy   x 12.Легко угадываемым частным решением однородного уравнения является y1  e x , второе частное решение однородного уравнения находим по формуле Остроградского–Лиувилля:y2  e x e2 x 1dxx 1e2 xdx ex e2 x  ln  x 1dxe2 x x2 e x   x  1 dx  e x   x  . 2Общим решением однородного уравнения является x2y  C1e x  C2e x   x  . 2Запишем систему уравнений метода вариации постоянных: x2C1e x  C2e x   x   0, 22xx xC1e  C2e   1  x  1. 2Ее решением является188x2 C1   x   e x , C2  e  x .2ОтсюдаC1  A x2  xe , C2  B  e x .2В итоге общее решение неоднородного уравнения имеет вид x2 x2x2y   A  e x  e x  ( B  e x )e x   x   Ae x  Be x   x   x.2 2 220.6.

Понижение порядка линейного однородногодифференциального уравнения, если известно егочастное решениеПусть y1 ( x ) — частное решение уравненияL [ y ]  y ( n)  a1 ( x ) y ( n1) ...an1 ( x ) y   an ( x ) y  0 .Проведем замену, которая, как известно, сохраняет линейность и однородность дифференциального уравнения:y ( x )  y1 ( x ) z ( x ),b0 ( x ) z ( n )  b1 ( x ) z ( n 1)  ...  bn 1 ( x ) z  bn ( x ) z  0.Так как y1 ( x )  y1 ( x )z( x ) является одним из решений уравнения L [ y ]  0 , то ему соответствует решение z( x )  1 для преобразованного уравнения. Отсюда следует, что bn ( x )  0 и линейное уравнение для z не содержит z .

Поэтому, обозначив z   u ,можно понизить на единицу порядок дифференциального уравнения.Замечание. Так как b0 ( x )  y1 ( x ) , то при замене переменных следует рассматривать промежутки, где ни в одной точкеy1 ( x ) не обращается в ноль.20.7. Сопряженное дифференциальное уравнениеПусть дано дифференциальное выражениеL [ y ]  a0 ( x ) y ( n)  a1 ( x ) y ( n1) ...an2 ( x ) y   an1 ( x ) y   an ( x ) y .189Попробуем найти функцию z( x ) такую, что после умножения на нее L [ y ] выражение z( x )L [ y( x )] станет точной производной по x при любой y( x ) C n . Предположим, что коэффициенты ai ( x ) непрерывны и имеют необходимое число непрерывныхпроизводных. Функция z( x ) называется множителем дифференциальноговыраженияL [ y ] .

Интегрируем по частям z( x)L[ y( x)]dxдо тех пор, пока под знаком интеграла остаютсяпроизводные от y : (a z ) ydx   y(a z )dx, (a z ) ydx  (a z ) y   y(a z )dx, (a z) ydx  (a z) y  (a z ) y   y(annn 1n 1n2 (a z ) yn 1n2(n)0n2n2dx  (a0 z ) y ( n 1)  (a0 z ) y ( n  2) z )dx,(1) n 1 (a0 z )( n 1) y  (1) n  y (a0 z )( n ) dx.Собираем коэффициенты при y , y  , y , …,тегральных членов. Получим zL[ y ]dx   y[(a z )  (ann 1y ( n1)у внеин-z )  (an 2 z )  ...

 ( 1) n (a0 z ) ( n ) ]dx  y[(an 1 z )  (an 2 z )  ...  ( 1) n 1 (a0 z )( n 1) ]  y[(an 2 z )  ...  ( 1) n 2 ( a0 z )( n 2) ]  ...  y ( n 1) ( a0 z ).Перенося интеграл в левую часть, получим (zL [ y ]  yM [z ])dx  ( y, z) .(20.5)Здесь ( y, z) — билинейная форма относительноy , y , …,y ( n1) , z , z  , …,z ( n 1) .УравнениеM [z ]  (an z)  (an1z)   (an2 z) ...(1) n (a0 z) ( n)  0190называется сопряженным дифференциальному уравнениюL[ y]  0 .Если z ( x ) — решение уравнения M [z ]  0 , тоz L[ y] d( y, z )dx(20.6)и z — множитель дифференциального выражения L [ y ]. Зная z ,найдем первый интеграл дифференциального уравнения L [ y ]  0 .Таким первым интегралом является(20.7)( y, z )  C .Этот первый интеграл — дифференциальное уравнение ( n 1) -гопорядка, которому удовлетворяют все решения исходного уравнения.В случае, если z  1 — решение уравнения M [ z ]  0 , товыражение L [ y ] является полной производной дифференциального выражения ( y, z ) .

Характеристики

Список файлов лекций