Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Показана возможность ее использования при полученииобщего решения и решения задачи Коши. Дано построение матричной экспоненты в случае матрицы нормальной жордановойформы.Расширен раздел, связанный с вариационным исчислением.Рассмотрены функционалы на линейных нормированных пространствах и проанализирована зависимость решения вариационных задач от класса допустимых функций, доказана лемма о скруглении углов. Добавлена востребованная в приложениях задачаБольца и дан пример из области аэродинамики вынужденного пересмотра постановки не имеющей решения задачи с закрепленными концами на имеющую решение задачу Больца.Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений по направлениям «Прикладные математика и физика» и«Прикладная математика и информатика».8ВведениеАвторы пособия следуют достаточно традиционному порядку изложения материала.

Сразу после знакомства с основными понятиями и простейшими типами дифференциальных уравнений доказываются теоремы существования и единственности решения задачи Коши для одного уравнения и нормальной системы, рассматриваются вопросы, связанные с корректностью постановки задачиКоши и особыми решениями. Затем следуют уравнения высокогопорядка и краевые задачи.Далее рассматриваются общие свойства линейных уравненийи систем и особенно подробно уравнения и системы с постояннымикоэффициентами. После этого студенты знакомятся с матричнымдифференциальным уравнением и матричной экспонентой, преобразованием Лапласа, операционным исчислением и более подробнос вариационными задачами.Затем исследуются свойства решений линейного уравнениявторого порядка с переменными коэффициентами, рассматриваетсяпреобразование Лиувилля и асимптотика решений уравнений с почти постоянными коэффициентами.

Рассматриваются вопросыустойчивости линейных и нелинейных систем. Наконец, исследуются решения уравнения в частных производных первого порядка.В пособии достаточно много иллюстративного материала изадач, закрепляющих понимание теории. Пособие соответствуетпринятой в МФТИ программе курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения».9§1. ОБЫКНОВЕННЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯДифференциальным уравнением называется уравнение вида(1.1)F ( x, y, y, y, ..., y ( n) )  0 ,т.е.

уравнение, содержащее, помимо аргумента x и функции y ,также производные этой функции. Считаем, что F является непрерывной функцией своих аргументов в некоторой (n  2) -мернойобласти D :F  C ( D), D  n2 .Замечание. В дальнейшем используется также следующееформальное определение дифференциального уравнения  x, y, dx, dy, d 2 y, ..., d n y   0,где производная yk (1.2)интерпретируется как формальное частноеdk ydk y.dx k  dx kПорядком дифференциального уравнения n называетсянаивысший порядок производной, входящей в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется функция y  y( x) ,которая после подстановки в уравнение обращает его в тождество.Функция y  y( x) является n раз непрерывно дифференцируемойна некотором промежутке: открытом, замкнутом, полуоткрытом, навсей действительной оси:y( x)  C n (a, b) , y( x)  C n [a, b] .Интегрирование дифференциального уравнения — это процесс нахождения его решения.

Для простейших типов уравненийy   f ( x) , y ( n )  f ( x) интегрирование сводится к квадратурам,нахождению первообразныхy  f ( x) , y( x)  F ( x) , F ( x)  f ( x) ,и т.к. первообразная определяется с точностью до аддитивной постоянной, то имеем не одно, а множество решений10y( x)  F ( x)  C , или семейство решений. В случае уравнения n го порядка в решение входит n констант:ny   f  x  , y  F  x   C1  C2 x  C3 x 2  ...  Cn x n1 .В настоящем курсе в основном рассматриваются так называемые обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащиепроизводные от функций одной переменной.

Дифференциальныеуравнения, содержащие частные производные функций несколькихпеременных, называются уравнениями в частных производных. 2u  2uПример 1. 0. x2  y 2Рис. 1.1Рис. 1.2Для краткости термин обыкновенные будем далее опускать. Впростейшем случае дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной y   f ( x, y) , его интегрирование имеет простой геометрический смысл. Каждой точкена плоскости ( x, y ) ставится в соответствие направление — угловой коэффициент y   f ( x, y) . В итоге имеем так называемое поле направлений.

Интегрирование дифференциального уравнениясводится к построению интегральных кривых y  y( x) , касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению снаправлением поля (см. рис. 1.1). С полем направлений связанотакже другое семейство кривых — изоклин. Изоклиной называютгеометрическое место точек, где y  const (см. рис. 1.2).11Рассмотримпростейшеедифференциальноеуравнение2y   x , его решение — семейство парабол y x C (см.2рис. 1.3). При каждом фиксированном значении C имеем так называемое частное решение дифференциального уравнения.

Решение,содержащее произвольную константу C , называется общим решением дифференциального уравнения. В данном примере общее решение содержит все решения. В дальнейшем рассмотрим примеры, когда некоторое частное решение нельзя получить из общегони при каких значениях константы. Решение уравнения болеевысокого порядка содержит большее число независимых констант,равное порядку дифференциального уравнения. При каждом интегрировании появляется естественным образом новая константа— постоянная интегрирования:y  x, y x2x3 C1 , y   C1 x  C2 .26Рис. 1.3Константа не обязательно является аддитивной:y y, y  Cx .xВ общем случае решение дифференциального уравненияy  f ( x, y ) получим в виде y   ( x, C ) .12Рис.

1.4Решение дифференциального уравнения не всегда удаётсянайти в явном виде, разрешённом относительно y , y   ( x, C) ,либо в связи с многозначностью решения явный вид менее «удобен».Рассмотрим уравнение x  yy   0 или xdx  ydy  0 , которому удовлетворяет семейство окружностей x 2  y 2  C, C  0 .В данном примере лучше считать x и y «равноправными» переменными, иначе точки окружностей при y  0 следует «выбросить» (см. рис. 1.4).Решение дифференциального уравнения первого порядка,полученное в неразрешённом относительно y виде,  ( x, y, C )  0,называют его общим интегралом. При каждом фиксированномзначении С получим так называемый частный интеграл дифференциального уравнения. Кривые  ( x, y, C )  0, C  const,называются интегральными кривыми дифференциального уравнения.В общий интеграл дифференциального уравнения высокогоF ( x, y, y, y, .., y ( n) )  0порядкавходятконстант:n( x, y, C1 , C2 ,, Cn )  0 .

Дадим определение общего интеграла.Соотношение вида( x, y, C1 , C2 ,.., Cn )  0,   C n ,называется общим интегралом дифференциального уравненияF ( x, y, y, y,.., y ( n) )  0,13(1.3)если продифференцировав это соотношение n раз по x , считаяпри этом y функцией x и исключая из (n 1) соотношений nконстант C1 , C2 , , Cn , мы получим дифференциальное уравнениеF ( x, y, y, y,, y (n) )  0 .Приведёмупомянутуюсистему(n 1) соотношений: ( x, y, C1 , C2 ,, Cn )  0, y  0,x y 2 2 2 2 2yy y  0, x2 x y y2y n xn(1.4) ( n )y  0.yЗамечание. Определение носит совершенно общий характер.Способ исключения констант — вопрос особый, как и принципиальная возможность этой операции.

В каждом конкретном случаенеобходимо специальное исследование.Указанную процедуру можно рассматривать так же, как способ решения обратной задачи, а именно, восстановить дифференциальное уравнение по его общему интегралу( x, y, C1 , C2 , , Cn )  0,  C n .y  C1 cos x  C2 sin x,y  C1 sin x  C2 cos x,Пример 2.y  C1 cos x  C2 sin x.Из первых двух соотношений найдём C1 , C2 :C1  y cos x  y sin x , C2  y cos x  y sin x .Подставляя их в третье соотношение, получим окончательноy  y  0 .14§2. ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПЕРВОГО ПОРЯДКА2.1. Уравнения с разделяющимися переменнымиdy f ( x) ( y ) или f ( x)dx   ( y)dy .dx(2.1)Решение уравнения этого типа сводится к двум независимымквадратурамF ( x)  ( y)  C , F ( x)  f ( x) , ( y)   ( y) .dy x2 y3 .dxПример 1.Разделяя переменные, получимdy1x32xdx,,Cy32 y23Cи общим интегралом являетсяx31 2.3 2yУравнение типаdy f (ax  by ) , a  0, b  0dx(2.2)приводится к уравнению с разделяющимися переменными следующей заменой: z  ax  by , y z ax.b bdz bf ( z)  a .dxdyПример 2.  sin 2  x  y  .dxПроведем замену z  x  y, y  z  x .

Получимdzdzdz 1   sin 2 z, cos 2 z, dx .dxdxcos2 zПолучимИнтегрируя последнее уравнение, получимtg z  x  C, z  arctg  x  C  , y  arctg  x  C   x .152.2. Однородные уравненияОднородным уравнением называется уравнение вида y(2.3)y  f  xили вида y  f ( x, y) , где f (tx, ty )  f ( x, y) , т.е. является однородной функцией нулевого порядка, или измерения.Для справки. Однородной функцией n-го порядка называютфункцию,удовлетворяющуюследующемусоотношению:f (tx, ty)  t n f ( x, y) .Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными следующей заменой: y  ux .Получим в итоге: u f (u )  u.xdy y  x.dx y  xПроведем замену y  ux .

ПолучимПример 3.u 1u 2  2u  1duu  1 duxu ,u ,u 1u 1dxu  1 dx u  1 du  dx ,1ln C ln u 2  2u  1  ln x ,2u  2u  1 x22где C  0, ln C  ln u 2  2u  1 x 2 ,xC  x2 u 2  2u  1  y 2  2 yx  x 2 , y 2  2 yx  x2  A,где A может быть любого знака.Некоторые уравнения можно привести к однородным степенной заменой зависимой или независимой переменной:y  z , x  t  .Это можно попытаться сделать, если слагаемые уравненияимеют разные суммарные степени по x и y .

При этом дифференцированию отвечает минус первая степень x . Степенная заменапозволяет в ряде случаев уравнять суммарные степени слагаемых.16Пример 4.yy   xy  x 3  0 .Суммарные степени слагаемых здесь соответственно равны1, 2, 3.Ищем замену в виде y  z  :α z 2α 1 z  xz α  x3  0 .При   2 все слагаемые имеют одинаковую суммарнуюстепень 3 :2 z 3 z  xz 2  x3  0 .Некоторый класс уравнений приводится к однородным простым переносом начала координат. К таким уравнениям относятсяуравнения типаРис.

2.1 ax  by  c dy , ab1  ba1  0 . fdx a1 x  b1 y  c1 (2.4)Сместим начало координат в точку пересечения прямыхax  by  c  0 , a1 x  b1 y  c1  0 и произведем заменуx  x *  x0 , y  y *  y0 (см. рис. 2.1). В итоге придём к однородному уравнению ax *  by * dy *.f** dx * a1 x  b1 y 17Замечание. Если ab1  ba1  0 , то прямые ax  by  c  0 ,a1 x  b1 y  c1  0 параллельны или совпадают, но в этом случаеуравнение непосредственно приводится к уравнению с разделяющимися переменными рассмотренной ранее заменой, являясь уравнением типаdy f (ax  by ) .dx2.3.

Характеристики

Список файлов лекций