Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Линейные уравненияВажнейшим типом дифференциальных уравнений являетсялинейное уравнение, каждое слагаемое которого содержит y илиy  в степени не выше первой:y  p( x) y  f ( x) ,p( x)  C ( D) , f ( x)  C ( D) , D ,(2.5)где D — открытый, замкнутый, полуоткрытый промежуток, всядействительная ось и т.д.Линейность уравнения сохраняется при замене независимой переменной: x   ( ) ,  C 1 ,  ( )  0 ,1 dy p[ ( )] y  f [ ( )] . ( ) dЛинейность уравнения сохраняется при замене зависимойпеременной:y   ( x) z   ( x) ,  C 1 ,   C1 ,  ( x)  0 , ( x) z  [ ( x)  p( x) ( x)]z   ( x)  p( x) ( x)  f ( x) .Рассмотрим процедуру решения линейного уравнения. Сначала решим линейное уравнение без правой части — линейное однородное уравнение, соответствующее исходному линейному неоднородному уравнению:y   p( x) y  0 ,dy p ( x ) dx  p( x )dx , y  Ce .yЗатем попытаемся найти решение линейного неоднородногоуравнения почти в том же виде, но считая коэффициент C зависящим от x , т.е.

функцией x . В итоге получим выражение для C  .Последующая квадратура определяет функцию C( x ) :18 p ( x ) dx,y  C ( x)e  p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dxC( x)e  p( x)C ( x)e  p( x)C ( x)e  f ( x) ,C ( x)  f ( x)e Пример 5.p ( x ) dx, C ( x)  f ( x )e p ( x ) dxdx  A .dysin x. y ctg x dxcos 2 xРешаем однородное уравнение:dy cos xdydx  0, ln y  ln sin x  ln C , y ctg x  0,y sin xdxгде C  0,y  C sin x , y  A sin x, где A может быть любогознака.

Ищем решение неоднородного уравнения в видеy  A  x  sin x ,т.е. A является искомой функцией x .A sin x  A cos x  A sin x ctg x A sin x,cos2 x1, A  tg x  B,cos 2 xгде B постоянная.Окончательно получим y   tg x  B  sin x  B sin x sin 2 x,cos xгде первое слагаемое — общее решение однородного уравнения,второе — частное решение неоднородного уравнения.Пример 6.dy 5 y x 4 ln x .dx xРешением однородного уравнения является y  Cx5 . Ищемрешение неоднородного уравнения в виде y  C  x  x , получим5Cx5  x 4 ln x, C  x  ln 2 xx5 ln 2 x A, y  Ax5 .22Изложенный метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения по известному решению соответствующего ли19нейного однородного уравнения называется методом вариации постоянной.

В итоге общее решение линейного неоднородногоуравнения равно сумме общего решения линейного однородногоуравнения и некоторого частного решения линейного неоднородного уравнения. В приводимой ниже формуле это соответственно первое и второе слагаемое правой части: p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dxy( x)  Ae e  f ( x)e dx.(2.6)Замечание. Все приведённые выше интегралы являются интегралами с переменным верхним пределом x , который для краткости не пишем, опускаем. Так же будем поступать и в дальнейшемв аналогичных случаях.Сформулированное выше свойство — форма представленияобщего решения линейного неоднородного уравнения — имеет характер теоремы и может быть получено непосредственно, не выписывая конкретную интегральную форму решения.y — некоторое решение линейного неоднородногоПусть ~уравнения:y   p ( x) ~y  p( x) y  f ( x) , ~y  f ( x) .Обозначим y  y  y и подставим в дифференциальноеуравнение~y   y   p ( x) ~y  p( x) y  f ( x) .В итоге y удовлетворяет линейному однородному уравнению.y  p( x) y  0 .Другие важные свойстваЕсли правую часть можно представить как сумму двух функцийf ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) ,то частное решение линейного неоднородного уравнения с правойчастью f ( x) можно найти как сумму частных решений уравненийy  p( x) y  f1 ( x) , y  p( x) y  f 2 ( x) .Действительно, сложим два уравнения~y1  p( x) ~y1  f1 ( x) , ~y2  p( x) ~y2  f 2 ( x) ,20~y1  ~y2   p( x)~y1  ~y2   f1 ( x)  f 2 ( x) .Если известны два разных частных решения линейного неоднородного уравнения, то их разность является решением линейного однородного уравнения:~y  p( x) ~y  f ( x) , ~y2  p( x) ~y2  f ( x) ,11~y1  ~y2   p( x)~y1  ~y2   0 ,а общим решением последнего является y  C( ~y1  ~y2 ) .Замечание.

Вообще для линейных однородных уравненийхарактерно «вхождение» в решение констант в виде множителей.Частное решение линейного неоднородного уравнения в рядеслучаев можно найти, не прибегая к методу вариаций постоянной.Его можно «угадать» либо «угадать вид», в каком его следует искать.Пример 7.y  2y  3, ~yПример 8.y 3.25y 2x 2  x 3 .xИсходя из структуры правой части уравнения и структурыдифференциального оператора в левой части следует искать частное решение в виде суммы степенных функций с неопределённымикоэффициентами, которые найдём после подстановки в дифференциальное уравнение:11~y  ax3  bx 4 , a  , b  .94В данном примере и решение однородного уравнения можнонайти в виде степенной функции с неизвестным заранее показателем, определяемым после подстановки в однородное уравнениеy  x k , k  5 .

В итоге общее решение исходного уравненияимеет видx3 x 4y  Ax   .4 95212.4. Уравнение Бернуллиy   p( x) y  q( x) y n , n  1 , n  0 .(2.7)Уравнение Бернулли приводится к линейному следующимприёмом. Делим уравнение на y n , избавляясь таким путём от y вy  p( x ) n 1  q ( x ) .

После этого напрашиваетynyодном из слагаемыхся замена функцииz1yn 1,1z   p( x ) z  q ( x ) .1 nЗамечание. При n  0 из-за деления на y n произошла потеря решения y  0 . Это решение надо присовокупить к общему решению уравнения Бернулли при n  0 .2.5. Уравнение Риккатиdy p ( x) y  q ( x) y 2  f ( x) .dx(2.8)Уравнение лишь в исключительных случаях приводится куравнению Бернулли, а затем к линейному. Это можно сделать, если удастся найти его частное решение y .

Тогда представимy  y  z . Получимy  z  p( x) y  p( x) z  q( x) y 2  2q( x) yz  q( x) z 2  f ( x) ,z  [ p( x)  2q( x) y]z  q( x) z 2  0 .y  (1  x2 ) y  y 2  2 x , y  1  x 2 .Пример 9.Замечание. Уравнение может оказаться линейным, если поменять местами x и y , сделав x функцией, а y аргументом:dy ( y)dxxf ( y),.dx x  f ( y ) dy  ( y )  ( y)dycos yПример 10..dx x sin y  2 x 4 cos 2 y22Уравнение становится уравнением Бернулли, если y сделатьаргументом, а x — функцией:dx1 dx x tg y  2 x 4 cos y, 4dyx dydu3 dx1 4,сделаем замену u  3 ,dyx dyx1tg y  2cos y,x3du 3u tg y  6cos y .dyРешением однородного уравнения является u  C cos3 y .

Далееимеем6, C  A  6tgy,cos 2 y1 6 tg y .u  A cos3 y  6sin y cos2 y, A  3x cos3 yC cos3 y  6cos y, C   2.6. Уравнение в полных дифференциалахУравнением в полных дифференциалах называется уравнение видаUU, N ( x, y ) . (2.9)yxПример 11.(2 xy  y3 )dx  ( x2  3xy 2 )dy  0 .Здесь U  x 2 y  xy 3 . Интегралом данного уравнения является x 2 y  xy 3  C .UUdx dy  dU  0 , интеграл уравненияВообще, т.к.xyM ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 , M ( x, y ) в полных дифференциалах есть U ( x, y)  C .Для проверки, является ли дифференциальное уравнение видаM ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0уравнением в полных дифференциалах, используется свойство независимости смешанной производной от порядка дифференцирования:23 M  N  2U 2U,. y  x  y x  x yПосле этой проверки процедура определения интеграла сводится к следующим операциям:U ( x, y)   M ( x, y)dx   ( y),y  consty  M ( x, y)dx   ( y)  N ( x, y).Отсюда находим  ( y ) и затем квадратурой —  ( y ) .U  x, y  в последнем приM N 2x  3 y2имеемyxОпишем процедуру определениямере.ПослепроверкиU 2 xy  y 3.

Интегрируем, фиксируя y :xU  x, y   x2 y  y3 x    y  .Здесь «константа» интегрирования зависит от y .U x 2  3xy 2  x 2  3 y 2 x     y  ,yзначит,    y   0 и   y   A .ФункцияU  x, y  определяется с точностью до аддитивногослагаемого: U  x, y  Еслиx2 y  y 3x  A .M N, то дифференциальное уравнениеy xM ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0можно привести к дифференциальному уравнению в полных дифференциалах, умножив его на некоторый множитель, т.н. интегрирующий множитель  ( x, y) : ( x, y)M ( x, y)dx   ( x, y) N ( x, y)dy  0 .Этот множитель должен удовлетворять следующему уравнению:24 ( M )  ( N ),yxкоторое является по отношению к  ( x, y) дифференциальнымуравнением в частных производных. В общем случае найти дажеодно какое-либо решение этого уравнения — совсем не простая задача.В ряде случаев определение интегрирующего множителя ( x, y) сводится к его «угадыванию» либо к «угадыванию вида», вкотором его можно попытаться найти.Например:   ( x) ,    ( y) ,    ( x) ( y ) ,  x y  .x1dy xy   dx   0 ,  ( x, y)  ,yxyx3 x 2 1xdyU(x,y) C.,xdx03 yyy2Пример 12.Приведем соображения «по угадыванию».

Раскроем скобки:xydx dx dy 0.x yПоследние два слагаемых с точностью до множителя равны x y либо d   : x yдифференциалу d  x  ydx  xdy dx xd   2 dy,y2y y y y  xdy  ydx dy yd   2 dx,x2x xxdx dy y  x   d  ,xy x  ydx dyx  y   d  .xyy xПервое представление предпочтительней, т.к. после умножения наxи первое слагаемое будет полным дифференциалом:y25x x3 x x 2 dx  d    0 , d     0 . y 3 yЗамечание. Интегрирующий множитель находится неоднозначно. В частности, если  ( x, y) — один из них, то можно найтицелое семейство интегрирующих множителей. Пусть V ( x, y )  Cестьинтегралдифференциальногоуравнения.Тогда1   (V ) ,  C1 , тоже является интегрирующим множителем.Действительно,1 (Mdx  Ndy)   (V ) (Mdx  Ndy)   (V )dV  0 , и(V )    (V )dV  C— тоже интеграл дифференциального уравнения.Этим исчерпывается все множество интегрирующих множителей.

Последнее утверждение приводим без доказательства.26§3. ЗАДАЧА КОШИЗадачей Коши, или задачей с начальными условиями, длядифференциального уравнения y  f ( x, y) называется следующаязадача.Найти решение дифференциального уравнения y  f ( x, y) ,, которое удовлетворяет условию y( x0 )  y0 ,т.е. находится интегральная кривая, проходящая через точкуf  C ( D) , D ( x0 , y0 )2(см. рис. 3.1).Рис.

3.13.1. Эквивалентность интегральному уравнениюЗадача Коши эквивалентна следующему интегральномууравнению:xy ( x)  y0   f ( x, y ( x))dx .(3.1)x0Проинтегрируем уравнение y( )  f ( , y( )) отучетом начального условияy( x0 )  y0 :xy ( x)  y ( x0 )  f ( , y( ))d .x027x0доxсС другой стороны, продифференцируем поxпоследнее со-отношение, получим y( x)  f ( x, y( x)) . Полагая в интегралеx  x0, получим y( x0 )  y0 .Интегральная форма оказывается удобной для доказательстваряда важных общих теорем и для организации процедуры последовательных приближений построения решения задач.Доказательство теоремы существования и единственностирешения задачи Коши будет приведено ниже с помощью принципасжимающих отображений, в котором используется понятие полного метрического пространства.3.2.

Метрическое пространствоМножество элементов M называется метрическим пространством, если на нем определена неотрицательная функция упорядоченных пар элементов  ( y, z ) , называемая расстоянием, или метрикой, и удовлетворяющая для всех элементов следующим тремаксиомам:1)  ( y, z )  0  y  z,(3.2)2)  ( y, z )   ( z, y ),3)  ( y, z )   ( y, u )   (u, z ).Третья аксиома носит название неравенства треугольника —любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.3.3. Полное метрическое пространствоМетрическое пространство называется полным, если каждаяфундаментальная последовательность его элементов сходится, азначит, пределом является элемент этого пространства.Последовательность в общей терминологии метрическогопространства называется фундаментальной, если для этой последовательности yk  выполняется(  0) (N ) (n, m  N ) :  ( yn , ym )   .28Напомним, что в случае пространства действительных чиселрасстоянием между ними считается абсолютная величина их разности.

Характеристики

Список файлов лекций