Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫК ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ .............................................................144§17. НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ НЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА.МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ. ........................................155§18. МАТРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ...........16118.1. Матричная экспонента ...............................................................162§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ...................................................17219.1. Линейность преобразования Лапласа .......................................17319.2. Основные изображения..............................................................17319.2.1. Изображение производной .............................................17319.2.2.

Изображение интеграла..................................................17419.2.3. Формула запаздывания...................................................17419.2.4. Производная преобразования Лапласа ..........................17419.2.5. Функция Хевисайда ........................................................17519.2.6. Изображение степеней xn ...............................................17519.2.7.

Изображение функции e λx ............................................17619.2.8. Изображение функции − .......................................17619.2.9. Изображение и .....................................17619.3. Решение задачи Коши методами операционного исчисления .177§20. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА.............................18320.1. Существование ФСР ..................................................................18320.2. Построение ФСР как совокупности решений задачи Коши.....18420.3. Общее решение ..........................................................................18420.4. Обратная задача построения дифференциального уравненияпо фундаментальной системе решений.....................................18420.5.

Формула Остроградского–Лиувилля ........................................187520.6. Понижение порядка линейного однородногодифференциального уравнения, если известно его частноерешение...................................................................................... 18920.7. Сопряженное дифференциальное уравнение ........................... 189§21. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА РЕШЕНИЙНОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ......................................................... 19321.1. Формула Остроградского–Лиувилля для нормальнойсистемы ...................................................................................... 19321.2. Существование фундаментальной матрицы решений .............

19521.3. Обратная задача определения матрицы системы по ФМР ...... 19621.4. Структура общего решения однородной системы ................... 19621.5. Общее решение неоднородной системы. Метод вариациипостоянных ................................................................................ 19821.6. Задача Коши .............................................................................. 200§22. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ............................................. 20222.1. Функционалы на линейных нормированных пространствах .. 20222.2.

Лемма о скруглении углов ........................................................ 20622.3. Простейшая задача вариационного исчисления ...................... 20822.4. Уравнение Эйлера ..................................................................... 21122.5. Исследование на минимум или максимум ............................... 21522.6. Достаточные условия слабого минимума(без доказательства) ..................................................................

217§23. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (продолжение 1) ................ 22223.1. Задача с подвижными концами................................................. 22223.2. Односторонний экстремум ....................................................... 22523.3. Вариационная задача для нескольких функций ....................... 22723.4.

Задача с производными высших порядков ............................... 228§24. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (продолжение 2) ................ 23024.1. Изопериметрическая задача ...................................................... 23024.2. Задача Лагранжа ........................................................................

23324.3. Вариационная задача для функции двух переменных ............. 23624.4. Задача Больца ............................................................................ 240§25. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГОПОРЯДКА ......................................................................................... 24325.1. Приведение к дифференциальному уравнениюпервого порядка ......................................................................... 24625.2. Изолированность нулей нетривиального решения ..................

24625.3. Свойства нулей нетривиальных решений уравнений .............. 24825.4. Достаточное условие неколеблющегося решения ................... 24925.5. Необходимое условие колеблющегося решения ...................... 2506§26. ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ ШТУРМА.............................................25126.1. Расстояние между нулями нетривиального решения ...............25226.2.

Оценка числа нулей на промежутке ..........................................253§27. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИУВИЛЛЯ ................................................256§28. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ .................................................................26028.1. Асимптотическое поведение функций Бесселя ........................26828.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям Бесселя ....................269§29. НОРМАЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА .............................27129.1. Теорема о множестве периодов .................................................27229.2. Изолированные положения равновесия.

Линейная системавторого порядка с постоянными коэффициентами ..................27429.3. Узел.............................................................................................27529.4. Седло ..........................................................................................27729.5. Фокус ..........................................................................................27829.6. Центр ..........................................................................................28029.7.

Кратные корни ...........................................................................28129.8. Неизолированные положения равновесия ................................283§30. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ...........................28530.1. Устойчивость решения по Ляпунову ........................................28530.2. Автономная система ..................................................................28630.3.

Функция Ляпунова .....................................................................28730.4. Теорема Ляпунова об устойчивости ..........................................28830.5. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости ............29030.6. Исследование устойчивости по линейному приближению ......29230.7.

Глобальный фазовый портрет ...................................................29630.8. Предельные циклы .....................................................................298§31. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ .................30031.1. Теорема о существовании − независимых первыхинтегралов ..................................................................................30331.2. Первые интегралы и фазовые траектории.................................307§32. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ...........................31032.1. Теорема Ковалевской существования и единственностирешения задачи Коши ................................................................31032.2. Квазилинейное уравнение первого порядка .............................31132.3.

Линейное однородное уравнение ..............................................31132.4. Характеристики ..........................................................................31432.5. Общее решение уравнения в частных производных ................31532.6. Задача Коши ...............................................................................316Заключение ...............................................................................................320Литература ................................................................................................3217Предисловие ко второму изданиюНастоящий курс лекций читался авторами на факультетеаэромеханики и летательной техники Московского физикотехнического института (государственного университета). Первоеиздание учебного пособия вышло в свет в 2003 году. Во второе издание внесены добавления, некоторые разделы заново отредактированы, исправлены замеченные погрешности.Во втором издании пособия приведены доказательства рядатеорем, даваемых в первом издании без доказательства.

Это касается, в частности, теоремы о продолжении решения, теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравненияF  x, y, y  0 и теоремы о возможности использования линейного приближения при анализе устойчивости положения равновесия.Существенно расширен раздел, связанный с краевыми задачами. Приводится доказательство, что одному собственному значению задачи Штурма–Лиувилля отвечает лишь одна собственнаяфункция. Построена функция Грина краевой задачи и построено сее помощью решение неоднородного линейного уравнения. Рассмотрена краевая задача при наличии малого параметра при старшей производной и показано, что расположение области, где формируется пограничный слой, зависит от знака коэффициента припервой производной.Расширен раздел, связанный с матричной экспонентойet t0  A.

Характеристики

Список файлов лекций