Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда найдется такое   0 ,pчто при x  x0   решение задачи Коши существует и единференцируема иственно.Иными словами, находим интегральную кривую, проходящую через заданную точку x0 , y0 в заданном направленииy0 ,где y0 — один из корней уравнения F ( x0 , y0 , y)  0 .Доказательство. Рассмотрим системуy   x   p,F  x, y, p   0.В некоторой окрестностиU  x0 , y0 , p0   G выполненыусловия теоремы существования и единственности неявной функцииp  f  x, y  .

Значит, найдутся окрестности точек  x0 , y0  иp0 , что для всех  x, y  из окрестности точки  x0 , y0  существуетединственное решениеточки p0 уравненияЭто решениеp  f  x, y  , принадлежащее окрестностиF  x, y , p   0 .p  f  x, y  — непрерывно дифференцируемаяфункция в окрестности точек x0 , y0  иp0 .Далее рассмотрим задачу Коши:y  f  x, y  , y  x0   y0 .В прямоугольникеx  x0  a, y  y0  b , принадлежащемупомянутой окрестности точки x0 , y0  , выполнены условия теоре-мы существования и единственности решения задачи Коши длядифференциального уравнения, разрешенного относительно произ50водной.Эторешениесуществуетиединственнопри b x  x0   ,   min  a,  , M  max f  x, y  . My  ( x  y) y  xy  ( y  x)( y  y)  0 ,Пример 1.и дифференциальное уравнение распадается на два независимыхуравнения. Решая их, получим два независимых семейства решений. При x  y происходит касание кривых этих семейств,2Fx2x 0 , корень уравнения отноy   A , y  Be , при этомy2сительно y  является кратным.

При x  y нарушается единственность решения задачи Коши, решение в заданном направлении может быть продолжено по любой из двух кривых (см. рис. 5.1).Рис. 5.1Рис. 5.2y  y  1  0 , y    1  y .Пример 2.Имеемдвасемействарешенийy  sin( x  A) ,y  sin(  x  B) , которые пересекаются при  1  y  1 и любомзначении x . Единственность нарушается при y  1 . В этом случае корень уравнения относительно y  является кратным y   0 ,22251F 0 . Кривыеyy  1 также являются решениями дифференци-ального уравнения, не входящими в семейства решений, зависящихот параметра.

Эти кривые касаются в каждой точке кривых семейств и являются так называемыми огибающими этих семействкривых (см. рис. 5.2).5.2. Уравнения, разрешенные относительно y или x.Метод введения параметраРассмотрим уравнение типа y  f ( x, y ) . Введём параметрy   p . Тогда y  f ( x, p) . Возьмём дифференциал от обеих частей этого уравнения, получимdy  pdx ffdx dp .xpПоследнее уравнение является дифференциальным относительно x, p . Пусть его интеграл имеет вид ( x, p, C)  0 . Добавив к нему зависимость y  f ( x, p) , получим параметрическоесемейство решений:y  f ( x, p ),( x, p, C )  0.(5.2)Иногда из этой системы можно исключить p и получитьсемейство решений  ( x, y, C)  0 .Аналогично рассматривается случай уравнения типаx   ( y, y ) .

Имеемy  p , x   ( y , p ) ,dx dy dy  dpp ypи получим дифференциальное уравнение относительно y, p . Егоинтеграл ( y, p, C)  0 и исходное соотношение x   ( y, p) представляют собой параметрическое неявное семейство решений:x   ( y, p),( y, p, C )  0.52(5.3)3xy2  y  e2 y .4Уравнение можно разрешить и относительно y , и относительно x , но проще относительно x . Введем параметр y  p ,имеемПример 3.x1 3 2 ye .p 4 p2Возьмем дифференциал от обеих частей уравненияdx dydp 33  2  3 e2 y dp  2 e2 y dy .pp 2p2pПреобразуем его к виду  dp  pdy  2 p  3e2 y  0 . Прирав-нивая первый сомножитель нулю, получим дифференциальное1уравнение dp  pdy  0 .

Решая его, найдем p . Наконец,Ce yподставляя выражение для p в зависимость x от p и y , полу3чим общий интеграл x  Ce y  C 2 . Приравнивая нулю второй42 y3сомножитель 2 p  3e  0 , получим p  e2 y . Подставляя вы2ражение для p в зависимость x от p и y , получим x e2 y. По3следнее соотношение также является интегралом дифференциального уравнения, но ни при каких значениях C не «включается» вобщий интеграл, т.е. общий интеграл в данном случае не описываетвсе решения.Замечание. Распространенной ошибкой является попытка2 yиспользовать соотношение 2 p  3e  0 как еще одно дифференциальное уравнение, т.к.

p  y . В этом случае получим2 y  3e2 y  0 ,dx 2 2 y e , x  1 e2 y  A .dy 3353Подстановка в дифференциальное уравнение показывает, чтолишь при A  0 полученное соотношение является решением. Витоге проделано много «лишней» работы.Замечание. Кривая, описываемая соотношением 3x  e2 y ,является огибающей семейства кривых 4 x  4Ce y  3C 2 .В каждой точке кривой ее касается одна из кривых семейства.Параметрическое решение уравнения, не разрешенного относительно y  , а также не разрешаемого относительно y или x ,возможно в следующем случае. Пусть для уравненияF  x, y, y  0 , как неявной функции трех аргументов, полученопараметрическое решение:Тогда имеемx    u , v  , y    u , v  , y    u, v  .du dvdyuv.   u, v  dxdu dvuvДля производнойdvполучимdu dvu u .du    u, v  vv  u, v Решая это уравнение, найдемv    u, C  .

Отсюда получимдля исходного уравнения параметрическое решение:x    u,   u, C   , y    u,   u, C   .Еслиполученинтеграл дифференциальногоуравнения  u, v, C   0 , то возможно следующее представление решения:x    u, v  , y    u, v  ,   u, v, C   0 .545.3. Уравнение ЛагранжаЧастным случаем дифференциального уравнения, разрешённого относительно y , является уравнение Лагранжа:(5.4)y  x ( y )   ( y ) .Введём параметр y   p , получим линейное уравнение, интегрируемое в квадратурах:y  x ( p)  ( p), dy  pdx   ( p)dx  ( p)dp  x ( p)dp,( p   ( p))dx  ( x ( p)  ( p))dp.Присоединяя к его общему решению x  C ( p)  ( p) соотношение y  x( p)   ( p) , найдем параметрическое семействорешений более простого вида, чем в общем случае уравнения типаy  f ( x, y ) :x  C  p     p  ,(5.5)y  x  p     p  .Уравнение Лагранжа может иметь решения, не принадлежащие семейству решений, полученному выше.

Если выражениеp   ( p ) имеет корень или корни pi   ( pi ) , то решениями уравнения Лагранжа являются прямые(5.6)y  x ( pi )   ( pi ) ,гдеpi— один из корней уравнения p   ( p)  0 .5.4. Уравнение КлероЧастным случаем уравнения Лагранжа является уравнениеКлеро:(5.7)y  xy    ( y  ) .Введем параметр y   p , и дифференциальное уравнениеимеет чрезвычайно простой вид:( x  ( p))dp  0 .Общим решением уравнения Клеро является семейство прямых p  C :(5.8)y  Cx   ( C ) .55Еще одним решением уравнения Клеро является параметрическая кривая (см. рис. 5.3):y  xp  ( p),x  ( p)  0,(5.9)которая является огибающей семейства кривыхy  Cx  (C ) .Рис.

5.3Рис. 5.4Действительно, возьмем дифференциалdy  Cdx  ( x   (C ))dC .Огибающая в каждой точке совпадает с одной из кривых семейства. В этой точке C является функцией x :y  C ( x) x   (C ( x)) .Эту связь найдем из требования совпадения касательных вэтой точке. Касательные совпадают, если коэффициент перед dCв выражении для dy обращается в нуль: x   (C )  0 . Параметрическое представление огибающей имеет видy  Cx  (C ),x  (C )  0.Замечание. Частным случаем уравнения Клеро являетсяуравнение видаy  xy  ay  b .Перепишем его в виде56y  b  y ( x  a) .Ясно, что все решения этого уравнения представляют собойпучок прямых, проходящих через точку с координатами  a, b  :y  b  C ( x  a) .

Эта точка является особой точкой дифференциального уравнения (см. рис. 5.4).57§6. ОСОБЫЕ МНОЖЕСТВАИ ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯТочки, в которых нарушается единственность решения задачи Коши либо решение не существует при данных начальныхусловиях, называются особыми. Особым множеством называетсямножество, состоящее из особых точек.Особая кривая — кривая, состоящая из особых точек.Особое решение — особая кривая, являющаяся решениемдифференциального уравнения.Для определения особых точек находят точки, где нарушаются условия теоремы существования и единственности.

Однакоэти условия являются достаточными, поэтому и найденные точкиявляются лишь «кандидатами в особые», т.е. не обязательно особыми, и подлежат проверке. Но только среди этих точек могут оказаться особые.dyВ случае уравнения f ( x, y ), , разрешенного относиdxтельно производной, исследованию подлежат точки, где нарушается непрерывность f ( x, y) либо f ( x, y ).yКоличество исследуе-мых точек можно сократить, если считать x и y «равноправными» переменными, т.

Характеристики

Список файлов лекций