Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Действительно, оцен- b 1,  верна для всего прямоугольника D . Для дости M Nка h   a,жения правой или левой границы потребуется, как нетрудно уста-  aM , aN  1 шагов (здесь знак [] ознановить, не более max   b 39чает целую часть действительного числа). Но еще ранее интегральная кривая может достигнуть верхней или нижней границы.Рассмотрим различные возможные случаи поведения интегральных кривых.xПример 1.y  y  0 , y (0)  1 , y  e .В данном случае решение задачи Коши продолжаемо на всюдействительную ось (см. рис. 4.2).Рис.

4.2Пример 2.Рис. 4.3xy   ,yy(0)  1 ,y  1 x2 .Решение не продолжаемо за интервал (1, 1) (см. рис. 4.3).Рис. 4.4Рис. 4.540Пример 3.y  y 2 ,Пример 4.y  y 2  1 ,1.2xРешение продолжаемо влево на всю полуось, а вправо лишьдо x  2 , являющейся асимптотой (см. рис. 4.4).y(1)  1 , y y(0)  0 , y  tg x .  , , 2 2Решение задачи не продолжаемо за интервал  x2— асимптоты (см.

рис. 4.5).4.2. Теорема о продолжении решенияТеорема. Пусть в дифференциальном уравнении y   f (x, y)функция f ( x, y) определена и непрерывна на всей плоскости иудовлетворяет условию Липшица по y во всякой ограниченнойобласти этой плоскости. Тогда всякая интегральная кривая привозрастании или убывании аргумента x или неограниченно продолжаема до x   или x   , или имеет вертикальнуюасимптоту при некотором конечном значении x  x .Доказательство.

Проведем его для продолжения вправо.Рассмотрим систему (последовательность) вложенных прямоугольниковко вправоDnDn . Возможны два исхода. При первом: как бы далени простирался, его размеры по y могут быть таки-ми большими, что интегральная криваяy    x  пересечет пра-вую вертикальную сторону прямоугольника Dn , и решение определено до сколь угодно больших положительных значений x , то естьпростирается до  .При втором: существуют такие значения x , что при любомбольшом в направлении y прямоугольнике интегральная криваяy    x  пересечет его нижнюю или верхнюю сторону.

Обозна41чим X точную нижнюю грань значений x . Тогда для любого  0 найдется прямоугольник Dn достаточных размеров внаправлении y , что интегральная кривая пересечет прямуюx  X   , и решение определено при всех x  X . На x  Xрешение не может быть продолжено. При приближениислева значения  xxк Xне могут быть ограничены.Докажем, что либо lim   x    , либо lim   x    ,x  X 0x  X 0то есть x  X является асимптотой. Допустим, что таких пределов нет.

Тогда найдутся два числа A, B, ( B  A) такие, что в интервале X   , X  функция   x  принимает значения, меньшиеA , и значения, большие B , бесконечное число раз. Функция  xкак непрерывная принимает и все промежуточные значения.Найдутсяпарыxn1 , xn2точектакие,x  x  x  x  ...  x  x  ... ,112112221n2n  xn1   A,   xn2   B , и lim xn1  lim xn2  X .nЗамечание.

Пары точекними не было точек, в которыхвкоторыхn1nx , xn2выбираем так, чтобы между  x  Aили2  x   B , что все1гда возможно. При этом в промежутках xn 1 , xnгут быть.Вкаждомизчтопромежутков такие точки мо-x , x 1n2nвыполняетсяA    x   B . Запишем формулу конечных приращений Лагранжав виде  xn2     x1n x x2nгде1n    n  x   n  x , n     n  .1n2n42B A,xn2  x1nТочкапрямымиn ;n  лежит внутри прямоугольника, ограниченногоx  X   , x  X , y  A, y  B .  n   f n ,n ограничена, однако   n  ПроизводнаяB Aпри преxn2  xn1дельном переходе lim xn  lim xn  X производная становится1n2nнеограниченной, получим противоречие. Теорема доказана.4.3.

Теорема о гладкости решенияТеорема. Пусть в дифференциальном уравнении y   f (x, y)функция f ( x, y) обладает непрерывными производными по всемпеременным до порядка k  1 включительно. Тогда всякое решение дифференциального уравнения имеет непрерывные производные до порядка ( k 1) включительно.Доказательство. Пусть y( x) — решение уравненияdy(x) f (x, y(x)) . В силу непрерывности суперпозиции, еслиdxy( x) непрерывна и f ( x, y) непрерывна, то непрерывна и f (x, y(x))dy ( x ), а значит, и, т.е.

y(x) имеет непрерывную производную. Даdxлее,d 2 y ( x)  f ( x, y ) df ( x, y ) dy  f  f f,dx 2x y dx  x  y2d 3 y ( x)  2 f2f2f f  f  f 2yyf y 322dxx x yy y  x   y 22 f 2f2ff f2  f2fff ,22x x yy y xyубеждаемся и в непрерывности второй и третьей производных.Продолжая процедуру дифференцирования, убеждаемся, что производная в левой части на один порядок выше, чем порядок стар43шей производной в правой части. После k -кратного дифференцирования исходного дифференциального уравнения получим доказательство теоремы.Замечание. Теорема легко обобщается на случай нормальнойсистемы: x  f (t, x) .4.4. Корректность задачи КошиВ понятие корректности постановки задачи Коши входит,помимо существования и единственности ее решения, также непрерывная зависимость решения от параметров задачи, входящих в начальные условия, и в само дифференциальное уравнение.Это требование связано с физическим содержанием задач, так как иначальные условия, и сами уравнения на практике задаются с некоторыми погрешностями.

Естественным требованием является требование, чтобы и решение мало изменялось при малом измененииисходных данных задачи.4.5. Теорема о непрерывной зависимостиот параметраТеорема.dy f (x, y,  ) .dxПустьзаданодифференциальноеf ( x, y, )Функцияуравнениенепрерывна, 0    1 ,пои удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, y(x 0 )  y 0 , причемпостоянная Липшица N не зависит от  , т.е. существует максимальное значение N . Тогда решение задачи Коши непрерывнозависит от  .Доказательство. Организуем известный процесс последовательных приближений:y1 ( x,  )  y0 x f ( , y ,  )d ,0x044x f ( , y ( ,  ),  )d ,y2 ( x,  )  y0 1x0yi ( x,  )  y0 x f ( , yi 1( ,  ),  )d .x0Все функции y i (x,  ) непрерывны по совокупности аргументов. Последовательностьy (x, )iсходится равномерно посовокупности аргументов x и  , т.к.

N не зависит от  , и, следовательно, «сближающий» коэффициент  , 0    1 , в сжимающем операторе одинаков для всего диапазона параметра  . Поэтому предельная функция y( x, ) является непрерывной функцией своих аргументов. Теорема доказана.Замечание. Теорема легко обобщается на случай несколькихпараметров.4.6. Теорема о непрерывной зависимостиот начальных данныхТеорема. Рассмотрим задачу Коши для дифференциальногоуравненияdy f ( x, y ) , y ( x 0 )  y 0 ,dxx0 , и y0 могут принимать значения в некотором промежутке a  x0  b, c  y0  d . Проведём замену t  x  x0 ,z  y( x, x0 , y0 )  y0 . Получимгде иdz f (t  x0 , z  y0 ) , z(0)  0 ,dtи параметры из начальных перешли в правую часть дифференциального уравнения.

В силу предыдущей теоремы решение задачинепрерывно зависит от x 0 и y0 .454.7. Теорема о дифференцируемости по параметрами начальным даннымТеорема (приводится без доказательства). Рассмотрим заdyдачу Коши f ( x, y, ) , y(x 0 )  y 0 . Считаем, что f ( x, y, )dxнепрерывна по x , дифференцируема по  и y (при дифференцируемости условие Липшица выполняется). Тогда решение задачидифференцируемо по  .Заменой переменных и при дополнительном требованиидифференцируемости функции f ( x, y, ) также и по x , доказывается дифференцируемость по начальным данным.Замечание. Все теоремы, следующие за теоремой существования и единственности, обобщаются на случай нормальной системы.4.8.

Решение задачи Коши в виде рядапо малому параметруНа использовании теоремы о дифференцируемости решениязадачи Коши по параметрам и начальным данным основан методрешения задачи Коши в виде ряда по малому параметру. Рассмотdyрим задачу Коши f  x, y,   , y x0    , где функцияdx   бесконечно дифференцируема по  , а функцияf  x, y ,  бесконечно дифференцируема по всем трем аргументам. Представим искомую функцию в виде степенного ряда по  с коэффициентами, зависящими от x , а — в виде степенного ряда по  :y  x,    y0  x    y1  x    2 y2  x   ... ,     0  1   2  2  ...(4.1)Подставляя данные разложения в дифференциальное уравнение и начальное условие и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой частях дифференциальногоуравнения и начального условия, получим систему последователь46но решаемых дифференциальных уравнений с учетом начальныхусловий.Пример 5. Найти решение задачи Коши в виде ряда по малому параметру  :dy 4 y 2 , y 1  1  2 .dxxПредставим решение задачи Коши в видеy  x,    y0  x    y1  x    2 y2  x   ...Подставим в уравнение и начальное условиеdy0dydy4  1   2 2  ...

 y02  2 y0 y1   2 y12  2 2 y0 y2  ... dxdxdxx1  2  y0 1   y1 1   2 y2 1  ...Приравнивая члены с одинаковыми степенями  в левых иправых частях уравнения и начального условия, получим цепочкупоследовательно решаемых задач Коши:dy0  y02 , y0 1  1 ,dxdy1 4  2 y0 y1 , y1 1  2 ,dxxdy2  y12  2 y0 y2 , y2 1  0 ,dx…………………..При этом в каждой следующей задаче Коши используютсярешения предыдущих задач Коши, а потому все уравнения, кромеуравнения длядляy0  x  , являются линейными. Решая задачу Кошиy0 , получимy0  x  Уравнение для1.xy1  x  приобретает вид47dy1 4 2  y1 .dxx xРешая задачу Коши дляy1  x  , находимy1  x   2 .С учетом данных выражений длядляy0  x  и y1  x  уравнениеy2  x  принимает видdy22 4  y2 .dxxРешая задачу Коши, получаем44y2  x   2  x .3x3В итоге имеем1 4 4 y  x,     2   2  x   2  ...x 3x 3 48§5.

УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙЗададим дифференциальное уравнение первого порядка в виде, не разрешённом относительно производной:3.(5.1)F ( x, y, y)  0 , F  C( D) , D ЕслиF 0 , то уравнение локально разрешимо относительyно y  . Но при этом может оказаться несколько значений y  в одной точке, иными словами, получим локально несколько дифференциальных уравнений в окрестности одной точки:y  f1 ( x, y) , y  f 2 ( x, y) , ...,y  f k ( x, y) .Существование конечной частной производной по y отf i ( x, y) обеспечивает существование и единственность решениязадачи Коши для этого уравнения. Так какFfi yy,Fy yyконечностьf iyсводится к требованию конечностиFy.5.1.

Теорема существования и единственностидля уравнения, не разрешенногоотносительно производнойСформулируем задачу Коши для уравненияПустьF  x, y, p   C  G  , G Найти решение3F  x , y , y   0 .,  x0 , y0 , p0   G, F  x0 , y0 , p0   0.F  x, y, y  0, y  x0   y0 , y  x0   p0 .49F  x, y, p  непрерывно диф-Теорема. Пусть в G функцияF x0 , y0 , p0   0 .

Характеристики

Список файлов лекций