Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Множество всех действительных чисел представляет собойполное метрическое пространство, тогда как множество всех рациональных чисел с этой же метрикой является просто метрическимпространством.Рис. 3.2Докажем, что множество всех непрерывных на промежуткеa  x  b функций, графики которых лежат в прямоугольнике D :a  x  b , c  y  d (см. рис. 3.2), является полным метрическимпространством с метрикой ( y, z)  max y  z.(3.3)Сходимость в смысле метрики этого пространства, котороеобозначим пространством C , означает равномерную сходимость:lim  ( y, yn )  0 .n Первая и вторая аксиомы, очевидно, выполняются. Проверимтретью. При каждом значении x по свойству действительных чиселвыполняетсяy  z  y  u  u  z , в том числе это неравенствовыполняется при том значениимаксимум величиныx,y  z .

Имеем:29x  x , при котором реализуетсяmax y  z  y  u x  u  z x  max y  u  max u  z .Отсюда по определению метрики  ( y, z )   ( y, u)   (u, z ).Докажем полноту пространства C . Пусть последователь- y  x ностьk(n, m  N ) :няетсядомфундаментальна.Значит,(  0) (N ) ( yn , ym )   . Отсюда для любого x   a, bвыпол-yn ( x)  ym ( x)   , и числовая последовательность при каж-x   a, b является фундаментальной, а значит, сходящейся.Обозначим эту предельную функцию y( x) . По свойству пределовc  y( x)  d и график этой функции лежит в прямоугольнике D .Наконец, так как пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций является непрерывная функция, то yпринадлежит пространству C , и пространство C является полным.3.4. Принцип сжимающих отображенийТеорема 3.1. Пусть в полном метрическом пространствеM задан некоторый оператор A , переводящий точки, или элементы, M в точки, или элементы, M , т.е.

выполняется1) (y  M ) : ( A( y)  M ) ,и сближающий точки M , т.е. выполняется2) ( , 0    1) (y, z  M ) :  ( A( y), A( z))   ( y, z) .Тогда существует единственная неподвижная точка y  M , т.е.A( y)  y .Эту точку можно найти методом последовательных приближенийyn  A( yn1 ) ,30y  lim ynn (yyn в смысле метрики пространства M ).y0  M можно выбрать произвольно.является пределомНачальную точкуДоказательство. Сначала докажем, что последовательность yn  является фундаментальной. Запишем цепочку неравенств: ( y2 , y1 )   ( A( y1 ), A( y0 ))    ( y1, y0 ) , ( y3 , y2 )   ( A( y2 ), A( y1 ))    ( y2 , y1 )   2  ( y1, y0 ) , ( yn1, yn )   ( A( yn ), A( yn1 ))    ( yn , yn1 )   n  ( y1, y0 ) .Для оценки расстояния между элементами последовательности при больших значениях n запишем цепочку неравенств: ( yn , ynm )   ( ynm , yn )   ( ynm , ynm1 )    ( yn2 , yn1 )   ( yn1 , yn )  n  m 1n 1 n   nm    ( y1 , y0 )  ( y1 , y0 ) 1n ( y1 , y0 ).1Так как 0    1 иn ( y1 , y0 )  0 , тоn(  0) (N ) (n  N , m  0) : ( y1, y0 )   ,1и последовательность{ yn } фундаментальна, и вследствие полнотыпространства M сходится к некоторому элементу этого пространства M ,yM ,lim yn  y в смысле метрики этого пространства,n т.е.

lim  ( y, yn )  0 .n Доказательство, что полученный предел является неподвижной точкой, проведем методом от противного.Пусть A( y)  y, y  y . Тогда31 ( y, y)   ( y, yn )   ( yn , yn1 )   ( yn1, y) .Так как{ yn }является фундаментальной последовательно-стью, а y — ее предел, то для любого   0 при достаточнобольшом n имеем ( y, yn ) , ( yn , yn1 )  .33Для третьего слагаемого получим аналогичную оценку: ( yn1 , y)   ( A( yn ), A( y))    ( yn , y) В итоге .3 ( y, y)   и в силу возможности выбрать   0произвольно малым имеем ( y, y)  0  y  y  A( y)  y .Доказательство, что y — единственная неподвижная точка,также проведем методом от противного.

Предположим, чтоA( z)  z, z  y . Тогда  ( A( y), A( z))   ( y, z),что противоречитусловию сближения образов, y  z. Последнее доказательство было необходимо, т.к. при другом выборе начальной точки предел впринципе мог быть другим. Таким образом, от выбора начальнойточки при данной процедуре определения неподвижной точки, каки при каком-либо ином способе ее отыскания, другой неподвижнойточки найти нельзя. Принцип сжимающих отображений доказан.3.5. Условие ЛипшицаВ наиболее общей формулировке теоремы существования иединственности решения задачи Коши используется класс функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Это условие более ограничительное, чем непрерывность, но менее ограничительно, чемдифференцируемость.В случае функции одной переменной f ( x) считается, чтоона удовлетворяет на [a, b] условию Липшица, если32(N  0)(a  x1 , x2  b) : f ( x1 )  f ( x2 )  N x1  x2 . (3.4)В частности, у такой функции могут не существовать производные в отдельных точках — точках излома, сама же функцияпри этом непрерывна и даже равномерно непрерывна (см.рис.

3.3).Условию Липшица удовлетворяют функции, имеющие ограниченные односторонние производные:N  sup{ f ( x  0) , f ( x  0)} .[ a ,b ]Рис. 3.3Рис. 3.4Для непрерывно дифференцируемой на [a, b] функцииf ( x)N  max f ( x) .x[ a ,b ]В случае двух или нескольких переменных условие Липшицаможет относиться к части переменных. Так, в случае двух переменных говорят, что f ( x, y) удовлетворяет в прямоугольнике D :a  x  b , c  y  d (см. рис. 3.4) условию Липшица по переменной y , если(N  0) (( x, y1 ),( x, y2 )  D): f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  N y1  y2 .

(3.5)333.6. Теорема существования и единственностиРис. 3.5Теорема 3.2. Пусть задано дифференциальное уравнение( x0 , y0 ) , f ( x, y) непрерывна вx0  a  x  x0  a , y0  b  y  y0  b (см.y  f ( x, y) и начальные условияпрямоугольнике D :рис. 3.5) (при этом в силу замкнутости D функция f ( x, y) ограничена на D , т.е. существует такое M  0 , чтоf ( x, y ) удовлетворяет вf ( x, y)  M ),D по y условию Липшица, т.е.(N  0) : f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  N y1  y2 .Тогда существует единственное решение y( x) дифференциального уравнения y  f ( x, y) , определенное на промежуткеx0  h  x  x0  h , h  min  a, b , 1 M Nи принимающее при x  x0 значение y  y0 .Доказательство. Рассмотрим интегральный операторxA( y )  y0   f ( x, y ( x))dx .x0Так как имеет место оценка34(3.6)xxf ( x, y )dx x0f ( x, y ) dx  Mh  b ,x0а f ( x, y( x)) — непрерывная функция x как суперпозиция непрерывных функций, A( y( x)) представляет собой непрерывную натом же отрезкеy ( x) , лежит вx0  h  x  x0  hфункцию, график которой, как иD .

Таким образом, выполнено первое требование ксжимающему оператору, определенному в полном метрическомпространстве C . Проверим выполнение второго требования:x ( A( y), A( z ))  max  ( f ( x, y)  f ( x, z ))dx  ,x0x N max y  z dx  Nh max y  z  Nh ( y, z) ,x0и при Nh    1 отображение является сжимающим. Значит, существует единственная неподвижная точка интегрального оператораA( y)  y ,определяемая методом последовательных приближенийyn  A( yn1 ) .В силу эквивалентности интегрального уравнениярешению задачи Коши теорема доказана.Замечание.

Упомянутый метод последовательных приближений служит лишь для доказательства теоремы как один из способов получения решения уравнения.Замечание. Метрическое пространство C , будучи полным[ x0  a, x0  a] ,[ x0  h, x0  h] .наостается таковым и на меньшем промежутке3.7. Теорема существования и единственностидля нормальной системыДадим обобщение теоремы существования и единственностирешения задачи Коши для нормальной системы дифференциаль35ных уравнений первого порядка. Для этого потребуется обобщитьна случай системы формулировку задачи Коши, прямоугольникаD , условия Липшица, пространства C и его метрики, интегрального оператора.Нормальной системой называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной:(3.7)x  f (t , x) .Здесь x — вектор-функция аргумента t , точка сверху означает дифференцирование по t , илиxi  fi (t , x1, x2 , , xn ), i  1, 2, , n.

,где f i являются координатами n -мерного вектора f .Задача Коши для этой системы — найти ее решение, удовлетворяющее условиюили xi (t0 )  xi 0 , i  1, 2, , n.Определим для нее пространственный ( n 1) -мерный прямоугольник:x(t0 )  x0t0  a  t  t0  a, xi 0  bi  xi  xio  bi , i  1, 2, , n.Функции fi (t , x1, x2 , , xn ), i  1, 2, , n, считаем непрерывными в D .

Значит, они ограничены, т.е. существует такое положительное числоM , что fi  M , i  1, 2, , n.Условие Липшица обобщается следующим образом: существует такое положительное число N , что в D выполняетсяfi (t , x1(1) , x2(1) ,..., xn(1) )  fi (t , x1(2) , x2(2) ,..., xn(2) ) n(2) N  x (1)j  x j , i  1, 2,..., n.(3.8)j 1Полное метрическое пространство C определяется какпространство n -мерных непрерывных вектор-функций на отрезке bt0  h  t  t0  h, h  min a, 1 , M36,bn 1 ,M Nn с графиком, не выходящим за прямоугольникD , и с метрикойn ( x(1) (t ), x( 2) (t ))   max x(j1)  x (j2)j 1(3.9)tСжимающий оператор определим следующим образом:ttt0t0A( x )  ( x 10   f1 (t, x 1,..., x n )dt,..., x n0   f n (t, x 1,..., x n )dt ) ,гдеA  x  — непрерывная вектор-функция.(3.10)Докажем, что приведенный оператор обладает обоими свойствами сжимающего.

Имеем следующую оценку:t f (t, x ,..., x )dt  Mh  b , i  1, 2,..., n ,i1nit0и график A( x (t )) лежит в D . Второе свойство также выполняется.Рассмотрим цепочку неравенств: ( A( x(1) ), A( x(2) )) ntj 1t0ntj 1t0  max  [ f j (t , x1(1) ,..., xn(1) )  f j (t , x1(2) ,..., xn(2) )]dt   max  f j (t , x1(1) ,..., xn(1) )  f j (t , x1(2) ,..., xn(2) )dt ntj 1t0 i 1n N  max   xi(1)  xi(2) dt n Nhn max xi(1)  xi(2)  Nhn ( x(1) , x(2) ) .i 1и при Nhn    1 отображение является сжимающим. В итоге попринципу сжимающих отображений существует единственнаянеподвижная точка интегрального оператора, которую можнонайти методом последовательных приближений37xn  A( xn 1 ), x  lim xn , A( x )  x .n Эквивалентность системы интегральных уравнений задачеКоши для нормальной системы дифференциальных уравнений доказывается точно так же, как и для одного уравнения.

Этим завершается доказательство теоремы существования и единственностирешения задачи Коши для нормальной системы.38§4. ЗАДАЧА КОШИ (продолжение)4.1. Продолжение решенияРис. 4.1Существование и единственность решения задачи Коши до-x0  h  x  x0  h . Однако свойствафункции f ( x , y) определены на промежутке [ x0  a, x0  a] , включающем в себя промежуток [ x 0  h, x0  h] (см. рис. 4.1). Взяв заначальную точку ( x 0  h, y( x0  h)) или ( x 0  h, y( x0  h)) , можноказаны для промежуткапродолжить решение еще на h вправо или влево, если в окрестности этой точки выполнены условия теоремы существования иединственности решения задачи Коши — при этом слева от x 0  hили справа от x 0  h на перекрывающихся промежутках решения должны совпадать в силу единственности.За конечное число шагов такого рода интегральная криваяy( x ) достигнет границы прямоугольника D .

Характеристики

Список файлов лекций