Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Обозначимa0  x   p  x  , a1  x   p  x  , a2  x   q  x  .Рассмотрим неоднородное уравнение на промежутке  x0 , x1 с вышеупомянутыми свойствами однородного оператораLy  a0  x  y  a1  x  y  a2  x  y  f  x  .Покажем, что можно построить функцию с разрывом производной, с помощью которой будет найдено частное решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее обоим однородным крае85вым условиям. Докажем существование такой функции прямымпостроением.

Эта функция зависит от параметра s и носит название функция Грина.Функция Грина G  x, s  как функция двух переменных опре-делена и непрерывна на квадрате x   x0 , x1  , s   x0 , x1  , удовлетворяет по x при x  s однородному дифференциальному уравнению, а при x  x0 и x  x1 — однородным краевым условиям.При x  s функция Грина непрерывна, а производная по xтерпит разрыв:G  s  0, s   G  s  0, s  , Gx  s  0, s   Gx  s  0, s  1a0  s .Запишем функцию Грина в виде y1 ( x) z1 ( s), x  s,G ( x, s )   y2 ( x) z2 ( s), x  s.Здесь y1  x  удовлетворяет краевому условию при x  x0 , аy2  x  удовлетворяет краевому условию при x  x1 (см. рис. 8.7).Рис.

8.7Склейка при x  s, y1  s  z1  s   y2  s  z2  s  , позволяет выбрать z1  s   y2  s  , z2  s   y1  s  . Имеем86 y1 ( x) y2 ( s), x  s,G ( x, s )   y2 ( x) y1 ( s), x  s.Наконец, используем условие разрыва производной:Gx  s  0, s   Gx  s  0, s   y2  s  y1  s   y1  s  y2  s  1a0  s .Докажем, что решение уравненияLy  a0  x  y  a1  x  y  a2  x  y  f  x  ,удовлетворяющее обоим краевым условиям, дается интеграломx1y  x    G  x, s  f  s  ds .(8.11)x0Разобьем промежуток интегрирования на два и найдемпервую и вторую производные:x1xy  x    G  x, s  f  s  ds   G  x, s  f  s  ds,x0xxy( x)   Gx ( x, s) f ( s )ds  G ( x, x) f ( x) x0x1  Gx ( x, s) f ( s)ds  G ( x, x) f ( x) xxx1x0x  Gx ( x, s) f ( s)ds   Gx ( x, s ) f ( s )ds,xy( x)   Gxx ( x, s) f ( s)ds  Gx ( x, x  0) f ( x) x0x1  Gxx ( x, s) f ( s)ds  Gx ( x, x  0) f ( x) xxx1x0x  Gxx ( x, s ) f ( s )ds   Gxx ( x, s ) f ( s )ds 87f ( x).a0 ( x)Подставим в дифференциальное уравнение, т.е.

умножимy  x  на a2  x  , y  x  на a1  x  , y  x  на a0  x  и сложим, получимLy xx1x0x Lx  G( x, s)  f (s)ds   Lx G( x, s)  f (s)ds  f ( x)  f ( x),так как Lx  G  x, s    0 в обоих промежутках интегрирования.Функция G  x, s  по построению удовлетворяет обоим краевымусловиям.Функция Грина G  x, s  носит также название функции влияния. Попробуем обосновать этот термин.

Пусть правая часть дифференциального уравнения равна нулю вне некоторого малогопромежутка:f  x   0,x s   , s   ,f  x   0,x s   , s   ,  0,s f  s  ds  1.s Тогда решение неоднородного уравнения при правой частиf  x  дается формулойx1s x0s y  x    G  x, s  f  s  ds  G  x, s  f  s  ds .Используя интегральную теорему о среднем, получимy  x   G  x, s s  f  s  ds  G  x, s  .s s  , s   s Наконец,переходякs s  , s пределу  0 ,получимy  x   G  x, s  , что можно интерпретировать как влияние единичного мгновенного импульса, действующего в момент s при x .Суперпозиция влияния мгновенных импульсов приводит китоговой формуле:88x1y  x    G  x, s  f  s  ds .x08.7.

Краевая задача при наличии малого параметрапри старшей производнойВ данном разделе изложение следует методикепрофессора МФТИ А.А. АбрамоваВ случае малого параметра при старшей производной длярешения краевой задачи характерно появление вблизи одного изконцов отрезка  ,   , где и определяется решение краевой задачи, зоны резкого изменения функции. Эту зону принято называтьпограничным слоем.В качестве примера рассмотрим линейное дифференциальноеуравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: y  ay  by  f  t  ,   0, a  0,f  t   C1  ,   ,y    y ,y     y .(8.12)Предварительно рассмотрим вспомогательную задачу —задачу Коши для уравнения первого порядка: y  ay  f  t  ,   0, a  0,f  t   C1  ,   ,y    y .(8.13)Фиксируем все параметры задачи, кроме  , и устремим к нулю.

Докажем, что при  0, a  0решение складывается из трех слагаемых:y t  f t  f     a t    y  u t  ,eaaгде первое слагаемое — решение алгебраического уравненияay  f  t  ,т.е. решение исходного уравнения при   0 . При этом остаетсяневыполненным условие y    y .89Третье слагаемое лежит в узкой полоске порядка  :u t  a2max f   t  .Второе слагаемое подправляет начальное условие и отвечаетза резкое изменение функции при   0 около t   при t  (см. рис. 8.8).Рис. 8.8Представим y  t   w  t  f t , где w  t  является суммойaвторого и третьего слагаемых в представлении решения. Послеподстановки в уравнение получим задачу Коши для w  t  : w  aw   f  t a, w    y f  .aВ свою очередь представим и w  t  в виде суммыw t   u t   z t  ,где u  t  отвечает неоднородному уравнению с нулевым начальным условием, а z  t  отвечает однородному уравнению с ненулевым начальным условием:90 u  au   f t a, u    0, z  az  0, z    y f  .aРешение второй задачи вполне очевидно:f     a t  z  t    y .eaЭта функция «подправляет» начальное условие и описываетпри малых значениях параметра  быстро изменяющуюся функцию, стремящуюся при t   , t   к нулю при   0 .Для первой задачи ограничимся оценками.

Общее решениеоднородногоуравнениядаетсяформулой u  au  0u  t   Cea t.Общее решение неоднородного уравнения найдем методомвариации постоянной:f  t f   t  a tu t   C t  e , C t   e ,aatta tf    af     a t  C t   e d  A, u  t    ed  Ae  .aaa t,  C t  ea tС учетом нулевого начального условия для u  t  получимtu t   f     a t  ed .aПроведем оценку u  t  :tu (t )  max f ( )  a (t  ) max f ( )ed aa2 max f ( )a291.a ( t  ) 1eФункция u  t  заключена в малой  -полосе.

Структура представления решения задачи Коши доказана.Замечание. Случай   0 , a  0 ничем не отличается отрассмотренного после умножения на 1дифференциальногоуравнения, что фактически означает изменение знака у правой части.При   0 , a  0 , а также при   0 , a  0 , пограничныйслой образуется около правого конца отрезка.Если начальное условие задано на правом конце, а 0 , поaграничный слой формируется около левого конца отрезка, а при 0 — около правого конца.

Во всех вариантах знаков  и a иaзаданий начальных условий анализ структуры решения проводитсявполне аналогично.Вернемся к краевой задаче: y  ay  by  f  t  ,   0, a  0,f  t   C1  ,   , y    y , y     y .Рассмотрим случай a  0,   0 и проведем анализ структуры решения при малом параметре   0 .

Докажем, что решениескладывается из трех слагаемых:y  t   yˆ  t    y  yˆ    ea t   u t  ,где первое слагаемое — решение вспомогательной задачи:ay  by  f  t  , y     y ,второе — подправляет краевое условие на левом конце отрезка иотвечает за формирование пограничного слоя, третье слагаемоемало: u  t      (см. рис. 8.9).Представим решение в виде y  t   yˆ  t   w  t  , подставим вдифференциальное уравнение и для разности w  t   y  t   yˆ  t получим краевую задачу:92 w  aw  bw   yˆ , w    y  yˆ   , w     0 ,где yˆ  f   byˆ .aРис.

8.9В свою очередь и функцию w  t  также представим в видесуммы двух слагаемых w  t   w  t   z  t  , где w(t ) — решениезадачи Коши для неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях: w  t   aw  bw   yˆ , w    0, w    0 ,а z  t  — решение краевой задачи для однородного уравнения приненулевых краевых условиях: z  az  bz  0, z    y  yˆ   , z     w    .Представим уравнение  w  t   aw  bw   yˆ  в операторном виде p  1  p  2  w   yˆ  ,d— оператор дифференцирования, а 1 , 2 — корни хаdtрактеристического уравнения:где p 93 2  a  b  0, 1,2 a  a 2  4b.2Выберемba1       , 2     1 .aОбозначимТак как p  2  w   , тогда  p  1    yˆ  .w    0, w    0 , то     0 .

Найдем решение урав-нения p  1    yˆ методом вариации постоянной. Общее решение однородного уравнения запишется в виде   Ce1t , а решение неоднородного ищемв виде   C  t  e 1 . Проведем выкладки:ttC e1t   yˆ , C    yˆ e  1t , C  t     yˆ    e  1 d  A,t  t     yˆ    e t  d  Ae t ,11и так как     0 , то A  0 , и получим окончательноt  t     yˆ    e t  d .1Из структуры интеграла следуют оценки  t    1 ,    t    1 .Перепишем уравнение p  2  w  в виде  w  2 w   .Для коэффициента при w имеем оценку его знака:2  a      0 .94Кроме того, w    0 , и можно воспользоваться результатамивспомогательной задачи — оценкой порядка малости функции w(в вспомогательной задаче рассматривалась функция u ).

Получимw  t      .В отличие от вспомогательной задачи функция w  t  является лишь частью третьего слагаемого, лежащего в узкой полоскешириной порядка  .Наконец, рассмотрим краевую задачу для функции z  t  : z  az  bz  0, z    y  yˆ   , z     w    .Общее решение уравнения представляется в видеz  t   C1e1t    C2e2 t   .Используя краевые условия, запишем систему уравнений для определения констант:C1  C2  y  yˆ   ,C1e1     C2e2       w    .При малом параметре  система однозначно разрешается, так как1  2 .Второе слагаемое в левой части второго уравнения стремитсяк нулю при   0 , а w        , поэтому C1     и изпервого уравнения получим оценку C2  y  yˆ       .

Сучетом оценок для констант для z  t  получим выражениеz  t      e 1 t    y  yˆ    e2  t      e2  t    y  yˆ    e2 t       .Докажем, что z  t  является суммой второго слагаемого впредставлении решения краевой задачи и части третьего слагаемого:z  t    y  yˆ    e95a t      .Обозначим   2 , оценим разностьt  at  .e При t   она равна нулю, при t   она очень мала при малыхположительных значениях  . Где-то между  и  достигаетсяeэкстремум. Найдем производную, приравняем ее к нулю и оценимэтот экстремум: a t     t   a  a t  .e e 0,e aДля оценки примем   a   k .

Характеристики

Список файлов лекций