Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

В частности,p 2   k1  k2  p  k1k2 y  y   k1  k2  y  k1k2 y .Но к тому же результату придем при последовательном применении операторов: p  k1  p  k2  y   p  k1  y  k2 y   y   k1  k2  y  k1k2 y .Сомножители в L  p  можно менять местами. Поместим наместо крайнего правого сомножителя множитель  p  ki  i . Произведение оставшихся сомножителей обозначим Li  p  . ИмеемL  p   Li  p  p  ki  i .Применим оператор p  ki iк функции   x  e i , гдеkx  x   C .

Получимi ( p  ki )  ( x)eki x   ( x)eki x  ki ( x)eki x  ki ( x)eki x   ( x)eki x .При последовательном  i -кратном применении оператора p  ki  имеем p  ki    x  ek x       x  ek x .Ясно, что если   x  — полином степени, не превышающейi  1 , то p  ki    x  ek x   0 ,iiа значит, иiiiiL  p    x  eki x  0 .В качестве   x  можно взять любую степень x от нулевойдоi  1 .Линейно независимыми функциями-решениями при111кратном корне характеристического уравнения ki кратности  iявляютсяeki x , xeki x , …, xi 1eki x .Приведем вид общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней:my   C0,i  C1,i x  ...

 Ci 1,i xi 1 e ki x , 1   2  ...   m  n .i 1В случае комплексного корня p  qi кратности  его не-зависимыми решениями в комплексном виде являются следующиефункции:p  qi xp  qi xp  qi xe  , xe  , …, x 1e  .Аналогичный вид имеют решения, соответствующие комплексно-сопряженному корню:p  qi xp  qi xp  qi xe  , xe  , …, x 1e  .Их линейные комбинации, являющиеся действительнымифункциями — решениями дифференциального уравнения, образуют следующую систему 2 функций:e px cos qx , xe px cos qx ,…, x 1e px cos qx ,e px sin qx , xe px sin qx ,…, x 1e px sin qx .(10.9)Пример 1.

Найти общее решение уравненияy   2 y  8 y  5 y  0 .4Характеристическое уравнение имеет видk 4  2k 2  8k  5   k  1  k 2  2k  5  0 .2Оно имеет корень k  1 кратности 2 и пару комплексно-сопряженных корней:k  1  2i и k  1  2i .Общим решением является следующее выражение:y  C1e x  C2 xe x  C3e x cos 2 x  C4e x sin 2 x .112§11. НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕУРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКАС ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ.СЛУЧАЙ КВАЗИМНОГОЧЛЕНАВ ПРАВОЙ ЧАСТИРассмотримуравнениелинейноенеоднородноедифференциальноеy n   a1 y n1  ...

 an1 y  an y  f  x  ,где правая часть является квазимногочленом, то есть суммой слагаемых, каждый из которых является произведением полинома, экспоненты и линейной комбинации косинуса и синуса некоторого угла. В соответствии с принципом суперпозиции можно независимоискать решения для уравнений с правой частью в виде одного изслагаемых. В каждом отдельном случае дело сводится к поискурешения известного вида методом неопределенных коэффициентов.Начнем с простейшего случая, когда правая часть представляет собой полином степени s :y   a1 ynn 1 ...  an1 y  an y  A0 x s  A1x s 1  ...  As ,A0  0 .(11.1)Если коэффициент перед y не равен нулю, an  0 , то частное решение можно найти в виде многочлена той же степени, что имногочлен в правой части, используя процедуру метода неопределенных коэффициентов:y  x   B0 x s  B1x s 1  ...

 Bs , B0  0 .Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях привысшей степени x s , получим уравнение для определения B0 ,an B0  A0 . Далее, приравнивая коэффициенты при x s 1 , получим:san1B0  an B1  A1 . Таким образом, можно найти все коэффициен-113ты B j , т.к. в уравнениях для определения B j перед B j имеетсямножитель, отличный от нуля, an  0 .Пусть теперь коэффициент an  0 , в этом случае k  0 —корень характеристического уравнения.

Пусть кратность этогокорня  . Тогда равны нулю и коэффициенты an1 При этом дифференциальное уравнение имеет видy   a1 ynn 1 an 1 0. ...  an y   A0 x s  A1 x s 1  ...  As . Обозначим z  y . Для z имеем дифференциальное уравнение на  меньшего порядка, чем исходное уравнение:zn   a1 z n  1 ...  an z  A0 x s  A1x s 1  ...  As .Для z можно найти решение в виде многочленаz  B0 x s  B1 x s 1  ...  Bsметодом неопределенных коэффициентов. Интегрируем  раз выражение для z , получим частное решение неоднородного уравнения для y :y  x C0 x s  C1 x s1  ...  Cs  .При интегрировании можно константы интегрирования полагать для простоты равными нулю, так как ищем частное решение, адополнительные слагаемые, получаемые при ненулевых константах интегрирования, не что иное, как решение однородного уравнения, которое можно добавить к решению при нулевых константах.Замечание.

Так как вид решения для y известен, то можнометодом неопределенных коэффициентов искать непосредственнокоэффициентыC0 ,C1 , …,Cs , не переходя к дифференциальному уравнению относительно z  y .Рассмотрим дифференциальное уравнение с правой частью ввиде обобщенного многочлена — квазимногочлена:nn 1y   a1 y   ...  an1 y  an y  e px A0 x s  A1 x s 1  ...

 As . (11.2)114Произведем замену y  e px z . Дифференциальное уравнениедля z имеет видnn 1z    b1 z    ...  bn1 z  bn z  A0 x s  A1x s 1  ...  As .В случае bn  0 его характеристическое уравнениеq n  b1q n1  ...  bn1q  bn  0не содержит среди своих корней q  0 , а значит, k  p не кореньхарактеристического уравнения для исходного дифференциальногоуравненияk n  a1k n1  ...  an1k  an  0 .Частное решение неоднородного уравнения для z ищется ввидеz  B0 x s  B1 x s 1  ...  Bsили сразу в видеy  e px ( B0 x s  B1 x s 1  ...  Bs )для исходного уравнения, т.е. не совершая замены y  e px z .В случае bn  0 значение q  0 является корнем характеристического уравнения кратности  после замены y  e px z , той жекратности  корень k  p характеристического многочлена исходного дифференциального уравнения. Частное решение для zимеет видz  x ( B0 x s  B1x s1  ...

 Bs ) ,а частное решение для y можно искать методом неопределенныхкоэффициентов в видеy  e px x ( B0 x s  B1 x s 1  ...  Bs ) .Рассмотрим дифференциальное уравнение с правой частью— квазимногочленом другого вида:nn 1y   a1 y   ...

 an1 y  an y  e px ( Ps  x  cos qx  Qs  x  sin qx) ,(11.3)где один из многочленов имеет степень s , другой не выше s .Правую часть можно преобразовать к виду115ep  qi  xRs  x   eTs  x  ,p qi  xгде полиномы Rs  x  и Ts  x  связаны с Ps  x  , Qs  x  :Rs  x  1 Ps  x   iQs  x   ,2Ts  x  1 Ps  x   iQs  x  2и являются комплексно-сопряженными полиномами. После получения частных решений, соответствующих обоим слагаемым, еслидействия при этом вполне одинаковы, окажется, что они будуткомплексно-сопряженными решениями. Их сумма — действительное решение.Частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов сразу в виде: если  p  qi  не корни характеристического уравнения, то в видеy  e px Ps  x  cos qx  Qs  x  sin qx ,где s — степень многочлена, а если p  qi — корни характери-стического уравнения кратности  , то в видеy  x e px Ps  x  cos qx  Qs  x  sin qx .Пример 1.

Найти общее решение уравненияy  3 y  2 y  cos x  xe x .Характеристическое уравнение имеет видk 2  3k  2   k  1 k  2   0 .Общее решение однородного уравненияy  C1e x  C2e2 x .Используя принцип суперпозиции, ищем частные решениянеоднородных уравнений с правыми частями cos x и xe x соответственно в видеxy  a cos x  b sin x и y  x  cx  d  e .Методом неопределенных коэффициентов найдем значенияконстант:a131, b   , c   , d  1 .10102116В итоге общее решение исходного уравнения запишется ввидеy  C1e x  C2e2 x cos x 3sin x  x 2    x  ex .1010 211.1. Свободные и вынужденные колебания. РезонансРассмотрим уравнение колебанийd 2x a 2 x  p sin t .2dtПри   a общее решение имеет видx  t   A sin  at    psin t .a 22Здесь первое слагаемое — общее решение однородногоуравнения — свободные колебания, зависящие от двух констант:амплитуды A и начальной фазы  . Второе слагаемое — частноерешение неоднородного уравнения — вынужденные колебания.При  , близком a , амплитуда вынужденных колебаний становится большой величиной.При   a имеет место резонанс и решение неоднородногоуравнения имеет видx  t   A sin  at    ptcos at .2aЗамечание.

При резонансе амплитуда вынужденных колебаний неограниченно растет по времени, уравнение перестает отвечать требованию «малости» колебаний и должно быть заменено нанелинейное, но это уже «совсем другая история».Рассмотрим уравнение колебаний при наличии малого сопротивления среды:d 2xdx 2h  a 2 x  p sin t .2dtdtПриведем решение этого уравнения117x(t )  Ae kt sina 2  h2 t   p  sin(t  a)a22 2 4h 2.2где A и  — произвольные константы, в конкретном случае зависящие от начальных условий, а угол  находится из соотношенийcos  a2   2a22 2 4h 2, sin  22ha22 2 4h 2.2При наличии малого сопротивления среды (малое положительное значение параметра h ) свободные колебания затухаютпри t   .

Характеристики

Список файлов лекций