Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Действие матрицы A на векторы h1 , h2 ,…,hkжордановых цепочек описывается формулами вида:Ah1   h1 ,Ah2  h1  h2 , ...,Ahk  hk 1  hk .Последние соотношения служат для определения векторовцепочки — они не зависят от системы координат, т.е. мы ищемвекторы, удовлетворяющие этим уравнениям в исходной системекоординат.

Во второй формулировке докажем лишь эти последниесоотношения.Имеем для некоторого жорданова блока (нумерация «внутренняя», по блоку)Je1  e1, Je2  e1  e2 , ..., Jek  ek 1  ek .Вернемся в исходную систему координат148e1  S 1h1 , e2  S 1h2 , ..., ek  S 1hk .Подставим в уравнения и умножим уравнения слева на S :JS 1h1   S 1h1 , JS 1h2  S 1h1   S 1h2 ,,JS hk  S hk 1   S 1hk ,11SJS 1h1  S  S 1h1 , SJS 1h2  SS 1h1  S  S 1h2 ,,SJS hk  SS hk 1  S  S hk ,111и так какJ  S 1 AS , A  SJS 1 , SS 1  E,получимAh1   h1 ,Ah2  h1  h2 , ...,Ahk  hk 1  hk .

(16.5)Соотношения доказаны.В базисе, в котором матрица имеет жорданову форму, решение системы найти достаточно просто:x  Ax, x  Ax, A  S 1 AS  J .Система дифференциальных уравнений распадается на несколько независимых систем в инвариантных подпространствах.Рассмотрим часть новой системы, соответствующую некоторому жорданову блоку, т.е. в некотором инвариантном подпространстве (нумерация составляющих векторов «внутренняя», поблоку): x1    x2   0 x3    0 ...   ... x   0 k 10...00 ... 0   x1    x1  x2 1 ...

0   x2    x2  x3  ... 0   x3     x3  x4  .... ... ...  ...   ... 0 ...    xk    xk Решения данной системы являются коэффициентами передвекторами жордановой цепочки.Систему решаем последовательно, начиная с последнегоуравнения, снизу вверх:xk   xk , xk  Ck et .Следующее уравнение является неоднородным, его решениенаходится методом вариации постоянной:149xk 1   xk 1  Ck et , Cekt  Ck et , C  Ck t , xk 1  Ck 1et  Ck tet .Далееxk 2   xk 2  Ck 1et  Ck tet , C   Ck 1  Ck t ,xk 2  Ck 2et  Ck 1tet  CkНаконец,t 2 te .2t2t k 2 x2  et  C2  C3t  C4  ...  Ck,2k2!2k 1ttx1  et  C1  C2t  C3  ...

 Ck.2 k  1! В векторной формеx  x1e1  x2 e2  xk ek  t2t k 1  et e1  C1  C2t  C3   Ck2(k1)!t2t k 2 e2  C2  C3t  C4   Ck 2(k  2)!  ek 1 (Ck 1  Ck t )  ek Ck    C2 x(2)   Ck x(k ) , C1 x(1)гдеt2   e e1, x(2)  e  e2  te1  , x(3)  e  e3  te2  e1  ,x(1)2! tttx(k )  et  ek  tek 1 ,t k 1e1  .(k  1)! В последних формулахe1, e2 , ..., ek— собственный и присоединенный векторы в новых координатах, вкоторых матрица системы имеет жорданову форму.150Вернемся к исходному базисуhi  Sei, i  1, 2, , k , x  Sx.Умножим слева полученные соотношения на матрицу перехода. Получимx  C1 x(1)  C2 x(2)  Ck x( k ) ,t2 x(1)  et h1 , x(2)  et  h2  th1  , x(3)  e t  h3  th2  h1  ,2! (16.6)t k 1x( k )  et  hk  thk 1  h1  .(k  1)! Здесь x1 , x 2 , ..., x k  являются k линейно независимыми решениями для данного жорданова блока.

Аналогичные решения получим и для других жордановых цепочек.Вывод. Полученная форма решения позволяет производитьпоиск решения, не переходя к другому базису (а затем возвращаяськ исходному). Жордановы цепочки находятся в исходном базисе,решая системы уравнений после определения собственных значений. Однако при практическом определении жордановых цепочекмогут возникнуть определенные трудности в случае, когда имеетсяболее одного собственного вектора, отвечающего одному собственному значению.Рассмотрим характерные примеры.Пример 2. Решим системуx1  2 x1  x2 ,x2   x1  4 x2 .Характеристическое уравнение имеет один кратный корень211    3 2  0,   3 .1,24 Собственный вектор найдем из системы 11 11  xx   00 ,1020h1  1 .1Присоединенный вектор найдем из системы151 11 11  xx   11 ,h2  0 .11020Решение системы получим в виде    .x  e3t C1 1  C2 t1 t 1Решим эту же задачу методом неопределенных коэффициентов.

Представим:x1  e3t  a  bt  ,x2  e3t  c  dt  .Подставим в нормальную системуe3t  3a  3bt  b   e3t  2a  2bt  c  dt  ,e3t  3c  3dt  d   e3t  a  bt  4c  4dt  .Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t вобоих уравнениях, получим линейную однородную систему:a  b  c  0,b  d  0,a  c  d  0,b  d  0.В этой системе линейно независимы лишь два первых урав(вычитая из третьего уравнения первое, получим:b  d  0) :ненияa  b  c,a  c  d,илиb  d,b  d.Здесь a и b — «главные» неизвестные, а c и d — «параметрические», принимающие любые значения.

Полагая сначалаc  1, d  0 , а затем c  0, d  1 , получим два независимых нетривиальных решенияa  1, b  0, c  1, d  0 и a  1, b  1, c  0, d  1 .В итоге общее решение исходной системы имеет вид xx   C e 11  C e  1t t 123t3t12.В случае нормальной системы более высокого порядка реализация метода неопределенных коэффициентов более громоздка.Пример 3. Рассмотрим более сложный случай:152x1  2 x1  x2  x3 ,x2  2 x1  x2  2 x3 ,x3   x1  x2  2 x3 ,2112 1   2  (1   )3  0, 1,2,3  1.11 2Собственный вектор определяется системой 1 1 1   x10   0  2 2 2   x20    0  , 1 1 1   x   0   30   x10  x20  x30  0 .Его решениями являются два линейно независимых соб-11 0 1 ственных вектора:  1  и  0  .Однако при подстановке их поочередно в неоднородную систему для определения присоединенного вектора последняя оказывается несовместной: 1 1 1   x10   1  2 2 2   x20    1  , 1 1 1   x   0   30    1 1 1   x10   1  2 2 2   x20    0  , 1 1 1   x   1   30   и ни тот, ни другой собственные векторы не могут «породить» присоединенный.Воспользуемся тем обстоятельством, что если независимыесобственные векторы отвечают одному однородному уравнению,то их линейная комбинация тоже удовлетворяет этому уравнению.Определим эту комбинацию так, чтобы система для определенияприсоединенного вектора стала совместной: 1 1 1   x10 1 1      2 2 2   x20     1     0      . 1 1 1   x  01     30    Система совместна при параметрах, удовлетворяющих урав-1 , например, при   2,   1 .

Искомый соб21ственный вектор равен  2  . Уравнение для присоединенного 1  нению    вектора имеет вид153 1 1 1   x10   1  2 2 2   x20    2  . 1 1 1   x   1  30   1Одним из решений этого уравнения является вектор  0  . 0 Другая жорданова цепочка состоит из одного собственного вектора, любого из двух первоначально найденных или какой-либо ихлинейной комбинации.

Приведем общее решение: x1  t   1 1  t  1  x2   e C1  2   C2  2t   C3  1   . t  0 x   1  3154§17. НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯНЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА.МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХРассмотрим общий случай нормальной линейной неоднородной системы с переменными коэффициентами:x  A(t ) x  f (t ), a11 (t ) a12 (t ) x1  f1 (t )  a21 (t ) a22 (t ) x2  f 2 (t ) x    , f (t )   , A(t )  x  f (t )  a (t ) a (t ) n n n2 n11xi (t )  C (t1 , t2 ), fi (t )  C (t1 , t2 ),aij (t )  C (t1 , t2 ), i, j  1, 2,a1n (t ) a2 n (t )  ,ann (t ) (17.1), n.Пусть найдена фундаментальная система решений (соответствующей однородной системы) и составлена фундаментальнаяматрица решений: x11  t  x12  t x t x t  t    21   22  ......xtx n1   n 2  t ... x1n  t  ...

x2 n  t   ....... ... xnn  t  (17.2)Общее решение однородной системы запишется в виде, гдеCn , — постоянные параметры: x1  t    x11  t  x12  t  ... x1n  t    C1  x  t    x  t  x  t  ... x  t    C 222n 2    21 2 ,C1 , C2 , …,...............  ...  C  xn  t    xn1  t  xn 2  t  ... xnn  t    n  C1  C   C2  ....C  nПопробуем найти решение неоднородной системы структурно в том же виде, но с параметрами C1 , C2 , …,t : x t    t  C t  ,155Cn , зависящими от x11  t  x12  t  x t  x t 22 21......xtxt n1n2...

x1n  t   C1  t   C1  t  C t ... x2 n  t   C2  t  , C   2    .(17.3)............... xnn  t   Cn  t  Cn t  Замечание. По определению, производной от матрицы считается матрица, элементами которой являются производные от соответствующих элементов исходной матрицы.Замечание. Производная от произведения матриц C  A Bнаходится по следующей формуле:C  AB  AB ,так как cij nak 1nnk 1k 1b , cij   aik bkj   aik bkj .ik kjПодставим предполагаемое решение в систему t  C t    t  C t   A t   t  C t   f t  ,и так как при постоянных C1 , C2 , …,  A  C  0,Cnимеем  A   0,где под нулем в правой части имеется в виду вектор-ноль (нулевойвектор). Полученное соотношение выполняется независимо от постоянства или переменности C1 , C2 , …,щения слагаемых получим x11  t  x21  t  ...x t n1  Cn , в итоге после сокра- t  C t   f t  , dC1 x12  t  ...

x1n  t    dt  dCx22  t  ... x2 n  t    2   .........   dt...  xn 2  t  ... xnn  t    dC   n dt 156f1  t  f2 t   .... f n  t  (17.4)Разрешив эту систему относительно C1 , C2 , …,нив квадратуры, найдем C1 , C2 , …,неоднородной системы:CnCnи выпол-и соответственно решениеx t    t  C t  .Рассмотрим вопрос о возможности однозначного разрешениянеоднородной линейной алгебраической системы t  C t   f t в каждой точке t   t1 , t2  относительно C1(t ) , C2 (t ) , …,Cn (t ) .Это возможно, если определитель системы det   t  при всех значениях t отличен от нуля.Докажем, что если столбцами матрицы   t  были бы со-ставляющие линейно зависимых функций, то det   t   0.

Характеристики

Список файлов лекций